最新教学研究高中数学+椭圆+超经典+知识点+典型例题讲解优秀名师资料文档格式.docx
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1（当焦点在轴上时，椭圆的标准方程:
，其中;
2（当焦点在轴上时，椭圆的标准方程:
1（只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程;
2（在椭圆的两种标准方程中，都有和;
3（椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，;
当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，。
讲练结合二（利用标准方程确定参数
22xy1.若方程+=1
（1）表示圆，则实数k的取值是.5,kk,3
（2）表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是.（3）表示焦点在y型上的椭圆，则实数k的取值范围是.（4）表示椭圆，则实数k的取值范围是.
222.椭圆的长轴长等于，短轴长等于,顶点坐标425100xy，,
是,焦点的坐标是,焦距是，离心率等于,
22xy2，,13（椭圆的焦距为，则=。
m4m
22k,4（椭圆的一个焦点是，那么。
（0,2）5x，ky,5
讲练结合三（待定系数法求椭圆标准方程
1（若椭圆经过点，，则该椭圆的标准方程为。
（4,0）,（0,3）,
22a,13c,122（焦点在坐标轴上，且，的椭圆的标准方程为
a:
b,2:
1c,6x3（焦点在轴上，，椭圆的标准方程为4.已知三点P（5，2）、F（,6，0）、F（6，0），求以F、F为焦点且过点P的椭圆的标准方1212
程;
知识点三:
椭圆的简单几何性质
椭圆的的简单几何性质
（1）对称性
对于椭圆标准方程，把x换成―x，或把y换成―y，或把x、y同时换成―x、―y，方程都不变，所以椭圆是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。
（2）范围
椭圆上所有的点都位于直线x=?
a和y=?
b所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足|x|?
a，|y|?
b。
（3）顶点
?
椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。
椭圆（a,b,0）与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为A（―a，10），
A（a，0），B（0，―b），B（0，b）。
212
线段AA，BB分别叫做椭圆的长轴和短轴，|AA|=2a，|BB|=2b。
a和b分别叫做椭圆12121212
的长半轴长
和短半轴长。
（4）离心率
椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e表示，记作。
因为a,c,0，所以e的取值范围是0,e,1。
e越接近1，则c就越接近a，从而越小，因
此椭圆越扁;
反之，e越接近于0，c就越接近0，从而b越接近于a，这时椭圆就越接近于圆。
当且仅当
222a=b时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为x+y=a。
注意:
椭圆的图像中线段的几何特征（如下图）:
（1），，;
（2），，;
（3）,，;
讲练结合四（焦点三角形
22xyAB，,11（椭圆的焦点为、，是椭圆过焦点的弦，则的周长是。
FFF,ABF1212925
22P2（设，为椭圆的焦点，为椭圆上的任一点，则的周长是多少,FF,PFF16x，25y,4001212
的面积的最大值是多少,,PFF12
22xyP，,13（设点是椭圆上的一点，FF,是焦点，若，FPF是直角，则,FPF的面积1212122516
为。
22P变式:
已知椭圆，焦点为F、F，是椭圆上一点（若，FPF,60:
，9x，16y,1441212求,PFF的面积（12
五（离心率的有关问题
22xy11.椭圆的离心率为，则，,1m,24m
02.从椭圆短轴的一个端点看长轴两端点的视角为，则此椭圆的离心率为120e3（椭圆的一焦点与短轴两顶点组成一个等边三角形，则椭圆的离心率为
4.设椭圆的两个焦点分别为F、F，过F作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若?
FPF为等腰直角三1、2212角形，求椭圆的离心率。
0?
ABCAB，C5.在中，（若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆，A,30,|AB|,2,S,3,ABC
的离心率（e,
讲练结合六.最值问题
2x2，,y11.椭圆两焦点为F、F，点P在椭圆上，则|PF|?
|PF|的最大值为_____，最小值为_____12124
22xy，,12、椭圆两焦点为F、F，A（3，1）点P在椭圆上，则|PF|+|PA|的最大值为_____，最1212516
小值为___
2x2，,y13、已知椭圆，A（1，0），P为椭圆上任意一点，求|PA|的最大值最小值。
4
22yx4.设F是椭圆，=1的右焦点,定点A（2,3）在椭圆内,在椭圆上求一点P使|PA|+2|PF|最小,2432
求P点坐标最小值.
知识点四:
椭圆与（a,b,0）的区别和联系
标准方程图形
焦点，，
焦距
，，范围
对称性关于x轴、y轴和原点对称
，，顶点
性质
长轴长=，短轴长=轴
离心率
准线方程
焦半径，，
椭圆，（a,b,0）的相同点为形状、大小都相同，参数间的关系
222都有a,b,0和，a=b+c;
不同点为两种椭圆的位置不同，它们的焦点坐标也不相
同。
1（如何确定椭圆的标准方程,
任何椭圆都有一个对称中心，两条对称轴。
当且仅当椭圆的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，椭圆的方程才是标准方程形式。
此时，椭圆焦点在坐标轴上。
确定一个椭圆的标准方程需要三个条件:
两个定形条件a、b，一个定位条件焦点坐标，由焦点坐标的形式确定标准方程的类型。
2（椭圆标准方程中的三个量a、b、c的几何意义
椭圆标准方程中，a、b、c三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的，分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为:
a,b,0，a
222,c,0，且a=b+c。
可借助下图帮助记忆:
a、b、c恰构成一个直角三角形的三条边，其中a是斜边，b、c为两条直角边。
3（如何由椭圆标准方程判断焦点位置
22椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是:
看x、y的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。
224（方程Ax+By=C（A、B、C均不为零）表示椭圆的条件
22方程Ax+By=C可化为，即，
所以只有A、B、C同号，且A?
B时，方程表示椭圆。
当时，椭圆的焦点在x轴上;
当时，椭圆的焦点在y轴上。
5（求椭圆标准方程的常用方法:
待定系数法:
由题目条件确定焦点的位置，从而确定方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方
程中的参数、、的值。
其主要步骤是“先定型，再定量”;
定义法:
由题目条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程。
6（共焦点的椭圆标准方程形式上的差异
共焦点，则c相同。
2与椭圆（a,b,0）共焦点的椭圆方程可设为（k,,b）。
此类问题常用待定系数法求解。
7（判断曲线关于x轴、y轴、原点对称的依据:
若把曲线方程中的x换成―x，方程不变，则曲线关于y轴对称;
若把曲线方程中的y换成―y，方程不变，则曲线关于x轴对称;
若把曲线方程中的x、y同时换成―x、―y，方程不变，则曲线关于原点对称。
8（如何解决与焦点三角形?
PFF（P为椭圆上的点）有关的计算问题,12
与焦点三角形有关的计算问题时，常考虑到用椭圆的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式相结合的方法进行计算与解题，将有关线段、
、，有关角（）结合起来，建立、之间的关系.
9（如何研究椭圆的扁圆程度与离心率的关系,
222长轴与短轴的长短关系决定椭圆形状的变化。
离心率，因为c=a,b，a,c,0，用a、b表示为，当越小时，椭圆越扁，e越大;
当越大，椭圆趋近圆，e越小，并且0,e,1。
课后作业
1已知F（-8，0），F（8，0），动点P满足|PF|+|PF|=16，则点P的轨迹为（）1212
A圆B椭圆C线段D直线
22xy,,,12、椭圆左右焦点为F、F，CD为过F的弦，则CDF的周长为______1211169
22xy，,13已知方程表示椭圆，则k的取值范围是（）11，,kk
A-1<
k<
1Bk>
0Ck?
0Dk>
1或k<
-1
4、求满足以下条件的椭圆的标准方程
（1）长轴长为10，短轴长为6
（2）长轴是短轴的2倍，且过点（2，1）
（3）经过点（5，1），（3，2）
13.1—3.4入学教育1加与减
（一）1P2-35、若?
ABC顶点B、C坐标分别为（-4，0），（4，0），AC、AB边上的中线长之和为30，则?
ABC的重心G的
（二）空间与图形轨迹方程为______________________
（2）顶点式：
22xy6.椭圆的左右焦点分别是F、F，过点F作x轴的垂线交椭圆于P点。
,,,1（0）ab12122ab
（2）两锐角的关系：
∠A＋∠B=90°
；
若?
FPF=60?
，则椭圆的离心率为_________12
7、已知正方形ABCD，则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的的离心率为_______椭圆方程为___________________.
22xy8已知椭圆的方程为，P点是椭圆上的点且,求的面积，,1,PFF，,:
FPF60121243
9.若椭圆的短轴为AB，它的一个焦点为F，则满足?
ABF为等边三角形的椭圆的离心率为11
22xy10.椭圆上的点P到它的左焦点的距离是12，那么点P到它的右焦点的距离是，,110036
（4）二次函数的图象：
是以直线为对称轴，顶点坐标为（，）的抛物线。
（开口方向和大小由a来决定）22xy11（已知椭圆，,1（a,5）的两个焦点为、，且FF,8，弦AB过点，则?
的周长FFFABF121212225a
经过同一直线上的三点不能作圆.22xy12.在椭圆+=1上求一点P,使它到左焦点的距离是它到右焦点的距离的两倍259
13、中心在原点、长轴是短轴的两倍,一条准线方程为,那么这个椭圆的方程为。
x,4
84.16—4.22有趣的图形1整理复习2e14、椭圆的两个焦点三等分它的两准线间的距离,则椭圆的离心率=___________.15、椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,准线方程为,椭圆上一点到两焦点的距离分别为10和14,则椭圆y,,18
方程为___________________.
2216.已
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