高三数学高考一轮复习资料 二元一次不等式组与简单的线性规划问题Word文件下载.docx

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线性约束条件

由x，y的一次不等式（或方程）组成的不等式组，是对x，y的约束条件

目标函数

关于x，y的解析式

线性目标函数

关于x，y的一次解析式

可行解

满足线性约束条件的解（x，y）

可行域

所有可行解组成的集合

最优解

使目标函数达到最大值或最小值的可行解

线性规划问题

求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题

辨析感悟

1．对二元一次不等式（组）表示的平面区域的认识

（1）点（x1，y1），（x2，y2）在直线Ax＋By＋C＝0同侧的充要条件是（Ax1＋By1＋C）（Ax2＋By2＋C）＞0，异侧的充要条件是（Ax1＋By1＋C）（Ax2＋By2＋C）＜0.（√）

（2）第二、四象限表示的平面区域可以用不等式xy＜0表示．（√）

（3）（教材习题改编）已知变量x，y满足约束条件则其表示的平面区域的面积为4.（√）

2．对简单的线性规划问题的理解

（4）线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上．（√）

（5）目标函数z＝ax＋by（b≠0）中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距．（×

）

（6）（·

湖南卷改编）若变量x，y满足约束条件，则x＋2y的最大值是.（√）

[感悟·

提升]

1．确定二元一次不等式表示的平面区域时，经常采用“直线定界，特殊点定域”的方法．

2．求线性目标函数z＝ax＋by（ab≠0）的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；

当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.

考点一　二元一次不等式（组）表示的平面区域

【例1】

（1）（·

济南模拟）不等式组表示的平面区域的面积为（　　）．

A．4B．1

C．5D．无穷大

（2）（·

安徽卷）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足||＝||＝·

＝2，则点集{P|＝λ＋μ，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的区域的面积是（　　）．

A．2B．2

C．4D．4

解析　

（1）不等式组表示的平面区域如图所示（阴影部分），△ABC的面积即为所求．

求出点A，B，C的坐标分别为（1,2），（2,2），（3,0），则△ABC的面积为S＝×

（2－1）×

2＝1.

（2）由||＝||＝·

＝2，知<

，>

＝.

设＝（2,0），＝（1，），＝（x，y），则解得

由|λ|＋|μ|≤1得|x－y|＋|2y|≤2.

作可行域如图．

则所求面积S＝2×

×

2×

2＝4.

答案　

（1）B　

（2）D

规律方法二元一次不等式组所确定的平面区域是不等式组中各个不等式所表示的半平面区域的公共部分，画出平面区域的关键是把各个半平面区域确定准确，其基本方法是“直线定界、特殊点定域”．

【训练1】若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是（　　）．

A.B．（0,1]

C.D．（0,1]∪

解析　不等式组表示的平面区域如图（阴影部分），求A，B两点的坐标分别为和（1,0），若原不等式组表示的平面区域是一个三角形，则直线x＋y＝a的a的取值范围是0＜a≤1或a≥.

答案　D

考点二　线性目标函数的最值

【例2】

（1）（·

天津卷）设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝y－2x的最小值为（　　）．

A．－7B．－4

C．1D．2

新课标全国Ⅱ卷）已知a＞0，x，y满足约束条件若z＝2x＋y的最小值为1，则a＝（　　）．

A.B.

解析　

（1）由x，y满足的约束条件可画出所表示的平面区域为如图所示的△ABC，作出直线y＝2x，经过平移得目标函数z＝y－2x在点B（5,3）处取得最小值，即zmin＝3－10＝－7.故选A.

（2）由约束条件画出可行域（如图所示的△ABC），

由得A（1，－2a），

当直线2x＋y－z＝0过点A时，

z＝2x＋y取得最小值，所以1＝2×

1－2a，解得a＝，故选B.

答案　

（1）A　

（2）B

规律方法

（1）求目标函数最值的一般步骤为：

一画、二移、三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．

（2）在约束条件是线性的情况下，线性目标函数只有在可行域的顶点或者边界上取得最值．在解答选择题或者填空题时可以根据可行域的顶点直接进行检验．

【训练2】（·

浙江卷）设z＝kx＋y，其中实数x，y满足若z的最大值为12，则实数k＝________.

解析　约束条件所表示的可行域为如图所示的△ABC，其中点A（4,4），B（0,2），C（2,0）．

目标函数z＝kx＋y，化为y＝－kx＋z.当－k≤，即k≥－时，目标函数z＝kx＋y在点A（4,4）取得最大值12，故4k＋4＝12，k＝2，满足题意；

当－k>

即k<

－时，目标函数z＝kx＋y在点B（0,2）取得最大值12，故k·

0＋2＝12，无解，综上可知，k＝2.

答案　2

考点三　线性规划的实际应用

【例3】（·

湖北卷改编）某客运公司用A，B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次．A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆．公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B型车不多于A型车7辆．若每天要以不少于900人运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A型车、B型车各多少辆？

审题路线　确定问题属于线性规划问题⇒设A，B两种型号车辆的数量为x，y，营运成本z⇒读题，列出线性约束条件及目标函数⇒画出可行域⇒把目标函数变形，平移，确定最小值经过的点⇒解两直线的交点⇒点代入目标函数可得．

解　设旅行社租用A型客车x辆，B型客车y辆，营运成本为z，则线性约束条件为目标函数为z＝1600x＋2400y.画出可行域：

如图中阴影部分所示，可知目标函数过点（5,12）时，有最小值zmin＝36800（元）．

故应配备A型车5辆、B型车12辆.

规律方法含有实际背景的线性规划问题其解题关键是找到制约求解目标的两个变量，用这两个变量建立可行域和目标函数，在解题时要注意题目中的各种相互制约关系，列出全面的制约条件和正确的目标函数．

【训练3】某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表

年产量/亩

年种植成本/亩

每吨售价

黄瓜

4吨

1.2万元

0.55万元

韭菜

6吨

0.9万元

0.3万元

为使一年的种植总利润（总利润＝总销售收入－总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积（单位：

亩）分别为（　　）．

A．50,0B．30,20

C．20,30D．0,50

解析　设黄瓜、韭菜的种植面积分别为x，y亩，则总利润z＝4×

0.55x＋6×

0.3y－1.2x－0.9y＝x＋0.9y.此时x，y满足条件

画出可行域如图，得最优解为A（30,20），故选B.

答案　B

1．平面区域的画法：

线定界、点定域（注意实虚线）．

2．求最值：

求二元一次函数z＝ax＋by（ab≠0）的最值，将函数z＝ax＋by转化为直线的斜截式：

y＝－x＋，通过求直线的截距的最值间接求出z的最值．最优解在顶点或边界取得．

3．解线性规划应用题，可先找出各变量之间的关系，最好列成表格，然后用字母表示变量，列出线性约束条件；

写出要研究的函数，转化成线性规划问题．　　　　　

思想方法6——利用线性规划思想求解非线性目标函数的最值

【典例】已知实数x，y满足

（1）若z＝，求z的最大值和最小值；

（2）若z＝x2＋y2，求z的最大值和最小值．

解　不等式组表示的平面区域如图所示，图中的阴影部分即为可行域．易得A（1,2），B（2,1）,M（2,3）．

（1）∵z＝＝，∴z的值即是可行域中的点与原点O连线的斜率，观察图形可知zmax＝kOA＝2，zmin＝kOB＝.

所以z的最大值为2，最小值为.

（2）过原点（0,0）作直线l垂直于直线x＋y－3＝0，垂足N，则直线l的方程为y＝x，

由得N，

点N在线段AB上，也在可行域内．

观察图象可知，可行域内点M到原点的距离最大，点N到原点的距离最小，又|OM|＝，|ON|＝，

即≤≤，∴≤x2＋y2≤13.

∴z的最大值为13，最小值为.

[反思感悟]

（1）本题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求法．

（2）解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义．

（3）本题错误率较高．出错原因是，很多学生无从入手，缺乏数形结合的应用意识，不知道从其几何意义入手解题．

【自主体验】

（·

山东卷改编）在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则z＝的最小值为（　　）．

A．2B．1

C．－D．－

解析　不等式组所表示的平面区域如图阴影部分，由图可知，z的值即是可行域中的点与原点O连线的斜率．

由得C（3，－1），当M点与C点重合时，z取最小值，∴z的最小值为－，故选C.

答案　C

基础巩固题组

（建议用时：

40分钟）

一、选择题

1．（·

衡阳模拟）不等式（x－2y＋1）（x＋y－3）≤0在坐标平面内表示的区域（用阴影部分表示），应是下列图形中的（　　）．

解析　（x－2y＋1）（x＋y－3）≤0⇒或画出平面区域后，只有C合题意．

2．（·

泰安模拟）不等式组所表示的平面区域的面积为（　　）．

A．1B.C.D.

解析　作出不等式组对应的区域为△BCD，由题意知xB＝1，xC＝2.由得yD＝，所以S△BCD＝×

（xC－xB）×

3．（·

杭州模拟）在约束条件下，目标函数z＝x＋y的最大值为（　　）．

A.B.C.D.

解析　由z＝x＋y，得y＝－2x＋2z.作出可行域如图阴影部分，平移直线y＝－2x＋2z，当直线经过点C时，直线y＝－2x＋2z在y轴上的截距最大，此时z最大．

由解得C点坐标为，代入z＝x＋y，得z＝＋×

4．（·

佛山一检）若变量x，y满足约束条件则z＝x－2y的最大值为（　　）．

A．4B．3C．2D．1

解析　画出可行域（如下图），

由z＝x－2y得y＝x－，则当目标函数过C（1，－1）时取得最大值，所以zmax＝1－2×

（－1）＝3.