09年高考数学(理)试题及答案(湖南卷)Word文档格式.doc
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A.K的最大值为2B.K的最小值为2C.K的最大值为1D.K的最小值为1
二、填空题:
本大题共7小题,每小题5分,共35分,
9.某班共30人,其中15人喜爱篮球运动,10人喜爱兵乓球运动,8人对这两项运动都不喜爱,则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为___.
10.在的展开式中,的系数为___(用数字作答).
11.若,则的最小值为.
12.已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中有一个内角为,则双曲线C的离心率为
13.一个总体分为A,B两层,其个体数之比为4:
1,用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本.已知B层中甲、乙都被抽到的概率为,则总体中的个体数为。
14.在半径为13的球面上有A,B,C三点,AB=6,BC=8,CA=10,则
(1)球心到平面ABC的距离为;
(2)过A,B两点的大圆面与平面ABC所成二面角(锐角)的正切值为.
15.将正分割成个全等的小正三角形(图2,图3分别给出了n=2,3的情形),在每个三角形的顶点各放置一个数,使位于⊿ABC的三边及平行于某边的任一直线上的数(当数的个数不少于3时)都分别依次成等差数列.若顶点A,B,C处的三个数互不相同且和为1,记所有顶点上的数之和为,则有,
,…,.
三.解答题:
本大题共6小题,共75分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16.(本小题满分12分)
在中,已知,求角A,B,C的大小
17.(本小题满分12分)
为拉动经济增长,某市决定新建一批重点工程,分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类.这三类工程所含项目的个数分别占总数的,,.现在3名工人独立地从中任选一个项目参与建设。
(I)求他们选择的项目所属类别互不相同的概率;
(II)记为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数,求的分布列及数学期望。
18.(本小题满分12分)
如图4,在正三棱柱中,,点D是的中点,点E在上,且
(I)证明:
平面平面;
(II)求直线和平面所成角的正弦值。
19.(本小题满分13分)
某地建一座桥,两端的桥墩已建好,这两墩相距米,余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经测算,一个桥墩的工程费用为256万元,距离为米的相邻两墩之间的桥面工程费用为万元。
假设桥墩等距离分布,所有桥墩都视为点,且不考虑其它因素.记余下工程的费用为万元。
(Ⅰ)试写出关于的函数关系式;
(Ⅱ)当=640米时,需新建多少个桥墩才能使最小?
20.(本小题满分13分)
在平面直角坐标系xOy中,点P到点F(3,0)的距离的4倍与它到直线x=2的距离的3倍之和记为d.当点P运动时,d恒等于点P的横坐标与18之和
(Ⅰ)求点P的轨迹C;
(Ⅱ)设过点F的直线与轨迹C相交于M,N两点,求线段MN长度的最大值。
21.(本小题满分13分)
对于数列,若存在常数M>0,对任意的,恒有
则称数列为数列.
(Ⅰ)首项为1,公比为的等比数列是否为B-数列?
请说明理由;
请以其中一组的一个论断条件,另一组中的一个论断为结论组成一个命题
判断所给命题的真假,并证明你的结论;
(Ⅱ)设是数列的前项和,给出下列两组论断;
A组:
①数列是B-数列,②数列不是B-数列;
B组:
③数列是B-数列,④数列不是B-数列.
请以其中一组中的一个论断为条件,另一组中的一个论断为结论
组成一个命题。
(Ⅲ)若数列都是数列,证明:
数列也是数列。
2009参考答案
一.选择题
1—5DADBC6—8BCD
二.填空题
9.1210.711.12.13.40
14.
(1)12
(2)315.
(1)
(2)
三.解答题
16.解:
设
由得,所以.
又因此
由得,于是.
所以,,
因此,既.
由知,所以,
从而或,既或
故或。
17.解:
记第名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件i=1,2,3.由题意知相互独立,相互独立,相互独立,(i,j,k=1,2,3,且i,j,k互不相同)相互独立,且
(Ⅰ)他们选择的项目所属类别互不相同的概率
P=
(Ⅱ)解法1:
设3名工人中选择的项目属于民生工程的人数为,
由已知,B(3,),且=3-。
所以P(=0)=P(=3)==,
P(=1)=P(=2)==,
P(=2)=P(=1)==,
P(=3)=P(=0)==.
故的分布列是
1
2
3
P
的数学期望E=+++=2.
解法2:
记第名工人选择的项目属于基础工程或产业建设工程分别为事件,i=1,2,3.由已知,相互独立,且P()=()=P()+P()=+=,
所以,即,
18.解:
(I)如图所示,由正三棱柱的性质知平面.
又DE平面,所以DE.而DEAE,AE=A,
所以DE平面.又DE平面ADE,故平面平面
(2)解法1:
如图所示,设F是AB的中点,连接DF,DC,CF,
由正三棱柱的性质及D是的中点知,
CD,DF
又CDDF=D,所以平面CDF.而AB∥,
所以AB平面CDF.又AB平面ABC,
故平面ABC平面CDF。
过点D做DH垂直CF于点H,则DH平面ABC。
连接AH,则HAD是AD和平面ABC所成的角。
由已知AB=AA,不妨设AA=,则AB=2,DF=,DC=,CF=,AD==,DH===.
所以sinHAD==。
即直线AD和平面ABC所成角的正弦值为.
解法2:
如图所示,设O是AC的中点,以O为原点建立空间直角坐标系,不妨设AA=,则AB=2,相关各点的坐标分别是A(0,-1,0),B(,0,0),C(0,1,),D(,,)。
易知=(,1,0),=(0,2,),=(,,).
设平面ABC的法向量为,则有
解得
故可取.
所以,==。
由此即知,直线AD和平面ABC所成角的正弦值为。
19.解:
(Ⅰ)设需新建个桥墩,则,
所以
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,
令,得,所以=64.
当0<
<
64时,<
0,在区间(0,64)内为减函数;
当时,>
0.在区间(64,640)内为增函数.
所以在=64处取得最小值,此时
故需新建9个桥墩才能使最小。
20.解:
(Ⅰ)设点P的坐标为(x,y),则
由题设,,即.……①
当x>
2时,由①得……②
化简得
当时,由①得……③
化简得.
故点P的轨迹C是椭圆在直线x=2的右侧部分与抛物线在直线x=2的左侧部分(包括它与直线x=2的交点)所组成的曲线,参见图1.
(Ⅱ)如图2所示,易知直线x=2
与,的交点都是A(2,),B(2,),
直线AF,BF的斜率分别为=,=.
当点P在上时,由②知.……④
当点P在上时,由③知.……⑤
若直线的斜率k存在,则直线的方程为.
(ⅰ)当k≤,或k≥,即k≤或k≥时,直线与轨迹C的两个交点都在上,此时由④知
,
从而∣MN∣=∣MF∣+∣NF∣=(6-)+(6-)=12-(+).
由得.
则,是这个方程的两根,所以+=,∣MN∣=12-(+)=12-.
因为当所以
当且仅当时,等号成立。
(ⅱ)当时,直线与轨迹C的两个交点
分别在上,不妨设点在上,点在上,
则由④⑤知,.
设直线AF与椭圆的另一交点为E
所以。
而点A,E都在上,
且由(ⅰ)知
若直线的斜率不存在,则==3,此时
.
综上所述,线段MN长度的最大值为.
21.解:
(Ⅰ)设满足题设的等比数列为,则,于是
.
因此=
因为所以即
.
故首项为1,公比为的等比数列是B-数列。
(Ⅱ)命题1:
若数列是B-数列,则数列是B-数列.
此命题为假命题。
事实上,设,易知数列是B-数列,但,
.
由的任意性知,数列不是B-数列。
命题2:
此命题为真命题.
事实上,因为数列是B-数列,所以存在正数M,对任意的有
,
即。
于是
所以数列是B-数列。
(注:
按题中要求组成其它命题解答时,仿上述解法)
(III)若数列是数列,则存在正数,对任意的有
;
注意到
.
同理,.记,,
则有
因此
.
故数列是数列.