22函数的定义域与值域Word文档格式.docx

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（4）基本不等式法，（5）换元法；

（6）分离常数法；

（7）判别式法；

（8）单调性法，（9）有界性法；

（10）导数法.

需要指出的是，定义域或值域的结果必须写成区间或集合的形式.

题型归纳及思路提示

题型13函数定义域的求解

思路提示

对求函数定义域问题的思路是：

（1）先列出使式子有意义的不等式或不等式组；

（2）解不等式组；

（3）将解集写成集合或区间的形式.

二、给出函数解析式求解定义域

例2.10函数的定义域为（）．

A.（-4,-1）B.（-4,1）C.（-1,1）D.（-1,1]

分析本题考查对数、分式根式有关的函数定义域的求解

解析得，故选C

变式1函数的定义域为（）

A.（0，1）B[0，1）C.（0，1]D[0，1]

变式2求函数的定义域.

三、抽象函数定义域

已知的定义域求的定义域，或已知的定义域求的定义域，或已知的定义域求的定义域.

解题时注意：

（1）定义域是指自变量的取值范围；

（2）在同一对应法则∫的作用下括号内式子的范围相同.

例2.11

（1）已知函数的定义域为（0，1）求的定义域

（2）已知函数的定义域为（2，4）求的定义域

（3）已知函数的定义域为（1，2）求的定义域.

分析已知函数的定义域为D，求函数的定又域，只需;

已知函数的定义域,求函数了的定义域，只需，即求的值域.

解析

（1）的定义域为（0，1），即0<

x<

1.故，所以且≠0，所以的定义域为

（2）的定义域为（2，4）.即2<

4.所以4<

<

16，故的定义域为（4，16）；

（3）因为的定义域为（1，2）即1＜＜2，所以1＜＜4，故需1＜＋1＜4．所以0＜＜，故的定义域为

评注定义域是对自变量而言的，如的定义域为（1，2）指的是x的范围而非的范围.

变式1已知函数的定义域是［0，1］，求的定义域．

变式2设，则的定义域为（）

A（-4,0）U（0，4）BC.D

三、实际问题中函数定义域的求解

例2.12如图2-3所示，用长为1的铁丝弯成下部为矩形上部为半圆形的框架，若半圆半径为x，求此框架围成的面积y与x的函数式y＝，并写出其定义域.

分析在求实际问题函数的定义域时，应注意根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义城.

解析由题意：

于是，因此，化简即为

又根据实际应有,得，即所求函数的定义域为

评注求实际问题函数的定义域时，除考虑函数的解析式有意义外、还要考虑使实际问题有意义，如本题中要根据各种度量的存在性来确定函数的定义域

题型14函数定义域的应用

思路提示对函数定义域的应用，是逆向思维问题，常常转化为恒成立问题求解，必要时对参数进行分类讨论.

例2.13若函数的定义域为R，则实数a的取值范围为_____.

分析函数的定义域为R,即≥0在R上恒成立，再利用指数函数的单调性求解

解析由题意知≥0在R上恒成立,所以,即有恒成立,其等价于△=, 

则实数的取值范围为[―1,0]

变式1若函数的定义域是R，求则实数a的取值范围是（）

A.B.C.D.

变式2函数的定义域是R,求a的取值范围.

变式3若函数的定义域为R，求实数a的取值范围.

题型15函数值域的求解

思路提示函数值域的求法主要有以下几种

（1）观察法:

根据最基本函数值域（如≥0,及函数的图像、性质、简单的计算、推理，凭观察能直接得到些简单的复合函数的值域.

（2）配方法：

对于形如的值域问题可充分利用二次函数可配方的特点，结合二次函数的定义城求出函数的值域.

（3）图像法：

根据所给数学式子的特征，构造合适的几何模型.

（4）基本不等式法：

注意使用基本不等式的条件，即一正、二定、三相等.

（5）换元法：

分为三角换元法与代数换元法，对于形的值城，可通过换元将原函数转化为二次型函数.

（6）分离常数法：

对某些齐次分式型的函数进行常数化处理，使函数解析式简化内便于分析.

（7）判别式法：

把函数解析式化为关于x的―元二次方程，利用一元二次方程的判别式求值域，一般地，形如，或的函数值域问题可运用判别式法（注意x的取值范围必须为实数集R）.

（8）单调性法：

先确定函数在定义域（或它的子集）内的单调性，再求出值域.对于形如或的函数，当ac>

0时可利用单调性法.

（9）有界性法：

充分利用三角函数或一些代数表达式的有界性，求出值域.因为常出现反解出y的表达式的过程，故又常称此为反解有界性法.

（10）导数法：

先利用导数求出函数的极大值和极小值，再确定最大（小）值，从而求出函数的值域.

一观察法

例2.14求函数的值域.

分析由观察法直接得到函数的值域.

解析因为，所以函数的值域为.

变式1函数的值域是.

变式2函数的值域是.

二配方法

例2.15求函数的值域.

分析对于根式中的二次函数，利用配方法求解.

解析由，得.

.

变式1求函数的值域.

变式2求的值域.

变式3设函数的定义域为D，若所有点构成一个正方形区域，则a的值为（）.

A-2B-4C-8D不能确定

三图像法（数形结合）

例2.16求函数的值域.

分析由函数表达式易联想到两点间距离公式，可将其转化为动点与两定点的距离之和.

解析如图2-4所示，，所示动点P（x,1）到两定点A（-1,0）和B（1,0）的距离之和，作点B（1,0）关于直线y=1的对称点，连接

B¹

A交y=1于点P¹

（0,1）,此时AB¹

的长即为PA与PB的长之和的最小值，点P¹

（0,1）到A,B两点的距离之和为，故函数的值域为[,+∞﹚.

评注本题中也可看着动点P（x,0）与两定点A¹

（-1,1）,B¹

（1,1）的距离之和，同理利用数形结合思想，|PA¹

|+|PB¹

|，则|PA¹

|的最小值为.

变式1求函数y=|x+1|+|x-2|的值域.

变式2函数的值域是（）.

ABCD

变式3函数的值域是（）.

AB

CD

四基本不等式法

例2.17已知x>

2,求函数的值域.

解析令,则，

（当且仅当，即t=2,x=3时取等号）.故函数的值域为.

变式1求函数的值域.

五、换元法（代数换元与三角换元）

【例2.18】求函数的值域.

解析令，则，得.因为函数的对称轴，所以函数在区间上单调递增，所以值域为.故函数的值域为.

变式1：

求函数的值域.

变式2：

6、分离常数法

【例2.19】求的值域.

分析本例中的函数是关于的齐次分式，故可以考虑使用分离常数法加以求解.

解析由题意得，因为，所以.

，故值域为.

7、判别式法

【例2.20】求函数的值域.

解析因为恒成立，所以函数的定义域为R.

原式可化为.整理得.若，即，即；

若，因为，即有，所以，解得且.综上所述，函数的值域为.

已知函数的值域为，求的值.

已知函数的定义域为R，值域为，求的值.

8、单调性法

【例2.21】求函数的值域.

解析由函数的定义域为，且函数在区间上单调递增.当时，，所以函数的值域为.

函数的值域是_______________.

变式3：

变式4：

9、有界性法

【例2.22】求函数的值域.

解析解法一（有界性法）：

由题意可得，即有，由，可知，故，可得，因此所求函数的值域为.

解法二（分离常数法）：

，由，可知，故，因此函数的值域为.

已知函数，求函数的值域.

已知函数，若有，则的取值范围为（）

【例2.23】已知，求函数的值域.

解析由，得，且，故.得或.又，，则.故.因此函数的值域为.

评注本题也可以用数形结合思想求解，设，则的几何意义为点与点所确定直线的斜率，其中为单位圆在轴左侧部分.

已知，求函数的值域.

10、导数法

【例2.24】求函数的值域.

解析由，得.由表看出，的最大值的最小值，故的值域为.

评注对于三次函数以及复杂的函数求值域一般都用导数法求解，此类解法在第三章导数中有更为系统的介绍.

若函数在区间及上都是增函数，而在上是减函数，求此函数在上的值域.

最有效训练题5（限时45分钟）

1.已知，则下列函数中定义域和值域都可能是R的是（）

2.若函数的定义域为R，则实数的取值范围是（）

3.定义域为R是函数的值域为，则函数的值域是（）

4.函数的值域是（）

5.设函数，，则的值域是（）

6.对任意两实数，定义运算“*”如下：

，函数的值域为（）

7.函数的定义域是________________.

8.函数的值域为________________.

9.若函数的值域为，则函数的值域是____________.

10.已知函数，定义域为，值域为，则的取值范围是_________________.

11.求下列函数的定义域.

（1）；

（2）；

（3）；

（4）；

（5）；

（6）；

（7）已知函数的定义域是，求的定义域；

（8）已知函数的定义域为，求的定义域.

12.求下列函数的值域.

（7）；

（8）.