福建省福州八中届高三上学期第一次质量检查数学理试题.docx
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福建省福州八中届高三上学期第一次质量检查数学理试题
考试时间:
120分钟试卷满分:
150分
2014.8.29
本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题),第卷第21题为选考题,其他题为必考题.本试卷满分150分.考试时间120分钟.
参考公式:
样本数据x1,x2,…,xn的标准差
s=其中为样本平均数
锥体体积公式V=Sh其中S为底面面积,h为高
柱体体积公式V=Sh其中S为底面面积,h为高
球的表面积、体积公式,其中R为球的半径
第Ⅰ卷(选择题共50分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.把正确选项涂在答题卡的相应位置上.)
1.如图,在复平面内,若复数对应的向量分别是,
则复数所对应的点位于
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
2.一个简单几何体的主视图、侧视图如图所示,则其俯视图不可能为①长、宽不相等的矩形;②正方形;③圆;④三角形.其中正确的是
A.①②B.②③
C.③④D.①④
3.命题“对任意,均有”的否定为
A.对任意,均有B.对任意,均有
C.存在,使得D.存在,使得
4.对具有线性相关关系的变量,,有一组观测数据(,)(i=1,2,…,8),其回归直线方程是:
,且,则实数的值是
A.B.C.D.
5.已知为两条不同的直线,为一个平面。
若,则“”是“”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
6.已知在各项均不为零的等差数列中,,数列是等比数列,且,则等于
A.2B.4C.8D.16
7.已知正方体的棱长为2,在正方体的外接球内任取一点,则该点落在正方体内的概率为
A.B.C.D.
8.执行如图所示的程序框图,若输出的结果是9,则判断框内m的取值范围是
A.(42,56]
B.(56,72]
C.(72,90]
D.(42,90)
9.已知向量若
则的值为
A.B.C.D.
10.已知集合,若对于任意,存在,使得成立,则称集合是“集合”.给出下列4个集合:
①②
③④
其中所有“集合”的序号是
A.①②④B.②③C.③④D.①③④
第Ⅱ卷(非选择题共100分)
二、填空题:
本大题共5小题,每小题4分,共20分.把答案填在答题卡相应位置.
11.已知抛物线的焦点是双曲线的一个焦点,则此双曲线的实轴长为.
12.设变量、满足约束条件,则的最大值为.
13.若二项式的展开式中的常数项为,则=.
14.已知,.若偶函数满足(其中,为常数),且最小值为1,则.
15.对于个互异的实数,可以排成行列的矩形数阵,右图所示的行列的矩形数阵就是其中之一.将个互异的实数排成行列的矩形数阵后,把每行中最大的数选出,记为,并设其中最小的数为;把每列中最小的数选出,记为,并设其中最大的数为.
两位同学通过各自的探究,分别得出两个结论如下:
①和必相等;②和可能相等;
③可能大于;④可能大于.
以上四个结论中,正确结论的序号是_______(请写出所有正确结论的序号).
三、解答题:
本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
16.(本小题满分13分)
为增强市民的节能环保意识,某市面向全市征召义务宣传志愿者.从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者,其年龄频率分布直方图如图所示,其中年龄分
组区间是:
.
(Ⅰ)求图中的值并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在岁的人数;
(Ⅱ)在抽出的100名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取20名参加中心广场的宣传活动,再从这20名中采用简单随机抽样方法选取3名志愿者担任主要负责人.记这3名志愿者中“年龄低于35岁”的人数为,求的分布列及数学期望.
17.(本小题满分13分)
某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时,列表并填入的部分数据如下表:
0
0
0
0
(Ⅰ)请写出上表的、、,并直接写出函数的解析式;
(Ⅱ)将的图象沿轴向右平移个单位得到函数的图象,、分别为函数图象的最高点和最低点(如图),求的大小.
18.(本小题满分13分)
如图直三棱柱中,,是上一点,且平面.
(I)求证:
平面;
(Ⅱ)在棱是否存在一点,使平面与平面的夹角等于,若存在,试确定点的位置,若不存在,说明理由.
19.(本小题满分13分)
已知椭圆的两个焦点分别为,,离心率为,过的直线与椭圆交于,两点,且的周长为.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)过原点的两条互相垂直的射线与椭圆分别交于,两点,证明:
点到直线的距离为定值,并求出这个定值.
20.(本小题满分14分)
已知函数.
(I)若函数在定义域内为增函数,求实数的取值范围;
(Ⅱ)在
(1)的条件下,若,,,求的极小值;
(Ⅲ)设,若函数存在两个零点,且满足,问:
函数在处的切线能否平行于轴?
若能,求出该切线方程,若不能,请说明理由.
21.本题有
(1)、
(2)、(3)三个选答题,每小题7分,请考生任选2小题作答,满分14分.如果多做,则按所做的前两题记分.
(1)(本小题满分7分)选修4-2:
矩阵与变换
把曲线先进行横坐标缩为原来的一半,纵坐标保持不变的伸缩变换,再做关于轴的反射变换变为曲线,求曲线的方程.
(2)(本小题满分7分)选修4一4:
坐标系与参数方程
在直角坐标系中,直线的参数方程为:
(为参数),以为原点,轴为极轴,单位长度不变,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为:
①写出直线和曲线的普通方程。
②若直线和曲线相切,求实数的值。
(3)(本小题满分7分)选修4一5:
不等式选讲
设函数f(x)=|x-4|+,
(Ⅰ)求f(x)的最小值m
(Ⅱ)当(a,b,c∈R)时,求的最小值.
福州八中2014—2015学年高三毕业班第一次质量检查
数学(理)试卷参考答案及评分标准
一、选择题:
本大题考查基础知识和基本运算.每小题5分,满分50分.
三、解答题:
本大题共6小题,共80分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.解:
(Ⅰ),,……………………3分
……………………6分
(Ⅱ)将的图像沿轴向右平移个单位得到函数…………7分
因为、分别为该图像的最高点和最低点,
所以…………………………………………9分
所以…………………………………………10分
………………12分
所以…………………………………………13分
法2:
法3:
利用数量积公式,
19.解:
(I)由题意知,,所以.
因为所以,所以.
所以椭圆的方程为.------4分
(II)由题意,当直线的斜率不存在,此时可设,.
又,两点在椭圆上,
所以,.
所以点到直线的距离.--------6分
当直线的斜率存在时,设直线的方程为.
所以.-----------11分
整理得,满足.
所以点到直线的距离
为定值.--------13分
20.解:
(Ⅰ)
由题意,知恒成立,即.……2分
又,当且仅当时等号成立.
故,所以.……4分
设,⑤式变为
设,
所以函数在上单调递增,
因此,,即也就是,,此式与⑤矛盾.
所以在处的切线不能平行于轴.……14分
21.
(1)解:
先伸缩变换M=后反射变换N=,得A=NM==……………4分
在A变换下得到曲线C为。
……………………………7分