东城区学年度第一学期期末教学统一检测Word文件下载.docx

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视图的面积为

（A）　（B）（C）（D）

（5）在平面直角坐标系内，若曲线：

上所有的点均在第二象限内，则实数的取值范围为

（A）（B）（C）（D）

（6）如图所示，点是函数的图象的最高点，，是该图象与轴的交点，若，则的值为

（A）（B）（C）（D）

（7）对于函数，有如下三个命题：

①是偶函数；

②在区间上是减函数，在区间上是增函数；

③在区间上是增函数．

其中正确命题的序号是

（A）①②（B）①③（C）②③（D）①②③

（8）已知函数的定义域为，值域为，则在平面直角坐标系内，点的运动轨迹与两坐标轴围成的图形的面积为

（A）（B）（C）（D）

第Ⅱ卷（共110分）

二、填空题：

本大题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）已知，那么的值为　．

（10）若非零向量，满足，则与的夹角为．

（11）已知函数那么的值为．

（12）在等差数列中，若，，则数列的公差等于；

其前项和的最大值为．

（13）如图，已知椭圆的左顶点为，左焦点为，

上顶点为，若，则该椭圆的离心率是.

（14）已知不等式≤，若对任意且，该不等式恒成立，则实

数的取值范围是．

三、解答题：

本大题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（15）（本小题共13分）

已知△中，角，，的对边分别为，，，且，．

（Ⅰ）若，求；

（Ⅱ）若，求△的面积．

（16）（本小题共13分）

在等差数列中，，其前项和为，等比数列的各项均为正数，，公比为，且，．

（Ⅰ）求与；

（Ⅱ）证明：

≤．

（17）（本小题共14分）

如图，在四棱锥中，底面为菱形，，为的

中点，．

（Ⅰ）求证：

平面；

（Ⅱ）点在线段上，，试确定的值，

使平面；

（Ⅲ）若平面，平面平面，

求二面角的大小．

（18）（本小题共13分）

已知函数，其中．

（Ⅰ）求证：

函数在区间上是增函数；

（Ⅱ）若函数在处取得最大值，求的取值范围．

（19）（本小题共13分）

已知椭圆的右焦点为，为椭圆的上顶点，为坐标原点，且△是等腰直角三角形．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）是否存在直线交椭圆于，两点，且使点为△的垂心（垂心：

三角形三边高线的交点）？

若存在，求出直线的方程；

若不存在，请说明理由．

（20）（本小题共14分）

已知是由满足下述条件的函数构成的集合：

对任意，①方程有实数根；

②函数的导数满足．

（Ⅰ）判断函数是否是集合中的元素，并说明理由；

（Ⅱ）集合中的元素具有下面的性质：

若的定义域为，则对于任意，都存在，使得等式成立．试用这一性质证明：

方程有且只有一个实数根；

（Ⅲ）对任意，且，求证：

对于定义域中任意的，，，当，且时，.

高三数学参考答案及评分标准（理科）

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

（1）B

（2）A（3）D（4）C

（5）D（6）B（7）A（8）C

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

（9）（10）（11）

（12）57（13）（14）≥

注：

两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分．

三、解答题（本大题共6小题，共80分）

（15）（共13分）

解：

（Ⅰ）由已知，

整理得．………………2分

因为，

所以.

故，解得.……………4分

由，且，得.

由，即，

解得.………………7分

（Ⅱ）因为，又，

所以，解得.………………10分

由此得，故△为直角三角形，，．

其面积．………………13分

（16）（共13分）

（Ⅰ）设的公差为，

因为所以

解得或（舍），．

故，．……………6分

（Ⅱ）因为，

所以．………9分

故

．………11分

因为≥，所以≤，于是≤，

所以≤．

即≤．……………13分

（17）（共14分）

证明：

（Ⅰ）连接．

因为四边形为菱形，，

所以△为正三角形．又为中点，

所以．

因为,为的中点，

又，

所以平面．………………4分

（Ⅱ）当时，∥平面．

下面证明：

连接交于，连接．

因为∥，

所以．

因为∥平面，平面，平面平面，

所以∥.

所以，即．

所以，

所以∥.

又平面，平面，

所以∥平面．…………9分

（Ⅲ）因为，

又平面平面，交线为，

所以平面．

以为坐标原点，分别以所在的直

线为轴，

建立如图所示的空间直角坐标系．

由===2，

则有，，．

设平面的法向量为=，

由，

且，，

可得

令得．

所以=为平面的一个法向量．

取平面的法向量=，

则，

故二面角的大小为60°

．…………14分

（18）（共13分）

（Ⅰ）．

因为且，所以．

所以函数在区间上是增函数．…………6分

（Ⅱ）由题意.

则.…………8分

令，即.①

由于，可设方程①的两个根为，，

由①得，

由于所以，不妨设，

．

当时，为极小值，

所以在区间上，在或处取得最大值；

当≥时，由于在区间上是单调递减函数，所以最大值为，

综上，函数只能在或处取得最大值．…………10分

又已知在处取得最大值，所以≥，

即≥，解得≤，又因为，

所以（］．………13分

（19）（共13分）

解：

（Ⅰ）由△是等腰直角三角形，得，，

故椭圆方程为．　　　　…………5分

（Ⅱ）假设存在直线交椭圆于，两点，且为△的垂心，

设，

因为，，故．…………7分

于是设直线的方程为，

由得．

由，得，且,．……9分

由题意应有，又，

故，

得．

即．

整理得．

解得或．…………12分

经检验，当时，△不存在，故舍去．

当时，所求直线存在，且直线的方程为．

…………13分

（20）（共14分）

（Ⅰ）因为①当时，，

所以方程有实数根0；

②，

所以，满足条件；

由①②，函数是集合中的元素.…………5分

（Ⅱ）假设方程存在两个实数根，，

则，.

不妨设，根据题意存在，

满足.

因为，，且，所以.

与已知矛盾.又有实数根，

所以方程有且只有一个实数根.…………10分

（Ⅲ）当时，结论显然成立；

当，不妨设.

因为,且所以为增函数，那么.

又因为，所以函数为减函数，

所以.

所以，即.

因为，所以，

（1）

又因为，所以，

（2）

（1）

（2）得即.

综上，对于任意符合条件的,总有成立.……14分

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