概率论与数理统计第4章作业题解汇编Word格式文档下载.docx
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X的可能取值为3,4,5.
因为；
；
所以
4.3设随机变量X的概率分布其中是个常数，求
解:
，下面求幂级数的和函数，易知幂级数的收敛半径为，于是有
根据已知条件，，因此，所以有
.
4.4某人每次射击命中目标的概率为,现连续向目标射击,直到第一次命中目标为止,求射击次数的期望.
因为的可能取值为1,2,……。
依题意，知的分布律为
所以
4.5在射击比赛中,每人射击4次,每次一发子弹.规定4弹全未中得0分,只中1弹得15
分,中2弹得30分,中3弹得55分,中4弹得100分.某人每次射击的命中率为0.6,此人期
望能得到多少分？
设4次射击中命中目标的子弹数为X，得分为Y，则X~B（4,0.6）
因为
所以Y的分布律为
15
30
55
100
P
0.0256
0.1536
0.3456
0.1296
故期望得分为
=44.64
4.6设随机变量X的概率分布为说明的期望不存在。
级数发散,不符合离散型随机变量期望定义的要求,从而的期望不存在.
4.7设从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗,在各交通岗遇到红灯是相互独立的,其
概率均为0.4.求途中遇到红灯次数的期望.
设遇到红灯次数为X，依题意，知X~B（3,0.4）
故
4.8设随机变量X的概率密度函数为
求
4.9设随机变量X的概率密度函数为
又,求常数的值.
由，得①
所以，由，得②
又
由，得③
解联立方程①②③，得，，
4.10设随机变量X的概率密度函数为说明的期望不
存在.
积分,显然,积分发散,根据连续型随机变量期望的定义,的期望不存在.
4.11某地抽样调查结果表明,考生的外语成绩X（百分制）近似服从正态分布,平均成绩为
72分,96分以上的考生占考生总数的2.3%.求考生外语成绩在60分至84分之间的概率.
设，依题意得，
又，则
即有所以得
故所求的概率为
4.12对习题4.1中的随机变量X,计算.
4.13设随机变量X的概率密度函数为
分别计算的期望和的期望
因为，其中，所以
4.14对球的直径做近似测量,设其值均匀分布在区间内,求球体积的均值.
设球的直径测量值为，体积为，则有.显然的概率密度函数为
因此,球体积的均值为
4.15游客乘电梯从电视塔底层到顶层观光,电梯于每个整点的第5分钟、25分钟和55分钟从底层起运行.设某一游客在早八点的第X分钟到达底层候梯处,且,求该游客等候时间的期望.
用随机变量表示游客的等候时间（单位:
分钟）,则,其函数关系为
由于,根据随机变量函数的期望公式,可得游客等候时间的期望为
4.16设二维随机向量的概率密度函数为
求.
因为，当时，
当时，
所以，
4.17设随机变量X与Y相互独立,概率密度函数分别为
和
，
因为X和Y相互独立，所以.
4.18设二维随机向量服从圆域上的均匀分布,求
.
根据二维随机向量的计算公式：
此积分用极坐标计算较为方便，于是有
4.19设随机变量X与Y相互独立,并且均服从,求.
由于X服从，故其分布函数为
同理，Y服从，故其分布函数为
于是根据公式3.7.5，的分布函数为
求到后得密度函数
因此
4.20民航机场的一辆送客汽车每次载20名旅客自机场开出,沿途有10个车站.若到达一个车站时没有旅客下车,就不停车.设每名旅客在各个车站下车的概率是等可能的,求汽车的平均停车次数.
用随机变量表示汽车的10个车站总的停车次数，并记
显然，均服从两点分布，且，于是有
由此求得
4.21将一颗均匀的骰子连掷10次,求所得点数之和的期望.
设Xi表示第i次掷出的点数（i=1,2,…,10），
则掷10次骰子的点数之和为。
因为Xi的分布律为（k=1,2,…,6），
故.
4.22在习题4.4中,若直到命中目标次为止,求射击次数的期望.
设是从第次命中目标到第次命中目标之间的射击次数，的分布律为
记随机变量，并且注意到随机变量概率分布相同，因此
4.23求习题4.1中随机变量的方差.
由T4.1知，，由T4.12知
4.24求习题4.9中随机变量X的方差
由T4.1知，
4.25设二维随机向量的概率密度函数为
求和.
即
所以，
由对称性得，
4.26设随机变量,并且X与Y相互独立,求和.
因为，
所以，
又X和Y相互独立，故
4.27设二维随机向量的概率分布如下表:
X\Y
-1
1
0.1
0.3
求
解容易求得的概率分布为：
的概率分布为：
，
于是有
4.28设二维正态随机向量的概率密度函数为
问与是否互不相关?
二维随机变量具有概率密度的标准形式为：
其中均为常数,且,由此得到：
因为所以与互不相关。
4.29设二维随机向量的概率密度函数为
求.
于是
又因为
故.
4.30设二维随机向量的概率密度函数为
由二维随机向量的概率密度函数积分，可以求得两个边缘密度：
显然，，所以与相互独立，从而互不相关。
4.31设,求和.
由得
4.32设服从求.
因服从所以.于是有
是关于随机变量的函数,根据求随机变量函数期望的法则,有
.又由于由于被积函数是奇函数，积分域关于原点对称，故此积分为0,于是=0.
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