高考最后一卷押题卷理科数学第七模拟解析版Word下载.docx
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优解 在同一坐标系中作出直线y=x+1和圆x2+y2=1,由图可知,直线与圆有两个交点,即A∩B中有两个元素,因为C(A∩B),所以集合C的个数是4.
3.若(2x2-)7(a<
0)的展开式中x2的系数为280,则a的值为
A.-3B.-4C.-1D.-2
【解析】本题考查根据指定项的系数求参数的值,解题的关键是掌握二项展开式的通项.依题意,二项式(2x2-)7(a<
0)的展开式的通项为Tr+1=(2x2)7-r(-)r=27-r(-a)rx14-3r,令14-3r=2,解得r=4,则23(-a)4=280,又a<
0,所以a=-1,选C.
4.已知锐角α满足cosα-sinα=,则cos2α的值为
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】本题考查三角函数求值、同角三角函数之间的关系等知识,考查考生对基础知识的掌握情况.
解法一 将cosα-sinα=两边平方得cos2α+sin2α-2sinαcosα=,所以2sinαcosα=,从而可得(sinα+cosα)2=1+2sinαcosα=.又α为锐角,所以sinα+cosα=,cos2α=cos2α-sin2α=(cosα-sinα)(cosα+sinα)=.
解法二 由cosα-sinα=得sin(α-)=-,即sin(α-)=-.又α为锐角,所以-<
α-<
故cos(α-)==,所以cos2α=cos[2(α-)+]=-sin2(α-)=-2sin(α-)cos(α-)=(-2)×
(-)×
=.
5.已知a,b为实数,则“a3>
b3>
1”是“ab<
”的
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【解析】本题考查充要关系的判断、基本不等式成立的条件等知识,考查考生对知识的应用能力.由题意可得,a3>
1⇒a>
b>
1,由基本不等式成立的条件可得,ab<
成立;
反之,取a=
b=,显然有=ab<
==,此时a3=<
b3=,于是a3<
b3<
1,所以“a3>
”的充分不必要条件.
6.已知在△ABC中,||=4,·
=5,D为边BC的中点,则||=
A.3B.4C.5D.6
【解析】本题考查平面向量的线性运算、数量积及模的计算,考查考生的运算求解能力.
∵+=2,∴(+)2=4,即4=++2·
=(-)2+4·
=
+4·
=36,∴||=3,故选A.
7.已知实数x,y满足不等式组,则z=的取值范围为
A.[-2,3]B.[-,3]C.[-,]D.[,3]
【答案】B
【解析】本题主要考查不等式组表示的平面区域的简单应用,考查考生的运算求解能力,属于基础题.作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示,
由题意可知,z==2·
它表示平面区域内的点(x,y)与定点M(1,-)连线斜率的2倍.由图可知,当点(x,y)位于点C时,直线的斜率取得最小值-;
当点(x,y)位于点A时,直线的斜率取得最大值.故z=的取值范围是[-,3],选B.
8.已知某几何体的三视图如图所示,其正视图和侧视图全等,俯视图为一圆,其中圆内有一边长为2的内接正方形,则该几何体的表面积为
A.8+24π-8B.6+24π-8C.8+16π-16D.8+16π-8
【解析】本题考查三视图,考查几何体表面积的求解,考查考生的空间想象能力和运算求解能力.由题意可知,该几何体是由圆柱内部挖去一个正四棱锥而得到的,其中四棱锥的底面边长为2,高为2,则斜高为h==,所以四棱锥的一个侧面的面积为×
2×
=2,底面正方形的面积为
(2)2=8,圆柱的侧面积为2π×
2=8π,底面圆的面积为π×
22=4π,所以所求几何体的表面积S=2×
4+4π×
2+8π-8=8+16π-8,选D.
9.如图,已知F1、F2分别为双曲线C:
-=1(a>
0,b>
0)的左、右焦点,P为第一象限内一点,且满足|F2P|=a,(+)·
=0,线段F2P与双曲线C交于点Q,若|F2P|=5|F2Q|,则双曲线C的渐近线方程为
A.y=±
xB.y=±
xC.y=±
xD.y=±
x
【解析】本题考查双曲线的定义及几何性质、渐近线方程等知识,考查考生的数形结合思想和运算求解能力.取线段F2P的中点E,连接F1E,因为(+)·
=0,所以F1E⊥F2P,故三角形PF1F2为等腰三角形,且|F1P|=|F1F2|=2c.在Rt△F1EF2中,cos∠F1F2E===,连接F1Q,又|F2Q|=,点Q在双曲线C上,所以由双曲线的定义可得,|QF1|-|QF2|=2a,故|QF1|=2a+
=,在△F1QF2中,由余弦定理得,cos∠F1F2Q===,整理可得4c2=5a2,所以==-1=,故双曲线C的渐近线方程为y=±
x.
10.已知函数g(x)=aex-x+2a2-3能够取遍(0,+∞)内的所有实数,则实数a的取值范围是
A.(-∞,e]B.(-∞,1]C.[0,e]D.[0,1]
【解析】本题考查导数与函数的单调性、最值,考查考生的数形结合思想、分类讨论思想以及运算能力、分析问题与解决问题的能力.因为g'
(x)=aex-1,当a≤0时,g'
(x)=aex-1<
0,g(x)在R上单调递减,分析可知此时g(x)的值域为R,满足题意;
当a>
0时,由g'
(x)=aex-1=0,可得x=-lna,当x<
-lna时,g(x)为单调递减函数,当x>
-lna时,g(x)为单调递增函数,所以可得g(x)min=g(-lna)=lna+2a2-2,若要使得函数g(x)=aex-x+2a2-3能够取遍(0,+∞)内的所有实数,则应满足
lna+2a2-2≤0.设f(a)=lna+2a2-2,分析可以得到当a>
0时,f(a)为单调递增函数,且f
(1)=0,所以0<
a≤1.综上,实数a的取值范围是a≤1,故选B.
二、填空题:
共5题
11.计算:
lg25-2lg+(e-3)0= .
【答案】3
【解析】本题考查指数、对数的计算,属于基础题.由题意可得,lg25-2lg+(e-3)0=
lg25+lg()-2+1=lg(25×
4)+1=3.
12.已知某程序框图如图所示,运行该程序,则输出的结果是 .
【答案】-120
【解析】本题考查循环结构的程序框图,根据程序框图依次运算即可.由程序框图知,S=12+22+32+42+52+62+72+82+92+102,Q=22+32+42+52+62+72+82+92+102+112,所以M=S-Q=1-112=-120.
13.某中学开学时,A,B,C,D,E5名同学同时考入该校高一年级,已知该校高一年级共有六个班,则每个班最多有这5名同学中的2名同学的不同情况共有 种.
【答案】6120
【解析】本题考查排列组合的知识,是典型的不均匀分配问题,分类、分步处理即可得到结果.若这5名同学都不在同一个班,则有种不同的情况;
若其中恰好有2名同学在同一个班,其他同学都不在同一个班,则不同的情况共有种;
若这5名同学中,有2名同学在同一个班,另外2名同学在另外一个班,剩余1名同学在一个班,则不同的情况共有·
种.故每个班最多有这5名同学中的2名同学的不同情况共有++·
=6120种.
14.已知△ABC为锐角三角形,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且c=2,sinC+sin(B-A)=2sin2A,则a的取值范围是 .
【答案】
(,)
【解析】本题主要考查了两角和与差的正弦公式、正弦定理、余弦定理、余弦函数的性质,熟练掌握相关公式及定理是解题的关键.∵sinC=sin(A+B),sinC+sin(B-A)=2sin2A,∴sin(A+
B)+sin(B-A)=2sin2A,∴2sinBcosA=4sinAcosA,又△ABC为锐角三角形,∴cosA≠0,sinB=2sinA,由正弦定理可得b=2a,由c=2,根据余弦定理可得4=a2+4a2-4a2cosC,得a=,∵C∈(0,),∴cosC∈(0,1),5-4cosC∈(1,5),得a∈(,2).由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,可得cosB=,由cosB>
0,可得c>
a,故a<
.综上可得a∈(,).
15.太极图是以黑白两个鱼形纹组成的圆形图案,俗称阴阳鱼.太极图形展现了一种互相转化,相对统一的形式美、和谐美.现在定义:
能够将圆O的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆O的“太极函数”.给出下列命题:
①对于任意一个圆O,其对应的“太极函数”不唯一;
②f(x)=ex+e-x可能是某个圆的一个“太极函数”;
③圆O:
(x-1)2+y2=36的一个“太极函数”为f(x)=-ln;
④“太极函数”的图象一定是中心对称图形.
其中正确的命题是 .(写出所有正确命题的序号)
【答案】①③
【解析】本题主要考查考生对新定义的理解,考查函数的图象与性质,考查考生的综合能力.对于①,过圆心的直线都能将圆的周长和面积平分,而这样的直线有无数条,故①正确;
对于②,f(-x)=f(x)恒成立,故f(x)为偶函数,又f(0)=2,其图象如图1所示,不可能为某个圆的“太极函数”,故②不正确;
对于③,圆O的圆心为(1,0),x∈[-5,7],而函数f(x)满足f(x)+f(2-x)=0,故函数f(x)的图象关于点(1,0)中心对称,x∈(-5,7),所以函数f(x)将圆的周长和面积平分,故③正确(如图2所示);
对于④,如图3,该函数的图象(圆内部的粗线)将圆的周长和面积平分,但不是中心对称图形,故④不正确.
图1
图2 图3
三、解答题:
共6题
16.已知向量a=(cosx,0),b=(0,sinx),记函数f(x)=(a+b)2+sin2x.
(1)求函数f(x)的最小值及取最小值时x的集合;
(2)求函数f(x)的单调递增区间.
(1)∵a=(cosx,0),b=(0,sinx),
∴a+b=(cosx,sinx),得(a+b)2=3cos2x+sin2x=1+2cos2x,
f(x)=(a+b)2+sin2x=1+2cos2x+sin2x=cos2x+sin2x+2=2sin(2x+)+2,
∴当2x+=-+2kπ(k∈Z),即x=-+kπ(k∈Z)时,
f(x)取得最小值0,故f(x)取最小值时x的集合为{x|x=-+kπ(k∈Z)}.
(2)令-+2kπ≤2x+≤+2kπ(k∈Z)