高中数学第一章三角函数173正切函数的诱导公式学案北师大版Word文件下载.docx

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A．－cotαB．cotα

C．tanαD．－tanα

答案　A

题型一　三角函数间关系的应用

【例1】　已知角α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P（3，y），且tanα＝－.

（1）求sinα＋cosα的值；

（2）求的值．

解　

（1）因为tanα＝＝－，所以y＝－4，则r＝5.

∴sinα＝－，cosα＝，则sinα＋cosα＝－.

（2）原式＝＝＝＝＝－10.

规律方法　三角函数之间关系的应用

利用三个三角函数之间的关系：

tanα＝进行弦切互化：

正用可以做到切化弦，逆用可以做到弦化切．

【训练1】　已知α为第二象限角，且tanα－＝，

求的值．

解　由tanα－＝，

得4tan2α－15tanα－4＝0，

得tanα＝－或tanα＝4.

又α为第二象限的角，

所以tanα＝－.

故＝

＝＝.

题型二　利用诱导公式求值

【例2】　求以下各式的值：

（1）7cos270°

＋3sin270°

＋tan765°

；

（2）.

解　

（1）原式＝7cos（180°

＋90°

）＋3sin（180°

）＋tan（2×

360°

＋45°

）

＝－7cos90°

－3sin90°

＋tan45°

＝0－3×

1＋1＝－2.

（2）原式＝

＝＝＝2＋.

规律方法　

（1）熟记诱导公式和特殊角的三角函数值是解决此类问题的基础和关键．

（2）无条件求值，又称给角求值，关键是利用诱导公式将任意的三角函数值转化为锐角的三角函数值．

【训练2】　

（1）tanπ＋tan的值为（　　）

A．－B．0

C.D．－

（2）若f（x）＝tanx，则f（600°

）的值为（　　）

A.B．－

解析　

（1）tanπ＋tan

＝tan＋tan

＝tan－tan

＝－－＝－，故选D.

（2）f（600°

）＝tan600°

＝tan（720°

－120°

）＝tan（－120°

）＝.

答案　

（1）D　

（2）C

方向1　化简

【例3－1】　

（1）化简：

（2）若a＝，求a2＋a＋1的值．

解　

（1）

＝

＝＝1

（2）a＝

＝＝1，

∴a2＋a＋1＝1＋1＋1＝3.

方向2　证明

【例3－2】　＝－tanα.

证明　左边＝

＝＝＝－tanα＝右边．

∴原等式成立．

方向3　化简并求值

【例3－3】　已知α是第三象限角，且f（α）＝

.

（1）化简f（α）;

（2）若tan（π－α）＝－2，求f（α）的值;

（3）若α＝－120°

，求f（α）的值．（注：

对任意角α有sin2α＋cos2α＝1成立）

解　

（1）f（α）

＝＝－cosα.

（2）因为tan（π－α）＝－2，

所以tanα＝2.所以sinα＝2cosα，

所以（2cosα）2＋cos2α＝1，即cos2α＝.

因为α是第三象限角，所以cosα＝－，所以f（α）＝.

（3）因为cos（－120°

）＝cos120°

＝－cos60°

＝－，

所以f（α）＝－cosα＝.

规律方法　1.三角函数式化简的常用方法

（1）依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为角α的三角函数．

（2）切化弦：

一般需将表达式中的切函数转化为弦函数．

2．三角恒等式的证明策略

在证明时一般从左边到右边，或从右边到左边，或左右归一，总之，应遵循化繁为简的原则．

定义法，化弦法，拆项拆角法，公式变形法．

课堂达标

1．tan300°

＋sin450°

的值为（　　）

A．1＋B．1－

C．－1－D．－1＋

解析　tan300°

＝tan（360°

－60°

）＋sin（360°

＝－tan60°

＋sin90°

＝1－.

2．公式tan（π－α）＝－tanα成立的条件是（　　）

A．α为锐角

B．α为不等于的任意角

C．α为任意角

D．α≠kπ＋（k∈Z）

解析　由正切函数的定义可知α≠kπ＋（k∈Z）．

答案　D

3．已知tan＝，则tan的值为________．

解析　tan＝tan

＝tan＝－tan

＝－.

答案　－

4．tan＋tan＋tan＋tan的值为________．

解析　原式＝tan＋tan＋tan＋tan

＝tan＋tan－tan－tan＝0.

答案　0

5．已知角α的终边经过点P（4，－3），

（1）求sinα，cosα，tanα的值;

（2）求·

的值．

解　

（1）因为r＝＝5，

所以sinα＝＝－，

cosα＝＝，

tanα＝＝－.

（2）·

＝·

＝－＝－＝－.

课堂小结

（1）正切函数的诱导公式在记忆时可简单记为“奇变偶不变，符号看象限”，即k·

±

α中，如果k为奇数，则正切变余切，至于符号取决于角k·

α所在的象限．

（2）在对三角式进行化简、求值、证明中，要遵循诱导公式先行的原则．

特别提醒　应用正切函数的诱导公式时，必须等式两边都有意义.

基础过关

1．tan的值为（　　）

解析　tan＝tan＝tan＝.

答案　C

2．已知角α终边上有一点P（5n,4n）（n≠0），则tan（180°

－α）的值是（　　）

A．－B．－

C．±

D．±

解析　∵角α终边上有一点P（5n,4n），

∴tanα＝，tan（180°

－α）＝－tanα＝－.

3．已知tan（－80°

）＝k，那么tan100°

的值是（　　）

A．－kB．k

C.D.

解析　tan（－80°

）＝－tan80°

＝k，则tan80°

＝－k.

tan100°

＝tan（180°

－80°

＝k.

4．函数f（x）＝asin2x＋btanx＋2，且f（－3）＝5，则f（3）等于________．

解析　∵f（－3）＝asin（－6）＋btan（－3）＋2＝5，

∴－asin6－btan3＝3，即asin6＋btan3＝－3.

∴f（3）＝asin6＋btan3＋2＝－3＋2＝－1.

答案　－1

5．已知tan＝，则tan＝________.

＝－tan＝－.

6．求下列各式的值：

（1）sincostan；

（2）sin（－1200°

）tan－cos585°

tan.

解　

（1）原式＝sincostan

＝costan

＝cos＝

＝－×

（2）原式＝－sin（4×

－240°

）tan－cos（360°

＋225°

）

＝－sin（－240°

）tan－cos45°

tan

＝×

sin（180°

＋60°

）－tan

＝－sin60°

－

7．已知角α的终边与单位圆交于点，

试求的值．

解　原式＝

＝－＝－tan2α.

∵角α的终边与单位圆交于点，

∴tanα＝－.∴原式＝－.

能力提升

8．已知tan（π－α）＝－，则的值是（　　）

A.B.

C.D．1

解析　由tan（π－α）＝－得tanα＝.

∴＝＝＝.

9．化简tan（27°

－α）·

tan（49°

－β）·

tan（63°

＋α）·

tan（139°

－β）的结果为（　　）

A．1B．－1

C．2D．－2

解析　原式＝tan[90°

－（63°

＋α）]·

tan（90°

＋49°

－β）

＝cot（63°

[－cot（49°

－β）]

＝－1.

10．已知tan（π－x）＝，则tan（x－3π）＝________.

解析　由tan（π－x）＝，知tanx＝－，

故tan（x－3π）＝－tan（3π－x）＝－tan（π－x）

＝tanx＝－.

11．已知cos（α＋β）＝－1，且tanα＝2，则tanβ＝________.

解析　由cos（α＋β）＝－1，知α＋β＝2kπ＋π（k∈Z），

∴β＝2kπ＋π－α，k∈Z.

∴tanβ＝tan（2kπ＋π－α）＝tan（π－α）＝－tanα＝－2.

答案　－2

12．已知sinα是方程5x2－7x－6＝0的根，α是第三象限角，求·

tan2（π－α）的值．

解　方程5x2－7x－6＝0的两根为x1＝－，x2＝2，

由α是第三象限角，得sinα＝－，则cosα＝－，

∴·

tan2（π－α）

tan2α

tan2α＝－tan2α＝－＝－.

13．（选做题）设tan＝a，求的值．