利用向量方法求空间角Word文档下载推荐.docx
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设直线I的方向向量为a，平面的法向量为u，直线与平面所成的角为0,
a与u的夹角为為则有sin0=或cos0=sin©
3.二面角
（1）二面角的取值范围是.
（2）二面角的向量求法：
①若AB、CD分别是二面角aI—B的两个面内与棱I垂直的异面直线，则二面角的大小就是向量AB与CD的夹角（如图①）.
胖I
①②③
②设ni，n2分别是二面角a—I—B的两个面aB的法向量，则向量m与匝的夹角（或其补角）的大小就是二面角的平面角的大小（如图②③）.
自我检测】
1.已知两平面的法向量分别为m=（0,1,0），n=（0,1,1），则两平面所成的二面角为（）
A.45°
B.135°
C.45。
或135°
D.90°
2•若直线l1，I2的方向向量分别为a=（2,4，-4），b=（-6,9,6），则（）
A.I1/I2B.I1丄丨2
C.l1与12相交但不垂直D.以上均不正确
3.若直线I的方向向量与平面a的法向量的夹角等于120。
，则直线I与平面a所成的
角等于（）
A.120°
B.60°
C.30°
D.以上均错
4.（2011湛江月考）二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB=4，AC=6，BD=8,CD=2,17,则该二面角的大小为（）
A.150°
B.45°
C.60°
D.120°
5.（2011铁岭模拟）已知直线AB、CD是异面直线，AC丄CD,BD丄CD，且AB=2,CD=1，则异面直线AB与CD夹角的大小为（）
探究点一利用向量法求异面直线所成的角
［例1已知直三棱柱ABC—A1B1C1,ZACB=90°
CA=CB=C®
D为BQi的中点,求异面直线BD和AiC所成角的余弦值.
变式迁移1
例2】
分别为AB,
变式迁移2
如图所示，在棱长为a的正方体ABCD—AiBiCiDi中，求异面直线BAi和AC所成的角.
利用向量法求直线与平面所成的角
探究点二
（20ii新乡月考）如图，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M,N
DF的中点.
如图所示，在几何体ABCDE中，△ABC是等腰直角三角形，/ABC=90°
BE和CD都垂直于平面ABC,且BE=AB=2,CD=1点F是AE的中点.求AB与平面BDF所成角的正弦值.
探究点三利用向量法求二面角
［例3如图，ABCD是直角梯形，/BAD=90°
SA丄平面ABCD,SA=BC=BA=1,
1
AD=2，求面SCD与面SBA所成角的余弦值大小.
变式迁移3
（2011沧州月考）如图，在三棱锥
/BAC=90°
O为BC中点.
（1）证明：
SO丄平面ABC;
⑵求二面角A—SC—B的余弦值.
探究点四向量法的综合应用
【例4】
如图所示，在三棱锥A—BCD中，侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共
的斜边，且AD=3,BD=CD=1另一个侧面ABC是正三角形.
（1）求证：
AD丄BC;
（2）求二面角B—AC—D的余弦值；
（3）在线段AC上是否存在一点E,使ED与面BCD成30。
角？
若存在，确定点E的位置;
若不存在，说明理由.
ACB
变式迁移4（2011山东）在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形,=90°
EA丄平面ABCD,EF//AB,FG//BC,EG//AC,AB=2EF.
（1）若M是线段AD的中点，求证：
GM//平面ABFE;
⑵若AC=BC=2AE,求二面角A—BF—C的大小.
1.求两异面直线a、b的夹角0,需求出它们的方向向量a,b的夹角，贝Ucos0=|cos
〈a,b>
|.
2.求直线I与平面a所成的角可先求出平面a的法向量n与直线I的方向向量a的夹角.则sin0=|cos〈n,a>
3.求二面角a—I—B的大小0可先求出两个平面的法向量ni,n2所成的角.贝U0=〈ni,n2>
或n—〈ni,n2>
.
（满分：
75分）
、选择题（每小题5分，共25分）
1.（20ii成都月考）在正方体ABCD—AiBiCiDi中，M是AB的中点，则sin〈DBi,Cm>
的值等于（）
12i0
A-BJ
2i5
2ii
C.3D.i5
2.长方体ABCD—AiBiCiDi中，AB=AAi=2,AD=i,E为CCi的中点，则异面直线
BCi与AE所成角的余弦值为（）
迈姮2后3低
A.i0C.iOD.io
3.
是SB的中点，贝UAE、SD
已知正四棱锥S—ABCD的侧棱长与底面边长都相等，E所成的角的余弦值为（
i
A3
4.
a—AB—B棱上的一点，分别在aB平面上引射线PM、MPN=60°
那么二面角a—AB—B的大小为（）
C.80°
4.（20ii兰州月考）F是二面角FN，如果/BFM=/BFN=45°
/
A.60°
B.70°
二、填空题（每小题4分，共i2分）
5.（20ii郑州模拟）已知正四棱锥F—ABCD的棱长都相等，侧棱FB、FD的中点分别为M、N，则截面AMN与底面ABCD所成的二面角的余弦值是.
7.如图，PA丄平面ABC,/ACB=90。
且FA=AC=BC=a,则异面直线PB与AC所成
角的正切值等于•
&
如图，已知正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱长都相等，D是AiCi的中点，则直线AD与平面BiDC所成角的正弦值为•
三、解答题（共38分）
9.（12分）（2011烟台模拟）
如图所示，AF、DE分别是O0、O01的直径，AD与两圆所在的平面均垂直，AD=8.BC
是OO的直径，AB=AC=6,OE//AD.
（1）求二面角B—AD—F的大小；
⑵求直线BD与EF所成的角的余弦值.
C
10.（12分）（2011大纲全国）如图，四棱锥S—ABCD中，AB/CD,BC丄CD，侧面SAB为等边三角形，AB=BC=2,CD=SD=1.
SD丄平面SAB;
⑵求AB与平面SBC所成角的正弦值.
11.（14分）（2011湖北）如图，已知正三棱柱ABC—A1B1C1各棱长都是4,E是BC的中点，动点F在侧棱CC1上，且不与点C重合.
（1）当CF=1时，求证：
EF丄A1C;
⑵设二面角C—AF—E的大小为0,求tanB的最小值.
学案46利用向量方法求空间角
1.C2.B3.C4.C5.C
课堂活动区
【例1】解题导引
（1）求异面直线所成的角，用向量法比较简单，若用基向量法求解,则必须选好空间的一组基向量，若用坐标求解，则一定要将每个点的坐标写正确.
（2）用异面直线方向向量求两异面直线夹角时，应注意异面直线所成角的范围是
如图所示，以C为原点，直线CA、CB、CC1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.
设CA=CB=CC1=2,
则A1（2,0,2）,C（0,0,0）,B（0,2,0）,D（0,1,2）,
变式迁移1解••BAi=BA+BBi,AC=Ab+BC,
•'
BAiAC=—a2.
又BAiAC=|BAi||AC|cos〈BAi,AC>
•••异面直线BAi与AC所成的角为60°
【例2】解题导引在用向量法求直线OP与a所成的角（0€«
）时，一般有两种途径:
是直接求〈0P,0?
>
其中OP'
为斜线OP在平面a内的射影；
二是通过求〈n,0P>
进而转化求解，其中n为平面a的法向量.解
y,z轴正半轴建立空间直角坐标系如图.
则M（1,0,2）,N（0,1,0），可得MN=（—1,1,—2）.
又DA=（0,0,2）为平面DCEF的法向量，
—TTMNDAV6
可得cos〈MN,DA>
=_=—亍.
|MN||DA|
所以MN与平面DCEF所成角的正弦值为
|cos〈MN,Da>
|=f
变式迁移2解以点B为原点，BA、BC、BE所在的直线分别为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则
B（0,0,0）,A（2,0,0）,C（0,2,0）,D（0,2,1）,E（0,0,2）,F（1,0,1）.••BD=（0,2,1）,DF=（1,-2,0）.设平面BDF的一个法向量为
n=（2,a,b）,
■ji_1DF,n_1BD,
nDF=0,
BD=0.
2,a,b-1,-2,0=0,即
2,a,b-0,2,1=0.
解得a=1,b=-2.•=（2,1,-2）.
设AB与平面BDF所成的角为0
—n
则法向量n与BA的夹角为2-0,
建系，从而借助平面的法向量来求解.解
建系如图，则A（0,0,0）,
D10,0,C（1,1,0）,
B（0,1,0）,S（0,0,1）,
••As=（0,0,1）,——C=（1,1,-1）,
——1'
l-—-—
SD=2,0,—1,AB=（0,1,0）,AD=.•AdAs=0,AdAb=0.
••AD是面SAB的法向量，设平面SCD的法向量为n=（x,y,z），则有nSC=0且nSD
=0.
令z=1,贝yx=2,y=—1.
x+y—z=0,即仃
2x—z=0.
••n=（2,—1,1）.
tnAD2X276
cos〈n,AD>
===—
t厂13
|n||AD|,6X2
故面SCD与面SBA所成的二面角的余弦值为
连接OA,△ABC为等腰直角三角形,
所以OA=OB=OCu-^SA,
且AOJBC.
又ASBC为等腰三角形，
故SO1BC,且SOh^SA
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