高中物理10大难点强行突破之九带电粒子在磁场中的运动解析Word文件下载.docx

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4.洛伦兹力不做功．

（二）明确带电粒子在匀强磁场中的运动规律

带电粒子在只受洛伦兹力作用的条件下：

1.若带电粒子沿磁场方向射入磁场，即粒子速度方向与磁场方向平行，θ＝0°

或180°

时，带电粒子粒子在磁场中以速度υ做匀速直线运动．

2.若带电粒子的速度方向与匀强磁场方向垂直，即θ＝90°

时，带电粒子在匀强磁场中以入射速度υ做匀速圆周运动．

①向心力由洛伦兹力提供：

②轨道半径公式：

③周期：

，可见T只与有关，与v、R无关。

（三）充分运用数学知识（尤其是几何中的圆知识，切线、弦、相交、相切、磁场的圆、轨迹的圆）构建粒子运动的物理学模型，归纳带电粒子在磁场中的题目类型，总结得出求解此类问题的一般方法与规律。

1.“带电粒子在匀强磁场中的圆周运动”的基本型问题

（1）定圆心、定半径、定转过的圆心角是解决这类问题的前提。

确定半径和给定的几何量之间的关系是解题的基础，有时需要建立运动时间t和转过的圆心角α之间的关系（）作为辅助。

圆心的确定，通常有以下两种方法。

①已知入射方向和出射方向时，可通过入射点和出射点作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心（如图9-1中P为入射点，M为出射点）。

②已知入射方向和出射点的位置，可以通过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨道的圆心（如图9-2,P为入射点，M为出射点）。

（2）半径的确定和计算：

利用平面几何关系，求出该圆的可能半径或圆心角。

并注意以下两个重要的特点：

①粒子速度的偏向角等于回旋角α，并等于AB弦与切线的夹角（弦切角θ）的2倍，如图9-3所示。

即：

。

②相对的弦切角θ相等，与相邻的弦切角θ/互补，即θ＋θ/＝180o。

（3）运动时间的确定

粒子在磁场中运动一周的时间为T，当粒子运动的圆弧所对应的圆心角为α时，其运动时间可由下式表示。

注意：

带电粒子在匀强磁场中的圆周运动具有对称性。

①带电粒子如果从一直线边界进入又从该边界射出，则其轨迹关于入射点和出射点线段的中垂线对称，入射速度方向、出射速度方向与边界的夹角相等；

②在圆形磁场区域内，沿径向射入的粒子，必沿径向射出。

应用对称性可以快速地确定运动的轨迹。

例1：

如图9-4所示，在y小于0的区域内存在匀强磁场，磁场方向垂直于xy平面并指向纸面外，磁感应强度为B，一带正电的粒子以速度从O点射入磁场，入射速度方向为xy平面内，与x轴正向的夹角为θ，若粒子射出磁场的位置与O点的距离为L，求该粒子电量与质量之比。

图9-4图9-5

【审题】本题为一侧有边界的匀强磁场，粒子从一侧射入，一定从边界射出，只要根据对称规律①画出轨迹，并应用弦切角等于回旋角的一半，构建直角三角形即可求解。

【解析】根据带电粒子在有界磁场的对称性作出轨迹，如图9-5所示，找出圆心A，向x轴作垂线，垂足为H，由与几何关系得：

①

带电粒子在磁场中作圆周运动，由

解得②

①②联立解得

【总结】在应用一些特殊规律解题时，一定要明确规律适用的条件，准确地画出轨迹是关键。

例2：

电视机的显像管中，电子（质量为m，带电量为e）束的偏转是用磁偏转技术实现的。

电子束经过电压为U的加速电场后，进入一圆形匀强磁场区，如图9-6所示，磁场方向垂直于圆面，磁场区的中心为O，半径为r。

当不加磁场时，电子束将通过O点打到屏幕的中心M点。

为了让电子束射到屏幕边缘P，需要加磁场，使电子束偏转一已知角度θ，此时磁场的磁感强度B应为多少？

【审题】本题给定的磁场区域为圆形，粒子入射方向已知，则由对称性，出射方向一定沿径向，而粒子出磁场后作匀速直线运动，相当于知道了出射方向，作入射方向和出射方向的垂线即可确定圆心，构建出与磁场区域半径r和轨迹半径R有关的直角三角形即可求解。

【解析】如图9-7所示，电子在匀强磁场中做圆周运动，圆周上的两点a、b分别为进入和射出的点。

做a、b点速度的垂线，交点O1即为轨迹圆的圆心。

设电子进入磁场时的速度为v，对电子在电场中的运动过程有：

对电子在磁场中的运动（设轨道半径为R）有：

由图可知，偏转角θ与r、R的关系为：

联立以上三式解得：

【总结】本题为基本的带电粒子在磁场中的运动，题目中已知入射方向，出射方向要由粒子射出磁场后做匀速直线运动打到P点判断出，然后根据第一种确定圆心的方法即可求解。

2.“带电粒子在匀强磁场中的圆周运动”的范围型问题

例3：

如图9-8所示真空中宽为d的区域内有强度为B的匀强磁场方向如图，质量m带电-q的粒子以与CD成θ角的速度V0垂直射入磁场中。

要使粒子必能从EF射出，则初速度V0应满足什么条件？

EF上有粒子射出的区域？

【审题】如图9-9所示，当入射速度很小时电子会在磁场中转动一段圆弧后又从同一侧射出，速率越大，轨道半径越大，当轨道与边界相切时，电子恰好不能从另一侧射出，当速率大于这个临界值时便从右边界射出，依此画出临界轨迹，借助几何知识即可求解速度的临界值；

对于射出区域，只要找出上下边界即可。

【解析】粒子从A点进入磁场后受洛伦兹力作匀速圆周运动，要使粒子必能从EF射出，则相应的临界轨迹必为过点A并与EF相切的轨迹如图9-10所示，作出A、P点速度的垂线相交于O/即为该临界轨迹的圆心。

临界半径R0由有:

；

故粒子必能穿出EF的实际运动轨迹半径R≥R0

即:

有:

。

由图知粒子不可能从P点下方向射出EF，即只能从P点上方某一区域射出；

又由于粒子从点A进入磁场后受洛仑兹力必使其向右下方偏转，故粒子不可能从AG直线上方射出；

由此可见EF中有粒子射出的区域为PG，

且由图知:

【总结】带电粒子在磁场中以不同的速度运动时，圆周运动的半径随着速度的变化而变化，因此可以将半径放缩，运用“放缩法”探索出临界点的轨迹，使问题得解；

对于范围型问题，求解时关键寻找引起范围的“临界轨迹”及“临界半径R0”，然后利用粒子运动的实际轨道半径R与R0的大小关系确定范围。

例4：

如图9-11所示S为电子射线源能在图示纸面上和360°

范围内向各个方向发射速率相等的质量为m、带电-e的电子，MN是一块足够大的竖直挡板且与S的水平距离OS＝L，挡板左侧充满垂直纸面向里的匀强磁场；

①若电子的发射速率为V0，要使电子一定能经过点O，则磁场的磁感应强度B的条件？

②若磁场的磁感应强度为B，要使S发射出的电子能到达档板，则电子的发射速率多大？

③若磁场的磁感应强度为B，从S发射出的电子的速度为，则档板上出现电子的范围多大？

【审题】电子从点S发出后必受到洛仑兹力作用而在纸面上作匀速圆周运动，由于电子从点S射出的方向不同将使其受洛仑兹力方向不同，导致电子的轨迹不同，分析知只有从点S向与SO成锐角且位于SO上方发射出的电子才可能经过点O；

由于粒子从同一点向各个方向发射，粒子的轨迹构成绕S点旋转的一动态圆，动态圆的每一个圆都是逆时针旋转，这样可以作出打到最高点与最低点的轨迹，如图9-12所示，最低点为动态圆与MN相切时的交点，最高点为动态圆与MN相割，且SP2为直径时P为最高点。

【解析】①要使电子一定能经过点O，即SO为圆周的一条弦，

则电子圆周运动的轨道半径必满足，由得：

②要使电子从S发出后能到达档板，则电子至少能到达档板上的O点，故仍有粒子圆周运动半径，由有：

③当从S发出的电子的速度为时，电子在磁场中的运动轨迹半径

作出图示的二临界轨迹，故电子击中档板的范围在P1P2间；

对SP1弧由图知

对SP2弧由图知

【总结】本题利用了动态园法寻找引起范围的“临界轨迹”及“临界半径R0”，然后利用粒子运动的实际轨道半径R与R0的大小关系确定范围。

3.“带电粒子在匀强磁场中的圆周运动”的极值型问题

寻找产生极值的条件：

①直径是圆的最大弦；

②同一圆中大弦对应大的圆心角；

③由轨迹确定半径的极值。

例5：

图9-13中半径r＝10cm的圆形区域内有匀强磁场，其边界跟y轴在坐标原点O处相切；

磁场B＝0．33T垂直于纸面向内，在O处有一放射源S可沿纸面向各个方向射出速率均为

v=3.2×

106m/s的α粒子；

已知α粒子质量为m=6.6×

10-27kg，电量q=3.2×

10-19c，则α粒子通过磁场空间的最大偏转角θ及在磁场中运动的最长时间t各多少？

【审题】本题α粒子速率一定，所以在磁场中圆周运动半径一定，由于α粒子从点O进入磁场的方向不同故其相应的轨迹与出场位置均不同，则粒子通过磁场的速度偏向角θ不同，要使α粒子在运动中通过磁场区域的偏转角θ最大，则必使粒子在磁场中运动经过的弦长最大，因而圆形磁场区域的直径即为粒子在磁场中运动所经过的最大弦，依此作出α粒子的运动轨迹进行求解。

【解析】α粒子在匀强磁场后作匀速圆周运动的运动半径：

α粒子从点O入磁场而从点P出磁场的轨迹如图圆O/所对应的圆弧所示，该弧所对的圆心角即为最大偏转角θ。

由上面计算知△SO/P必为等边三角形，故θ＝60°

此过程中粒子在磁场中运动的时间由即为粒子在磁场中运动的最长时间。

【总结】当速度一定时，弧长（或弦长）越长，圆周角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长。

例6：

一质量m、带电q的粒子以速度V0从A点沿等边三角形ABC的AB方向射入强度为B的垂直于纸面的圆形匀强磁场区域中，要使该粒子飞出磁场后沿BC射出，求圆形磁场区域的最小面积。

【审题】由题中条件求出粒子在磁场中作匀速圆周运动的半径为一定，故作出粒子沿AB进入磁场而从BC射出磁场的运动轨迹图中虚线圆所示，只要小的一段圆弧PQ能处于磁场中即能完成题中要求；

故由直径是圆的最大弦可得圆形磁场的最小区域必为以直线PQ为直径的圆如图中实线圆所示。

【解析】由题意知，圆形磁场区域的最小面积为图中实线所示的圆的面积。

∵△ABC为等边三角形，故图中α＝30°

则：

故最小磁场区域的面积为。

【总结】根据轨迹确定磁场区域，把握住“直径是圆中最大的弦”。

4.“带电粒子在匀强磁场中的圆周运动”的多解型问题

抓住多解的产生原因：

（1）带电粒子电性不确定形成多解。

（2）磁场方向不确定形成多解。

（3）临界状态不唯一形成多解。

（4）运动的重复性形成多解。

例7：

如图9-15所示，第一象限范围内有垂直于xoy平面的匀强磁场，磁感应强度为B。

质量为m，电量大小为q的带电粒子在xoy平面里经原点O射入磁场中，初速度v0与x轴夹角θ=60o，试分析计算：

（1）带电粒子从何处离开磁场？

穿越磁场时运动方向发生的偏转角多大？

（2）带电粒子在磁场中运动时间多长？

【审题】若带电粒子带负电，进入磁场后做匀速圆周运动，圆心为O1，粒子向x轴偏转，并从A点离开磁场。

若带电粒子带正电，进入磁场后做匀速圆周运动，圆心为O2，粒子向y轴偏转，并从B点离开磁场。

粒子速率一定，所以不论粒子带何种电荷，其运动轨道半径一定。

只要确定粒子的运动轨迹，即可求解。

【解析】粒子运动半径：

如图9-16，有

带电粒子沿半径为R的圆运动一周所用的时间为

（1）若粒子带负电，它将从x轴上A点离开磁场，运动方向发生的偏转角

A点与O点相距

若粒子带正电，它将从y轴上B点离开磁场，运动方向