函数与导数专题(含高考试题)Word下载.doc
《函数与导数专题(含高考试题)Word下载.doc》由会员分享,可在线阅读,更多相关《函数与导数专题(含高考试题)Word下载.doc(16页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
(13)证题中常用的不等式:
①②③
④⑤⑥
考点一:
导数几何意义:
角度一 求切线方程
1.(2014·
洛阳统考)已知函数f(x)=3x+cos2x+sin2x,a=f′,f′(x)是f(x)的导函数,则过曲线y=x3上一点P(a,b)的切线方程为( )
A.3x-y-2=0
B.4x-3y+1=0
C.3x-y-2=0或3x-4y+1=0
D.3x-y-2=0或4x-3y+1=0
解析:
选A 由f(x)=3x+cos2x+sin2x得f′(x)=3-2sin2x+2cos2x,则a=f′=3-2sin+2cos=1.由y=x3得y′=3x2,过曲线y=x3上一点P(a,b)的切线的斜率k=3a2=3×
12=3.又b=a3,则b=1,所以切点P的坐标为(1,1),故过曲线y=x3上的点P的切线方程为y-1=3(x-1),即3x-y-2=0.
角度二 求切点坐标
2.(2013·
辽宁五校第二次联考)曲线y=3lnx+x+2在点P0处的切线方程为4x-y-1=0,则点P0的坐标是( )
A.(0,1) B.(1,-1)
C.(1,3) D.(1,0)
选C 由题意知y′=+1=4,解得x=1,此时4×
1-y-1=0,解得y=3,∴点P0的坐标是(1,3).
角度三 求参数的值
3.已知f(x)=lnx,g(x)=x2+mx+(m<
0),直线l与函数f(x),g(x)的图像都相切,且与f(x)图像的切点为(1,f
(1)),则m等于( )
A.-1 B.-3
C.-4 D.-2
选D ∵f′(x)=,
∴直线l的斜率为k=f′
(1)=1,
又f
(1)=0,
∴切线l的方程为y=x-1.
g′(x)=x+m,设直线l与g(x)的图像的切点为(x0,y0),
则有x0+m=1,y0=x0-1,y0=x+mx0+,m<
0,
于是解得m=-2,故选D.
考点二:
判断函数单调性,求函数的单调区间。
[典例1]已知函数f(x)=x2-ex试判断f(x)的单调性并给予证明.
解:
f(x)=x2-ex,f(x)在R上单调递减,
f′(x)=2x-ex,只要证明f′(x)≤0恒成立即可.
设g(x)=f′(x)=2x-ex,则g′(x)=2-ex,
当x=ln2时,g′(x)=0,
当x∈(-∞,ln2)时,g′(x)>
当x∈(ln2,+∞)时,g′(x)<
0.
∴f′(x)max=g(x)max=g(ln2)=2ln2-2<
∴f′(x)<
0恒成立,
∴f(x)在R上单调递减.
[典例2] (2012·
北京高考改编)已知函数f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=x3+bx.
(1)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,求a,b的值;
(2)当a2=4b时,求函数f(x)+g(x)的单调区间.
[解]
(1)f′(x)=2ax,g′(x)=3x2+b,
由已知可得解得a=b=3.
(2)令F(x)=f(x)+g(x)=x3+ax2+x+1,F′(x)=3x2+2ax+,令F′(x)=0,得x1=-,x2=-,
∵a>
0,∴x1<
x2,
由F′(x)>
0得,x<
-或x>
-;
由F′(x)<
0得,-<
x<
-.
∴单调递增区间是,;
单调递减区间为.
[针对训练]
(2013·
重庆高考)设f(x)=a(x-5)2+6lnx,其中a∈R,曲线y=f(x)在点(1,f
(1))处的切线与y轴相交于点(0,6).
(1)确定a的值;
(2)求函数f(x)的单调区间与极值.
(1)因为f(x)=a(x-5)2+6lnx,故f′(x)=2a(x-5)+.
令x=1,得f
(1)=16a,f′
(1)=6-8a,所以曲线y=f(x)在点(1,f
(1))处的切线方程为y-16a=(6-8a)·
(x-1),由点(0,6)在切线上可得6-16a=8a-6,
故a=.
(2)由
(1)知,f(x)=(x-5)2+6lnx(x>
0),
f′(x)=x-5+=.
令f′(x)=0,解得x1=2,x2=3.
当0<
2或x>
3时,f′(x)>
0,故f(x)在(0,2),(3,+∞)上为增函数;
当2<
3时,f′(x)<
0,故f(x)在(2,3)上为减函数.
由此可知f(x)在x=2处取得极大值f
(2)=+6ln2,在x=3处取得极小值f(3)=2+6ln3.
考点三:
已知函数的单调性求参数的范围
[典例] (2014·
山西诊断)已知函数f(x)=lnx-a2x2+ax(a∈R).
(1)当a=1时,求函数f(x)的单调区间;
(2)若函数f(x)在区间(1,+∞)上是减函数,求实数a的取值范围.
[解]
(1)当a=1时,f(x)=lnx-x2+x,其定义域是(0,+∞),
f′(x)=-2x+1=-,
令f′(x)=0,即-=0,解得x=-或x=1.
∵x>
0,∴x=1.
1时,f′(x)>
0;
当x>
1时,f′(x)<
∴函数f(x)在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,+∞)上单调递减.
(2)显然函数f(x)=lnx-a2x2+ax的定义域为(0,+∞),
∴f′(x)=-2a2x+a==.
①当a=0时,f′(x)=>
∴f(x)在区间(1,+∞)上为增函数,不合题意.
②当a>
0时,f′(x)≤0(x>
0)等价于(2ax+1)·
(ax-1)≥0(x>
0),即x≥,
此时f(x)的单调递减区间为.
由得a≥1.
③当a<
0),即x≥-,此时f(x)的单调递减区间为.
由得a≤-.
综上,实数a的取值范围是∪[1,+∞).
(2014·
荆州质检)设函数f(x)=x3-x2+bx+c,曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=1.
(1)求b,c的值;
(2)若a>
0,求函数f(x)的单调区间;
(3)设函数g(x)=f(x)+2x,且g(x)在区间(-2,-1)内存在单调递减区间,求实数a的取值范围.
(1)f′(x)=x2-ax+b,
由题意得即
(2)由
(1)得,f′(x)=x2-ax=x(x-a)(a>
当x∈(-∞,0)时,f′(x)>
当x∈(0,a)时,f′(x)<
当x∈(a,+∞)时,f′(x)>
所以函数f(x)的单调递增区间为(-∞,0),(a,+∞),单调递减区间为(0,a).
(3)g′(x)=x2-ax+2,
依题意,存在x∈(-2,-1),使不等式g′(x)=x2-ax+2<
0成立,
即x∈(-2,-1)时,a<
max=-2,
当且仅当“x=”即x=-时等号成立,
所以满足要求的a的取值范围是(-∞,-2).
考点四:
用导数解决函数的极值问题
[典例] (2013·
福建高考节选)已知函数f(x)=x-1+(a∈R,e为自然对数的底数).
(1)若曲线y=f(x)在点(1,f
(1))处的切线平行于x轴,求a的值;
(2)求函数f(x)的极值.
[解]
(1)由f(x)=x-1+,得f′(x)=1-.
又曲线y=f(x)在点(1,f
(1))处的切线平行于x轴,
得f′
(1)=0,即1-=0,解得a=e.
(2)f′(x)=1-,
①当a≤0时,f′(x)>
0,f(x)为(-∞,+∞)上的增函数,所以函数f(x)无极值.
0时,令f′(x)=0,得ex=a,即x=lna.
x∈(-∞,lna),f′(x)<
x∈(lna,+∞),f′(x)>
所以f(x)在(-∞,lna)上单调递减,在(lna,+∞)上单调递增,
故f(x)在x=lna处取得极小值,
且极小值为f(lna)=lna,无极大值.
综上,当a≤0时,函数f(x)无极值;
当a>
0时,f(x)在x=lna处取得极小值lna,无极大值.
设f(x)=2x3+ax2+bx+1的导数为f′(x),若函数y=f′(x)的图像关于直线x=-对称,且f′
(1)=0.
(1)求实数a,b的值;
(1)因为f(x)=2x3+ax2+bx+1,
故f′(x)=6x2+2ax+b,
从而f′(x)=62+b-,
即y=f′(x)关于直线x=-对称.
从而由题设条件知-=-,即a=3.
又由于f′
(1)=0,即6+2a+b=0,
得b=-12.
(2)由
(1)知f(x)=2x3+3x2-12x+1,
所以f′(x)=6x2+6x-12=6(x-1)(x+2),
令f′(x)=0,
即6(x-1)(x+2)=0,
解得x=-2或x=1,
当x∈(-∞,-2)时,f′(x)>
即f(x)在(-∞,-2)上单调递增;
当x∈(-2,1)时,f′(x)<
即f(x)在(-2,1)上单调递减;
当x∈(1,+∞)时,f′(x)>
即f(x)在(1,+∞)上单调递增.
从而函数f(x)在x=-2处取得极大值f(-2)=21,
在x=1处取得极小值f
(1)=-6.
考点五运用导数解决函数的最值问题
[典例] 已知函数f(x)=lnx-ax(a∈R).
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)当a>
0时,求函数f(x)在[1,2]上的最小值.
[解]
(1)f′(x)=-a(x>
①当a≤0时,f′(x)=-a>
即函数f(x)的单调增区间为(0,+∞).
0时,令f′(x)=-a=0,可得x=,
时,f′(x)=>
时,f′(x)=<
故函数f(x)的单调递增区间为,
(2)①当≤1,即a≥1时,函数f(x)在区间[1,2]上是减函数,∴f(x)的最小值是f
(2)=ln2-2a.
②当≥2,即0<
a≤时,函数f(x)在区间[1,2]上是增函数,∴f(x)的最小值是f
(1)=-a.
③当1<
<
2,即<
a<
1时,函数f(x)在上是增函数,在上是减函数.又f
(2)-f
(1)=ln2-a,∴当<
ln2时,最小值是f
(1)=-a;
当ln2≤a<
1时,最小值为f
(2)=ln2-2a.
综上可知,
ln2时,函数f(x)的最小值是-a;
当a≥ln2时,函数f(x)的最小值是ln2-2a.
设函数f(x)=alnx-bx2(x>
0),若函数f(x)在x=1处与直线y=-相切,
(