整式分式因式分解二次根式解题技巧复习进程Word格式文档下载.docx

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合并同类项的法则是：

同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变．

去括号法则1：

括号前是“＋”，把括号和它前面的“＋”号一起去掉，括号里各项都不变号．

去括号法则2：

括号前是“－”，把括号和它前面的“－”号一起去掉，括号里各项都变号．

整式的加减法运算的一般步骤：

（1）去括号；

（2）合并同类项．

同底数幂的乘法法则：

同底数幂相乘，底数不变，指数相加．如：

（都是正整数）．

幂的乘方法则：

幂的乘方，底数不变，指数相乘．如：

积的乘方法则：

积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所有的幂相乘．如：

（为正整数）．

单项式的乘法法则：

单项式乘以单项式，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．

单项式乘以单项式的结果仍然是单项式．

单项式与多项式相乘的运算法则：

单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．如：

（都是单项式）．

单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同．

计算时要注意符号问题，多项式的每一项都包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号．

多项式乘法法则：

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．

多项式与多项式相乘的展开式中，有同类项的要合并同类项．

平方差公式：

；

完全平方公式：

，；

立方和公式：

立方差公式：

．

公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式或多项式．

同底数幂的除法法则：

同底数幂相除，底数不变，指数相减．如：

（为正整数，）．

（）；

为正整数）．

单项式的除法法则：

单项式相除，把系数和同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里面含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．

多项式除以单项式的运算法则：

多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．

这个法则的适用范围必须是多项式除以单项式，反之，单项式除以多项式是不能这么计算的

3．因式分解

把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．

（1）因式分解专指多项式的恒等变形，即等式左边必须是多项式．例如：

等，都不是因式分解．

（2）因式分解的结果必须是几个整式的积的形式．例如：

，不是因式分解．

（3）因式分解和整式乘法是互逆变形．

（4）因式分解必须在指定的范围内分解到不能再分解为止．如：

在有理数范围内应分解为：

而在实数范围内则应分解为：

1、提公因式法：

如果多项式的各项都含有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．提公因式法的关键在于准确的找到公因式，而公因式并不都是单项式；

公因式的系数应取多项式整数系数的最大公约数；

字母取多项式各项相同的字母；

各字母指数取次数最低的．

2、运用公式法：

把乘法公式反过来，可以把符合公式特点的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法．

运用公式分解因式，首先要对所给的多项式的项数，次数，系数和符号进行观察，判断符合哪个公式的条件．公式中的字母可表示数，字母，单项式或多项式．

3、分组分解法：

利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法．分组分解法的关键是合理的选择分组的方法，分组时要预先考虑到分组后是否能直接提公因式或直接运用公式．

4、十字相乘法：

5、求根法：

当二次三项式不易或不能写成用公式法或十字相乘法分解因式时，可先用求根公式求出一元二次方程的两个根，然后写成：

．运用求根法时，必须注意这个一元二次方程要有两个实数根．

因式分解的一般步骤是：

（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式；

（2）在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的次数：

二项式可以尝试运用公式法分解因式；

三项式可以尝试运用公式法、十字相乘法或求根法分解因式；

四项式及四项式以上的可以尝试分组分解法分解因式；

（3）分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止．

4.分式

一般的，用表示两个整式，就可以表示成的形式．如果中含有字母，式子就叫做分式．其中，叫做分式的分子，叫做分式的分母.分式和整式通称为有理式．

（1）分母中含有字母是分式的一个重要标志，它是分式与分数、整式的根本区别；

（2）分式的分母的值也不能等于零．若分母的值为零，则分式无意义；

（3）当分子等于零而分母不等于零时，分式的值才是零．

把一个分式的分子与分母的公因式约去，把分式化成最简分式，叫做分式的约分．

一个分式约分的方法是：

当分子、分母是单项式时，直接约分；

当分子、分母是多项式时，把分式的分子和分母分解因式，然后约去分子与分母的公因式．

一个分式的分子和分母没有公因式时，叫做最简分式，也叫既约分式．

把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分．

取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母

分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变．用式子表示是：

（其中是不等于零的整式）．

分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变．如：

分式的系数化整问题，是利用分式的基本性质，将分子、分母都乘以一个适当的不等于零的数，使分子、分母中的系数全都化成整数．当分子、分母中的系数都是分数时，这个“适当的数”应该是分子和分母中各项系数的所有分母的最小公倍数；

当分子、分母中各项系数是小数时，这个“适当的数”一般是，其中等于分子、分母中各项系数的小数点后最多的位数．

例、不改变分式的值，把下列各分式分子与分母中各项的系数都化为整数，且使各项系数绝对值最小．

（1）；

（2）．

分析：

第

（1）题中的分子、分母的各项的系数都是分数，应先求出这些分数所有分母的最小公倍数，然后把原式的分子、分母都乘以这个最小公倍数，即可把系数化为整数；

第

（2）题的系数有分数，也有小数，应把它们统一成分数或小数，再确定这个适当的数，一般情况下优先考虑转化成分数．

解：

（2）

．

1、分式的乘除法则：

分式乘以分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母；

分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．用式子表示是：

2、分式的乘方法则：

分式乘方是把分子、分母各自乘方．用式子表示是：

（为整数）．

3、分式的加减法则：

同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．用式子表示是：

异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减．用式子表示是：

分式的混合运算关键是弄清运算顺序，分式的加、减、乘、除混合运算也是先进行乘、除运算，再进行加、减运算，遇到括号，先算括号内的．

例、计算．

对于这道题，一般采用直接通分后相加、减的方法，显然较繁，注意观察到此题的每个分式的分子都是一个二项式，并且每个分子都是分母与1的和，所以可以采取“裂项法”．

原式

点评：

本题考查在分式运算中的技巧问题，要认真分析题目特点，找出简便的解题方法，此类型的题在解分式方程中也常见到．

5.二次根式

式子叫做二次根式，二次根式必须满足：

含有二次根号“”；

被开方数必须是非负数．如，，都是二次根式

若二次根式满足:

被开方数的因数是整数，因式是整式；

被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫最简二次根式，如，，是最简二次根式，而，，，就不是最简二次根式．

化二次根式为最简二次根式的方法和步骤：

如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用商的算术平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简．

如果被开方数是整数或整式，先将它分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来．

几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫同类二次根式．

当几个二次根式的被开方数相同时，也可以直接看出它们是同类二次根式．如和一定是同类二次根式．

合并同类二次根式就是把几个同类二次根式合并成一个二次根式．合并同类二次根式的方法和合并同类项类似，把根号外面的因式相加，根式指数和被开方数都不变．

把分母中的根号化去，叫分母有理化．如．

两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．如；

和；

都是互为有理化因式．

二次根式的除法，往往是先写成分子、分母的形式，然后利用分母有理化来运算．如．

（1）．

（3）．

（4）

二次根式的加减法法则：

（1）先把各个二次根式化成最简二次根式；

（2）找出其中的同类二次根式；

（3）再把同类二次根式分别合并．

二次根式的乘法法则：

两个二次根式相乘，被开方数相乘，根指数不变．即：

（）．此法则可以推广到多个二次根式的情况．

二次根式的除法法则：

两个二次根式相除，被开方数相除，根指数不变，即：

二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的（或先去掉括号）．

例1、计算：

此题一般的做法是先分母有理化，再计算，但由于分母有理化比较麻烦，我们应注意到；

，这样做起来就比较简便．

例2、计算：

按一般的方法做起来比较麻烦，注意题目的结构特点，逆用分式加、减法的运算法则“”进行变换，进而运用“互为相反数的和为零”的性质来化简．

，

原式

例3、已知，是的整数部分，是的小数部分，求的值．

先将分母有理化，求出的值，再求代数式的值．

又，

二次根式的化简技巧

一、巧用公式法

例1计算

本例初看似乎很复杂，其实只要你掌握好了公式，问题就简单了，因为与成立，且分式也成立，故有＞0，＞0，而同时公式：

=-2+，-=，可以帮助我们将和变形，所以我们应掌握好公式可以使一些问题从复杂到简单。

原式=+=+=2-2

二、适当配方法。

例2．计算：

本题主要应该从已知式子入手发现特点，∵分母含有1+其分子必有含1+的因式，于是可以发现3+2=，且，通过因式分解，分子所含的1+的因式就出来了。

原式==1+

三、正确设元化简法。

例3：

化简

本例主要说明让数字根式转化成字母的代替数字化简法，通过化简替代，使其