培优竞赛二次根式的化简与求值含答案汇总文档格式.docx

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例题与求解

【例1】　当时，代数式的值是（　　）

A、0　　　　B、－1　　　　C、1　　　　D、

（绍兴市竞赛试题）

【例2】　化简

（1）

（黄冈市中考试题）

（2）

（五城市联赛试题）

（3）

（北京市竞赛试题）

（4）

（陕西省竞赛试题）

解题思路：

若一开始把分母有理化，则计算必定繁难，仔细观察每题中分子与分母的数字特点，通过分解、分析等方法寻找它们的联系，问题便迎刃而解.

思想精髓：

因式分解是针对多项式而言的，在整式，分母中应用非常广泛，但是因式分解的思想也广泛应用于解二次根式的问题中，恰当地作类似于因式分解的变形，可降低一些二次根式问题的难度.

【例3】　比大的最小整数是多少？

（西安交大少年班入学试题）

直接展开，计算较繁，可引入有理化因式辅助解题，即设

设求的值.（“祖冲之杯”邀请赛试题）

形如：

的根式为复合二次根式，常用配方，引入参数等方法来化简复合二次根式.

【例4】　设实数x，y满足，求x＋y的值.

（“宗泸杯”竞赛试题）

从化简条件等式入手，而化简的基本方法是有理化.

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【例5】　

（1）代数式的最小值.

（2）求代数式的最小值.

（“希望杯”邀请赛试题）

对于

（1），目前运用代数的方法很难求此式的最小值，的几何意义是直角边为a，b的直角三角形的斜边长，从构造几何图形入手，对于

（2），

设，设A（x，0），B（4，5），C（2，3）相当于求AB＋AC的最小值，以下可用对称分析法解决.

方法精髓：

解决根式问题的基本思路是有理化，有理化的主要途径是乘方、配方、换元和乘有理化因式.

【例6】　设，求的值.

配方法是化简复合二次根式的常用方法，配方后再考虑用换元法求对应式子的值.

能力训练

A级

1.化简：

2.若，则＝_____（北京市竞赛试题）

3.计算：

（“希望杯”邀请赛试题）

4.若满足0＜x＜y及的不同整数对（x，y）是_______（上海市竞赛试题）

5.如果式子化简结果为2x－3，则x的取值范围是（　　　）

A.x≤1B.x≥2C.1≤x≤2D.x＞0

6、计算的值为（　　）

A．1　　　B.C.D.5

（全国初中数学联赛试题）

7．a，b，c为有理数，且等式成立，则2a＋999b＋1001c的值是（　　）

A．1999　　　B.2000　　　C.2001　　D.　不能确定

8、有下列三个命题

甲：

若α，β是不相等的无理数，则是无理数；

乙：

丙：

其中正确命题的个数是（　　）

A.0个　　　B.1个　　　C.2个　　　D.3个

9、化简：

（1）　　

（2）

（4）　　（天津市竞赛试题）

（5）　　　（“希望杯”邀请赛试题）

10、设，求代数式的值.

11、已知，求x的值.

12、设（n为自然数），当n为何值，代数式的

值为1985？

B　级

1.已知.（四川省竞赛试题）

2.已知实数x，y满足，则＝＿＿＿＿（全国初中数学联赛试题）

3.已知.（重庆市竞赛试题）

4.那么＝＿＿＿＿＿.（全国初中数学联赛试题）

5.　a，b为有理数，且满足等式则a＋b＝（　　）

A.2　　　B.　4　　　C.　6　　　D.　8

6．　已知，那么a，b，c的大小关系是（　　）

　　B.b＜a＜c　C.c＜b＜cD.c＜a＜b

7.　已知，则的值是（　　）

A.　　　B.　　　C.　　　D.　不能确定

8.　若[a]表示实数a的整数部分，则等于（　　）

A.1　　　B.2　　　C.3　　　　D.　4

9．　把中根号外的因式移到根号内，则原式应等于（　　）

A.　　　B.　　C.　　D.

（武汉市调考题）

10、化简：

（1）　（“希望杯”邀请赛试题）

（2）（新加坡中学生竞赛试题）

（3）　　（山东省竞赛试题）

（4）　　（太原市竞赛试题）

11、设　求证.

（“五羊杯”竞赛试题）

12、求的最大值.

13、已知a,b,c为正整数，且为有理数，证明：

为整数.

专题01二次根式的化简与求值

例1A提示：

由条件得4x2－4x－2001＝0．

例2

（1）原式＝·

＝2

（2）原式＝＝2－5．

（3）原式＝＝＝；

（4）原式＝＝．

例3x＋y＝2，xy＝1，于是x2＋y2＝（x＋y）2－2xy＝22，x3＋y3＝（x＋y）（x2－xy＋y2）＝42，x6＋y6＝（x3＋y3）2－2x3y3＝10582．∵0＜＜1，从而0＜＜1，故10581＜＜10582．　例4　x＋＝＝－y…①；

同理，y＋＝＝－x…②．由①＋②得2x＝－2y，x＋y＝0．例5

（1）构造如图所示图形，PA＝，PB＝．作A关于l的对称点A'

，连A'

B交l于P，则A'

B＝＝13为所求代数式的最小值．

（2）设y＝＋，设A（x，0），B（4，5），C（2，3）．作C关于x轴对称点C1，连结BC1交x轴于A点．A即为所求，过B作BD⊥CC1于D点，∴AC＋AB＝C1B＝＝2．例6m＝＋＝＋．∵1≤a≤2，∴0≤≤1，∴－1≤－1≤0，∴m＝2．设S＝m10＋m9＋m8＋…＋m－47＝210＋29＋28＋…＋2－47①，2S＝211＋210＋29＋…＋22－94②，由②－①，得S＝211－2－94＋47＝1999．

A级1．12．3．0提示：

令＝a，＝b，＝c．4．（17，833），（68，612），（153，420）5．B6．C7．B8．A9．

（1）

（2）原式＝＝＝．（3）（4）（5）10．48提示：

由已知得x2＋5x＝2，原式＝（x2＋5x＋4）（x2＋5x＋6）．11．由题设知x＞0，（＋）（－）＝14x．∴－＝2，∴2＝7x＋2，∴21x2－8x－48＝0．其正根为x＝．12．n＝2提示：

xy＝1，x＋y＝4n＋2．

B级1．642．1　提示：

仿例4，由条件得x＝y，∴（x－）2＝2008，∴x2－2008－x＝0，∴（－x）＝0，解得x2＝2008．∴原式＝x2－2007＝1．3．4．1　提示：

∵（－1）a＝2－1，即＝－1．5．B　提示：

由条件得a＋b＝3＋，∴a＝3，b＝1，∴a＋b＝4．6．B　提示：

a－b＝－1－＞－1－＝0．同理c－a＞07．B8．B9．D　提示：

注意隐含条件a－1＜0．10．

（1）1998999.5提示：

设k＝2000，原式＝．

（2）提示：

考虑一般情形＝－（3）原式＝＝＝．（4）2－11．构造如图所示边长为1的正方形ANMD，BCMN．设MP＝x，则CP＝，AP＝，AC＝，AM＝，∴AC≤PC＋PA＜AM＋MC，，则≤＋＜1＋12．设y＝－＝－，设A（4，5），B（2，3），C（x，0），易求AB的解析式为y＝x＋1，易证当C在直线AB上时，y有最大值，即当y＝0，x＝－1，∴C（－1，0），∴y＝．13．＝＝为有理数，则b2－ac＝0．又a2＋b2＋c2＝（a＋b＋c）2－2（ab＋bc＋ac）＝（a＋b＋c）2－2（ab＋bc＋b2）＝－2b（a＋b＋c）＝（a＋b＋c）（a－b＋c），∴原式＝a－b＋c为整数．