届广东省广深珠三校高三上学期第一次联考数学理答案文档格式.docx
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12、已知函数(为自然对数的底数)在上有两个零点,则的范围是()
A.B.C.D.
【详解】
由得,
当时,方程不成立,即,
则,设(且),
则,
∵且,∴由得,
当时,,函数为增函数,
当且时,,函数为减函数,
则当时函数取得极小值,极小值为,
当时,,且单调递减,作出函数的图象如图:
故:
要使有两个不同的根,则即可,
即实数的取值范围是.
二、填空题:
本大题共4小题,每小题5分,共20分
13.19;
14.15;
15.;
16.;
三、解答题:
解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
17.(本小题满分12分)
如图,在中,角所对的边分别为,;
(1)证明:
为等腰三角形;
(2)若为边上的点,,且,,求的值.
(1),由正弦定理得:
………..2分
由余弦定理得:
;
………..4分
化简得:
所以即,………..5分
故为等腰三角形.………..6分
(2)如图,
由已知得,,
………..8分
又,
………..10分
即,
得,由
(1)可知,得.………..12分
18.(本小题满分12分)
如图,四棱锥的底面为直角梯形,,且
为等边三角形,平面平面;
点分别为的中点.
平面;
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
(1)设的中点为,连接,
为的中点,所以为的中位线,
则可得,且;
………..2分
在梯形中,,且,
所以四边形是平行四边形,………..4分
又平面,平面,
平面.………..6分
法二:
设为的中点,连接,
为的中点,
所以是的中位线,所以,
又平面,平面,
平面,………..2分
又在梯形中,,且,
所以四边形是平行四边形,
平面,………..4分
所以平面平面,
又平面,
平面.………..6分
(2)设的中点为,又.
因平面平面,交线为,平面,
平面,
又由,,
.
即有两两垂直,如图,以点为原点,为轴,为轴,为轴建立坐标系.
………..7分
已知点,……..8分
设平面的法向量为:
则有,可得平面的一个法向量为,
可得:
………..11分
所以直线与平面所成角的正弦值为.………..12分
19.(本小题满分12分)
已知椭圆的离心率为,且经过点
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过点作直线与椭圆交于不同的两点,试问在轴上是否存在定点,使得直线与直线恰好关于轴对称?
若存在,求出点的坐标;
若不存在,说明理由.
(Ⅰ)由题意可得,,又a2﹣b2=c2,………..2分
解得a2=4,b2=1,.
所以,椭圆的方程为.………..4分
(Ⅱ)存在x轴上在定点Q,使得直线QA与直线QB恰关于x轴对称,
设直线l的方程为x+my﹣=0,与椭圆联立可得.
设A(x1,y1),B(x2,y2),假设在x轴上存在定点Q(t,0).
y1+y2=,y1y2=.………..6分
∵PN与QN关于x轴对称,∴kAQ+kQB=0,………..7分
即⇒y1(x2﹣t)+y2(x1﹣t)=0,
⇒,
⇒⇒t=.………..9分
∴在x轴上存在定点Q(,0).使得直线QA与直线QB恰关于x轴对称.………..10分
特别地,当直线l是x轴时,点Q(,0).也使得直线QA与直线QB恰关于x轴对称.…..11分
综上,在x轴上存在定点Q(,0).使得直线QA与直线QB恰关于x轴对称.………..12分
20.(本小题满分12分)
已知函数.
(1)求曲线在处的切线方程;
(2)函数在区间上有零点,求的值;
(3)若不等式对任意正实数恒成立,求正整数的取值集合.
(1),所以切线斜率为,
又,切点为,所以切线方程为.-------------2分
(2)令,得,
当时,,函数单调递减;
当时,,函数单调递增,
所以的极小值为,又,
所以在区间上存在一个零点,此时;
因为,,
所以在区间上存在一个零点,此时.综上,的值为0或3.-------------6分
(3)当时,不等式为.显然恒成立,此时;
当时,不等式可化为,------------7分
令,则,
由
(2)可知,函数在上单调递减,且存在一个零点,
此时,即
所以当时,,即,函数单调递增;
当时,,即,函数单调递减.
所以有极大值即最大值,于是.------------9分
当时,不等式可化为,
由
(2)可知,函数在上单调递增,且存在一个零点,同理可得.
综上可知.
又因为,所以正整数的取值集合为.------------12分
21.(本小题满分12分)
某景区的各景点从2009年取消门票实行免费开放后,旅游的人数不断地增加,不仅带动了该市淡季的旅游,而且优化了旅游产业的结构,促进了该市旅游向“观光、休闲、会展”三轮驱动的理想结构快速转变.下表是从2009年至2018年,该景点的旅游人数(万人)与年份的数据:
第年
旅游人数(万人)
300
283
321
345
372
435
486
527
622
800
该景点为了预测2021年的旅游人数,建立了与的两个回归模型:
模型①:
由最小二乘法公式求得与的线性回归方程;
模型②:
由散点图的样本点分布,可以认为样本点集中在曲线的附近.
(1)根据表中数据,求模型②的回归方程.
(精确到个位,精确到0.01).
(2)根据下列表中的数据,比较两种模型的相关指数,并选择拟合精度更高、更可靠的模型,预测2021年该景区的旅游人数(单位:
万人,精确到个位).
回归方程
①
②
30407
14607
参考公式、参考数据及说明:
①对于一组数据,其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为.
②刻画回归效果的相关指数.
③参考数据:
.
5.5
449
6.05
83
4195
9.00
表中.
解:
(1)对取对数,得,……1分
设,,先建立关于的线性回归方程。
……3分
……5分……6分
模型②的回归方程为。
……7分
(2)由表格中的数据,有30407>
14607,即,……9分
即,……10分
模型①的相关指数小于模型②的,说明回归模型②的拟合效果更好。
……11分
2021年时,,预测旅游人数为(万人)……12分
请考生从第(22)、(23)两题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一个题目计分.
22.[选修4-4:
坐标系与参数方程](10分)
在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),已知点,点是曲线上任意一点,点为的中点,以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求点的轨迹的极坐标方程;
(2)已知直线:
与曲线交于两点,若,求的值.
(1)设,.且点,由点为的中点,
所以……3分
整理得.即,
化为极坐标方程为.……5分
(2)设直线:
的极坐标方程为.设,,
因为,所以,即.……6分
联立整理得.……7分
则解得.……9分
所以,则.……10分
23.[选修4-5:
不等式选讲](10分)
已知函数
(1)当时,求不等式的解集;
(2)若,且对任意,恒成立,求的最小值.
(1)当时,,即,……3分
解法一:
作函数的图象,它与直线的交点为,
……4分
所以,的解集的解集为.……5分
解法2:
原不等式等价于或或,……3分
解得:
或无解或,
所以,的解集为.……5分
(2).……6分
则……7分
所以函数在上单调递减,在上单调递减,在上单调递增.
所以当时,取得最小值,.……8分
因为对,恒成立,
所以.……9分
又因,
所以,解得(不合题意).
所以的最小值为1.……10分