奥数比和比例含答案.doc

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比和比例

月日姓名

【知识要点】

一、比和比例的性质

性质1：

若a:

b=c：

d，则（a+c）：

（b+d）=a：

b=c：

d；

性质2：

若a:

b=c：

d，则（a-c）：

（b-d）=a：

b=c：

d；

性质3：

若a:

b=c：

d，则（a+xc）：

（b+xd）=a：

b=c：

d；（x为常数）

性质4：

若a:

b=c：

d，则a×d=b×c；（即外项积等于内项积）

正比例：

如果a÷b=k（k为常数），则称a、b成正比；

反比例：

如果a×b=k（k为常数），则称a、b成反比．

二、主要比例转化实例

　　①　　；；；②　　；（其中）；

③　；　；；

④，；；

⑤的等于的，则是的，是的．

三、按比例分配与和差关系

⑴按比例分配

例如：

将个物体按照的比例分配给甲、乙两个人，那么实际上甲、乙两个人各自分配到的物体数量与的比分别为和，所以甲分配到个，乙分配到个.

⑵已知两组物体的数量比和数量差，求各个类别数量的问题

例如：

两个类别、，元素的数量比为（这里），数量差为，那么的元素数量为，的元素数量为，所以解题的关键是求出与或的比值．

四、比例题目常用解题方式和思路

解答分数应用题关键是正确理解、运用单位“l”。

题中如果有几个不同的单位“1”，必须根据具体情况，将不同的单位“1”，转化成统一的单位“1”，使数量关系简单化，达到解决问题的效果。

在解答分数应用题时，要注意以下几点：

1.题中有几种数量相比较时，要选择与各个已知条件关系密切、便于直接解答的数量为单位“1”。

2.若题中数量发生变化的，一般要选择不变量为单位“1”。

3.应用正、反比例性质解答应用题时要注意题中某一数量是否一定，然后再确定是成正比例，还是成反比例。

找出这些具体数量相对应的分率与其他具体数量之间的正、反比例关系，就能找到更好、更巧的解法。

4.题中有明显的等量关系，也可以用方程的方法去解。

5.赋值解比例问题

【典型例题】比例转化

【例1】已知甲、乙、丙三个数，甲等于乙、丙两数和的，乙等于甲、丙两数和的，丙等于甲、乙两数和的，求.

【例2】已知甲、乙、丙三个数，甲的一半等于乙的倍也等于丙的，那么甲的、乙的倍、丙的一半这三个数的比为多少？

【例3】如下图所示，圆与圆的面积之和等于圆面积的，且圆中的阴影部分面积占圆面积的，圆的阴影部分面积占圆面积的，圆的阴影部分面积占圆面积的．求圆、圆、圆的面积之比．

【例4】某俱乐部男、女会员的人数之比是，分为甲、乙、丙三组．已知甲、乙、丙三组的人数比是，甲组中男、女会员的人数之比是，乙组中男、女会员的人数之比是．求丙组中男、女会员人数之比．

【巩固】一项公路的修建工程被平均分成两份承包给甲、乙个工程队建设，两个工程队建设了相同多的一段时间后，分别剩下、的任务没有完成，已知两个工程队的工作效率（建设速度）之比，求这两个工程队原先承包的修建公路长度之比.

【例5】某团体有名会员，男女会员人数之比是，会员分成三组，甲组人数与乙、丙两组人数之和一样多，各组男女会员人数之比依次为、、，那么丙组有多少名男会员？

【例6】、、三项工程的工作量之比为，由甲、乙、丙三队分别承担．三个工程队同时开工，若干天后，甲完成的工作量是乙未完成的工作量的二分之一，乙完成的工作量是丙未完成的工作量的三分之一，丙完成的工作量等于甲未完成的工作量，则甲、乙、丙队的工作效率的比是多少？

【巩固】某次数学竞赛设一、二、三等奖．已知：

①甲、乙两校获一等奖的人数相等；②甲校获一等奖的人数占该校获奖总人数的百分数与乙校相应的百分数的比为；③甲、乙两校获二等奖的人数总和占两校获奖人数总和的；④甲校获三等奖的人数占该校获奖人数的；⑤甲校获二等奖的人数是乙校获二等奖人数的倍．那么，乙校获一等奖的人数占该校获奖总人数的百分数等于多少？

【例7】①某校毕业生共有9个班，每班人数相等．②已知一班的男生人数比二、三班两个班的女生总数多1；③四、五、六班三个班的女生总数比七、八、九班三个班的男生总数多1．那么该校毕业生中男、女生人数比是多少？

随堂小测

【按比例分配与和差关系】

（一）量倍对应

【例8】一些苹果平均分给甲、乙两班的学生，甲班比乙班多分到个，而甲、乙两班的人数比为，求一共有多少个苹果？

【巩固】小新、小志、小刚三人拥有的藏书数量之比为，三人一共藏书本，求他们三人各自的藏书数量.

【巩固】在抗洪救灾区活动中，甲、乙、丙三人一共捐了80元．已知甲比丙多捐18元，甲、乙所捐资的和与乙、丙所捐资的和之比是，则甲捐多少元，乙捐多少元，丙捐多少元．

【巩固】有个皮球，分给两个班使用，一班分到的与二班分到的相等，求两个班各分到多少皮球？

【例9】一班和二班的人数之比是，如果将一班的名同学调到二班去，则一班和二班的人数比变为．求原来两班的人数．

【例10】幼儿园大班和中班共有32名男生，18名女生．已知大班男生数与女生数的比为，中班男生数与女生数的比为，那么大班有女生多少名？

【巩固】参加植树的同学共有人，已知六年级与五年级人数的比是，六年级比四年级多人，三个年级参加植树的各有多少人?

【巩固】圆珠笔和铅笔的价格比是4：

3，20支圆珠笔和21支铅笔共用71．5元．问圆珠笔的单价是每支多少元?

【例11】甲、乙两只蚂蚁同时从点出发，沿长方形的边爬去，结果在距点厘米的点相遇，已知乙蚂蚁的速度是甲的倍，求这个长方形的周长．

【例12】甲乙两车分别从A，B两地出发，相向而行．出发时，甲、乙的速度比是5∶4，相遇后，甲的速度减少20％，乙的速度增加20％，这样，当甲到达B地时，乙离A地还有10千米．问：

A，B两地相距多少千米？

【例13】师徒二人加工一批零件，师傅加工一个零件用9分钟，徒弟加工一个零件用15分钟．完成任务时，师傅比徒弟多加工100个零件，求师傅和徒弟一共加工了多少个零件？

【巩固】师徒二人共加工零件个，师傅加工一个零件用分钟，徒弟加工一个零件用分钟．完成任务时，师傅比徒弟多加工多少个零件？

【例14】、、三个水桶的总容积是公升，如果、两桶装满水，桶是空的；若将桶水的全部和桶水的，或将桶水的全部和桶水的倒入桶，桶都恰好装满．求、、三个水桶容积各是多少公升？

【巩固】正方向教育学校四五六年级共有615名学生，已知六年级学生的，等于五年级学生的，等于四年级学生的。

这三个年级各有多少名学生学生？

家长留言：

1、由甲等于乙、丙两数和的，得到甲等于三个数和的，同样的乙等于甲、丙两数和的，同样的丙等于甲、乙两个数和的，所以．

2、甲的一半、乙的倍、丙的这三个数的比为，所以甲、乙、丙这三个数的比为即，化简为，那么甲的、乙的倍、丙的一半这三个数的比为即，化简为.

3、设与的共同部分的面积为，与的共同部分的面积为，则根据题意有，，，于是得到，这条式子可化简为，所以.最后得到.

4、以总人数为1，则甲组男会员人数为，女会员为，乙组男会员为，女会员为；丙组男会员为，女会员为；所以，丙组中男、女会员人数之比为．

【解析】（法一）甲工程队以倍乙工程队建设速度，仅完成了的承包任务，而乙工程队完成了，所以甲工程队承包任务的等于乙工程队承包任务的，所以甲工程队的承包的任务是乙工程队承包任务的，所以两个工程队承包的修建公路长度之比为．

（法二）两个工程队完成的工程任务（修建公路长度）之比等于工作效率之比，等于，而他们分别完成了各自任务的和，所以两个工程队承包的修建公路长度之比为．

【解析】会员总人数人，男女比例为，则可知男、女会员人数分别为人、人；又已知甲组人数与乙、丙两组人数之和一样多，则可知甲组人数为人，乙、丙人数之和为人，可设丙组人数为人，则乙组人数为人，又已知甲组男、女会员比为，则甲组男、女会员人数分别为人、人，又已知乙、丙两组男、女会员比例，则可得：

，解得．即丙组会员人数为人，又已知男、女比例，可得丙组男会员人数为人．

【解析】根据题意，如果把工程的工作量看作，则工程的工作量就是，工程的工作量就是．

　　设甲、乙、丙三个工程队的工作效率分别为、、.经过天，则：

将⑶代入⑵，得，

将⑷代入⑴，得，，

将代入⑴，得．代入⑶，得．

　　　　甲、乙、丙三队的．工作效率的连比是．

【巩固】某次数学竞赛设一、二、三等奖．已知：

①甲、乙两校获一等奖的人数相等；②甲校获一等奖的人数占该校获奖总人数的百分数与乙校相应的百分数的比为；③甲、乙两校获二等奖的人数总和占两校获奖人数总和的；④甲校获三等奖的人数占该校获奖人数的；⑤甲校获二等奖的人数是乙校获二等奖人数的倍．那么，乙校获一等奖的人数占该校获奖总人数的百分数等于多少？

【解析】由①、②可知甲、乙两校获奖总人数的比为，不妨设甲校有60人获奖，则乙校有50人获奖．由③知两校获二等奖的共有人；由⑤知甲校获二等奖的有人；由④知甲校获一等奖的有人，那么乙校获一等奖的也有12人，从而所求百分数为．

【解析】如下表所示，由②知，一、二、三班的男生总数比二、三班总人数多1；由③知，四至九班的男生总数比四、五、六班总人数少1．

一班男生

比

二、三班女生

多1人

加上

二、三班男生

二、三班男生

一、二、三班男生

比

二、三班总人数

多1人

七、八、九班男生

比

四、五、六班女生

少1人

加上

四、五、六班男生

四、五、六班男生

四、五、六、七、八、九班男生

比

四、五、六班总人数

少1人

因此，一至九班的男生总数是二、三、四、五、六共五个班的人数之和，由于每班人数均相等，则女生总数等于四个班的人数之和．所以，男、女生人数之比是．

模块二、按比例分配与和差关系

（一）量倍对应

【解析】一共有个苹果.

【巩固】小新、小志、小刚三人拥有的藏书数量之比为，三人一共藏书本，求他们三人各自的藏书数量.

【解析】根据题意可知，他们三人各自的藏书数量分别占三人藏书总量的、、，所以小新拥有的藏书数量为本，小志拥有的藏书数量为本，小刚拥有的藏书数量为本.

【巩固】在抗洪救灾区活动中，甲、乙、丙三人一共捐了80元．已知甲比丙多捐18元，甲、乙所捐资的和与乙、丙所捐资的和之比是，则甲捐元，乙捐元，丙捐元．

【解析