普通高等学校招生全国统一考试数学卷辽宁理含答案Word格式文档下载.docx

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A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

6．若函数的图象按向量平移后，得到函数的图象，则向量（）

7．若是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是（）

A．若，则B．若，，则

C．若，，则D．若，，则

8．已知变量满足约束条件则的取值范围是（）

A．B．C．D．

9．一个坛子里有编号为1，2，…，12的12个大小相同的球，其中1到6号球是红球，其余的是黑球，若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有1个球的号码是偶数的概率是（）

10．设是两个命题：

，则是的（）

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

11．设为双曲线上的一点，是该双曲线的两个焦点，若，则的面积为（）

12．已知与是定义在上的连续函数，如果与仅当时的函数值为0，且，那么下列情形不可能出现的是（）

A．0是的极大值，也是的极大值B．0是的极小值，也是的极小值

C．0是的极大值，但不是的极值D．0是的极小值，但不是的极值

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

二、填空题：

本大题共4小题，每小题4分，共16分．

13．已知函数在点处连续，则．

14．设椭圆上一点到左准线的距离为10，是该椭圆的左焦点，若点满足，则=．

15．若一个底面边长为，棱长为的正六棱柱的所有顶点都在一个平面上，则此球的体积为．

16．将数字1，2，3，4，5，6拼成一列，记第个数为，若，，，，则不同的排列方法有种（用数字作答）．

三、解答题：

本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分12分）

已知函数（其中）

（I）求函数的值域；

（II）若对任意的，函数，的图象与直线有且仅有两个不同的交点，试确定的值（不必证明），并求函数的单调增区间．

18．（本小题满分12分）

如图，在直三棱柱中，，，分别为棱的中点，为棱上的点，二面角为．

（I）证明：

；

（II）求的长，并求点到平面的距离．

19．（本小题满分12分）

某企业准备投产一批特殊型号的产品，已知该种产品的成本与产量的函数关系式为

该种产品的市场前景无法确定，有三种可能出现的情况，各种情形发生的概率及产品价格与产量的函数关系式如下表所示：

市场情形

概率

价格与产量的函数关系式

好

0.4

中

差

0.2

设分别表示市场情形好、中差时的利润，随机变量，表示当产量为，而市场前景无法确定的利润．

（I）分别求利润与产量的函数关系式；

（II）当产量确定时，求期望；

（III）试问产量取何值时，取得最大值．

20．（本小题满分14分）

已知正三角形的三个顶点都在抛物线上，其中为坐标原点，设圆是的内接圆（点为圆心）

（I）求圆的方程；

（II）设圆的方程为，过圆上任意一点分别作圆的两条切线，切点为，求的最大值和最小值．

21．（本小题满分12分）

已知数列，与函数，，满足条件：

，.

（I）若，，，存在，求的取值范围；

（II）若函数为上的增函数，，，，证明对任意，（用表示）．

22．（本小题满分12分）

已知函数，．

当时，在上是增函数；

（II）对于给定的闭区间，试说明存在实数，当时，在闭区间上是减函数；

（III）证明：

．

数学（理科）试题答案与评分参考

本题考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分60分.

（1）B

（2）C（3）D（4）B（5）B（6）A（7）C（8）A（9）D（10）A（11）B（12）C

本题考查基本知识和基本运算.每小题4分，满分16分.

（13）-1（14）2（15）（16）30

三、解答题

（17）本小题主要考查三角函数公式，三角函数图象和性质等基础知识，考查综合运用三角函数有关知识的能力.满分12分.

（Ⅰ）解：

……………………5分

由≤≤,得≤2≤1.

可知函数的值域为[-3,1].7分

（Ⅱ）解：

由题设条件及三角函数图象和性质可知，的周期为＞0，得，即得9分

于是有，再由≤≤，

解得≤x≤.

所以的单调增区间为[，].12分

（18）本小题主要考查空间中的线面关系，解三角形等基础知识，考查空间想象能力与思维满分12分.

（Ⅰ）证明：

连结CD.∵三棱柱ABC-A，BC是直三棱柱.

∴∴CD为C1D在平面ABC内的射影.

∵△ABC中，AC=BC，D为AB中点.∴

∴∵∴

（Ⅱ）解法一：

过点A作CE的平行线，

交ED的延长线于F，连结MF.

∵D、E分别为AB、BC的中点.

∵又∴

∵AF为MF在平面ABC内的射影，∴

∴为二面角的平面角，.

在△MAF中,,∴

作，垂足为G.∵∴

∴∴

在△GAF中,，AF=∴，即A到平面MDE的距离为.

∵∴

∴C到平面MDE的距离与A到平面MDE的距离相等,为，

解法二：

过点A作CE的平行线，交ED的延长线于F，连结MF.

∵D、E分别为AB、CB的中点，∴

又∵∴

∵∴AF为MF在平面ABC内的射影，

∴∴为二面角的平面角，.

设C到平面MDE的距离为h.∵,∴

∴∴,即C到平面MDE的距离相等,为

（19）本小题主要考查数学期望,利用导数求多项式函数最值等基础知识,考查运用概率和函数知识建模解决实际问题的能力.满分12分.

（Ⅰ）解:

由题意可得

L1=（q＞0）.

同理可得（q＞0）

（q＞0）4分

（Ⅱ）解:

由期望定义可知

（Ⅲ）解:

由（Ⅱ）可知是产量q的函数,设（q＞0）

得0解得（舍去）.

由题意及问题的实际意义（或当0＜q＜10时,f′（q）＞0;

当q＞10时,f（q）＜0＝可知,当q=10时,f（q）取得最大值,即最大时的产量q为10.

（20）本小题主要考查平面向量,圆与抛物线的方程及几何性质等基本知识,考查综合运用解析几何知识解决问题的能力.满分14分.

（Ⅰ）解法一:

设A、B两点坐标分别为，由题设知

解得

所以

设圆心C的坐标为（r,0），则因此圆C的方程为

4分

设A、B两点坐标分别为由题设知.

又因为即

由x1＞0，x2＞0，可知x1=x2，故A、B两点关于x轴对称，所以圆心C在x轴上.

设C点的坐标为（r,0），则A点坐标为，于是有，

解得r=4,所以圆C的方程为4分

设∠ECF=2a,则

.8分

在Rt△PCE中,.由圆的几何性质得

≤≥10分

所以≤≤，由此可得≤≤.

故的最大值为，最小值为.14分

（21）本小题主要考查数列的定义，数列的递推公式，等比数列，函数，不等式等基础知识，考查数学归纳法解法问题的能力.满分12分.

（Ⅰ）解法一：

由题设知得，又已知,

可得

由

其首项为.于是

又liman存在，可得0＜＜1,所以-2＜t＜2且

解法二.由题设知tbn+1=2bn+1,且可得

由可知,

所以是首项为,公的等比数列.

由可知，若存在，则存在.

于是可得0＜＜1,所以-1＜t.=2

解法三:

由题设知tbn+1=2bn+1,即①

于是有②

②-①得

由，

所以是首项为b公比为的等比数列，于是

（b2-b1）+2b.

又存在，可得0＜＜1,所以-2＜t＜2且

说明：

数列通项公式的求法和结果的表达形式均不唯一，其他过程和结果参照以标准.

（Ⅱ）证明：

因为.

下面用数学归纳法证明＜.

（1）当n=1时，由f（x）为增函数,且＜1,得＜1

＜1＜，即＜，结论成立.

（2）假设n=k时结论成立，即＜.由f（x）为增函数，得

＜f即＜进而得＜f（）即＜.

这就是说当n=k+1时，结论也成立.

根据

（1）和

（2）可知，对任意的，＜.

（22）本小题主要考查二次函数，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值，考查综合运用数学知识解决问题的能力.满分12分.

由题设得

又由≥,且t＜得t＜，即＞0.

由此可知，为R上的增函数.

（Ⅱ）证法一：

因为＜0是为减函数的充分条件，所以只要找到实数k，使得t

＜0，即t＞在闭区间[a,b]上成立即可.

因此y=在闭区间[a,b]上连续，故在闭区[a,b]上有最大值，设其为k，t＞k时,＜0在闭区间[a,b]上恒成立，即在闭区间[a,b]上为减函数.

证法二：

因为＜0是为减函数的充分条件，所以只要找到实数k，使得t＞k时

＜0，在闭区间[a,b]上成立即可.

令则＜0（）当且仅当

＜0（）.而上式成立只需即

成立.取与中较大者记为k，易知当t＞k时，＜0在闭区[a,b]成立，即在闭区间[a,b]上为减函数.

（Ⅲ）证法一：

设

易得≥.

令则易知当x＞0时,＞0;

当x＜0,＜0.故当x=0时，取最小值，所以≥，

于是对任意x、t，有≥，即≥.

设=

≥，当且仅当≥0

只需证明≤0，即≥1

以下同证法一.

证法三：

设=，则

易得当t＞时,＞0;

t＜时,＜0，

故当t=取最小值即≥

证法四:

设点A、B的坐标分别为，易知点B在直线y=x上，令点A到直线y=离为d，则≥