高考总复习 数学理科 新人教B版第十二章 第1节 合情推理与演绎推理附解析及答案Word文档下载推荐.docx

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由概念的定义或一些真命题，依照一定的逻辑规则得到正确结论的过程，通常叫做演绎推理.简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理.

（2）“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：

①大前提——已知的一般原理；

②小前提——所研究的特殊情况；

③结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断.

[微点提醒]

1.合情推理包括归纳推理和类比推理，其结论是猜想，不一定正确，若要确定其正确性，则需要证明.

2.在进行类比推理时，要从本质上去类比，只从一点表面现象去类比，就会犯机械类比的错误.

3.应用三段论解决问题时，要明确什么是大前提、小前提，如果前提与推理形式是正确的，结论必定是正确的.若大前提或小前提错误，尽管推理形式是正确的，但所得结论是错误的.

基础自测

1.判断下列结论正误（在括号内打“√”或“×

”）

（1）归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确.（　　）

（2）由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理.（　　）

（3）在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适.（　　）

（4）在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确.（　　）

解析　

（1）类比推理的结论不一定正确.

（3）平面中的三角形与空间中的四面体作为类比对象较为合适.

（4）演绎推理是在大前提、小前提和推理形式都正确时，得到的结论一定正确.

答案　

（1）×

（2）√　（3）×

　（4）×

2.（选修2－2P72例3改编）对于任意正整数n，2n与n2的大小关系为（　　）

A.当n≥2时，2n≥n2B.当n≥3时，2n≥n2

C.当n≥4时，2n≥n2D.当n≥5时，2n≥n2

解析　当n＝2时，2n＝n2；

当n＝3时，2n<

n2；

当n＝4时，2n＝n2；

当n＝5时，2n>

归纳判断，当n≥4时，2n≥n2.故选C.

答案　C

3.（引自人教A版选修2－2P84A5）在等差数列{an}中，若a10＝0，则有a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n（n<

19，且n∈N+）成立.类比上述性质，在等比数列{bn}中，若b9＝1，则存在的等式为________.

解析　根据类比推理的特点可知：

等比数列和等差数列类比，在等差数列中是和，在等比数列中是积，故有b1b2…bn＝b1b2…b17－n（n<

17，且n∈N+）.

答案　b1b2…bn＝b1b2…b17－n（n<

17，且n∈N+）

4.（2019·

淄博一模）有一段“三段论”推理是这样的：

对于可导函数f（x），若f′（x0）＝0，则x＝x0是函数f（x）的极值点，因为f（x）＝x3在x＝0处的导数值为0，所以x＝0是f（x）＝x3的极值点，以上推理（　　）

A.大前提错误B.小前提错误

C.推理形式错误D.结论正确

解析　大前提是“对于可导函数f（x），若f′（x0）＝0，则x＝x0是函数f（x）的极值点”，不是真命题，因为对于可导函数f（x），如果f′（x0）＝0，且满足在x0附近左右两侧导函数值异号，那么x＝x0才是函数f（x）的极值点，所以大前提错误.故选A.

答案　A

5.（2018·

大连模拟）数列2，5，11，20，x，…中的x等于________.

解析　由5－2＝3，11－5＝6，20－11＝9，推出x－20＝12，故x＝32.

答案　32

6.（2019·

西安二模）将正整数1，2，3，4，…按如图所示的方式排成三角形数组，则第10行左数第10个数为________.

解析　由三角形数组可推断出，第n行共有2n－1个数，且最后一个数为n2，所以第10行共19个数，最后一个数为100，左数第10个数是91.

答案　91

考点一　归纳推理　多维探究

角度1　与图形变化有关的推理

【例1－1】（2018·

石家庄模拟）某种树的分枝生长规律如图所示，第1年到第5年的分枝数分别为1，1，2，3，5，则预计第10年树的分枝数为________.

解析　由2＝1＋1，3＝1＋2，5＝2＋3知，从第三项起，每一项都等于前两项的和，则第6年为8，第7年为13，第8年为21，第9年为34，第10年为55.

答案　55

角度2　与数字或式子有关的推理

【例1－2】（2019·

安阳一模）如图，将平面直角坐标系的格点（横、纵坐标均为整数的点）按如下规则标上数字标签：

原点处标0，点（1，0）处标1，点（1，－1）处标2，点（0，－1）处标3，点（－1，－1）处标4，点（－1，0）处标5，点（－1，1）处标6，点（0，1）处标7，……，以此类推，则标20192的格点的坐标为（　　）

A.（1010，1009）B.（1009，1008）

C.（2019，2018）D.（2018，2017）

解析　点（1，0）处标1，即12；

点（2，1）处标9，即32；

点（3，2）处标25，即52；

……，由此推断点（n＋1，n）处标（2n＋1）2，当2n＋1＝2019时，n＝1009，故标20192的格点的坐标为（1010，1009）.故选A.

规律方法　归纳推理问题的常见类型及解题策略

常见类型

解题策略

与数字有关的等式的推理

观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号可解

与式子有关的推理

观察每个式子的特点，找到规律后可解

与图形变化有关的推理

合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性

【训练1】

（1）如图所示，是某小朋友在用火柴拼图时呈现的图形，其中第1个图形用了3根火柴，第2个图形用了9根火柴，第3个图形用了18根火柴，…，则第2018个图形用的火柴根数为（　　）

A.2014×

2017B.2015×

2016

C.3024×

2018D.3027×

2019

（2）对大于或等于2的自然数m的n次方幂有如下分解方式：

22＝1＋3；

32＝1＋3＋5；

42＝1＋3＋5＋7；

23＝3＋5；

33＝7＋9＋11；

43＝13＋15＋17＋19.

根据上述分解规律，则52＝1＋3＋5＋7＋9，若m3（m∈N+）的分解中最小的数是73，则m的值为________.

解析　

（1）由题意，第1个图形需要火柴的根数为3×

1；

第2个图形需要火柴的根数为3×

（1＋2）；

第3个图形需要火柴的根数为3×

（1＋2＋3）；

…

由此，可以推出第n个图形需要火柴的根数为3×

（1＋2＋3＋…＋n）.

所以第2018个图形所需火柴的根数为3×

（1＋2＋3＋…＋2018）＝3×

＝3027×

2019.

（2）根据23＝3＋5，33＝7＋9＋11，43＝13＋15＋17＋19，从23起，m3的分解规律恰为数列3，5，7，9…中若干连续项之和，23为前两项和，33为接下来三项和，故m3的首个数为m2－m＋1.因为m3（m∈N+）的分解中最小的数是73，所以m2－m＋1＝73，解得m＝9.

答案　

（1）D　

（2）9

考点二　类比推理

【例2】

（1）我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：

“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x，这可以通过方程＝x确定出来x＝2，类似地不难得到1＋＝（　　）

A.B.

C.D.

（2）若点P0（x0，y0）在椭圆＋＝1（a>

b>

0）外，过点P0作该椭圆的两条切线，切点分别为P1，P2，则切点弦P1P2所在直线的方程为＋＝1.那么对于双曲线－＝1（a>

0，b>

0），类似地，可以得到一个正确的切点弦方程为________.

解析　

（1）令1＋＝x（x>

0），即1＋＝x，即x2－x－1＝0，解得x＝（x＝舍），故1＋＝，故选C.

（2）若点P0（x0，y0）在双曲线－＝1（a>

0）外，过点P0作该双曲线的两条切线，切点分别为P1，P2，则切点弦P1P2所在直线的方程为－＝1.

答案　

（1）C　

（2）－＝1

规律方法　1.进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行类比，提出猜想.其中找到合适的类比对象是解题的关键.

2.类比推理常见的情形有平面与空间类比；

低维的与高维的类比；

等差数列与等比数列类比；

数的运算与向量的运算类比；

圆锥曲线间的类比等.

【训练2】

（1）（2018·

孝感模拟）二维空间中，圆的一维测度（周长）l＝2πr，二维测度（面积）S＝πr2，三维空间中，球的二维测度（表面积）S＝4πr2，三维测度（体积）V＝πr3，应用合情推理，若四维空间中，“超球”的三维测度V＝8πr3，则其四维测度W＝（　　）

A.2πr4B.3πr4C.4πr4D.6πr4

（2）在平面上，设ha，hb，hc是△ABC三条边上的高，P为三角形内任一点，P到相应三边的距离分别为Pa，Pb，Pc，我们可以得到结论：

＋＋＝1.把它类比到空间，则三棱锥中的类似结论为______________________________________.

解析　

（1）二维空间中，圆的一维测度（周长）l＝2πr，二维测度（面积）S＝πr2，（πr2）′＝2πr，三维空间中，球的二维测度（表面积）S＝4πr2，三维测度（体积）V＝πr3，′＝4πr2，四维空间中，“超球”的三维测度V＝8πr3，

∵（2πr4）′＝8πr3，

∴“超球”的四维测度W＝2πr4，故选A.

（2）设ha，hb，hc，hd分别是三棱锥A－BCD四个面上的高，P为三棱锥A－BCD内任一点，P到相应四个面的距离分别为Pa，Pb，Pc，Pd，于是可以得出结论：

＋＋＋＝1.

答案　

（1）A　

（2）＋＋＋＝1

考点三　演绎推理　多维探究

角度1　与逻辑推理有关的问题

【例3－1】

（1）（2018·

石家庄一模）甲、乙、丙三位同学，其中一位是班长，一位是体育委员，一位是学习委员，已知丙的年龄比学委大，甲与体委的年龄不同，体委比乙的年龄小.据此推断班长是________.

（2）2019年夏季大美青海又迎来了旅游热，甲、乙、丙三位游客被询问是否去过陆心之海青海湖，海北百里油菜花海，茶卡天空之境三个地方时，

甲说：

我去过的地方比乙多，但没去过海北百里油菜花海；

乙说：

我没去过茶卡天空之境；

丙说：

我们三人去过同一个地方.

由此可判断乙去过的地方为________.

解析　

（1）根据“甲与体委的年龄不同，体委比乙的年龄小”可得丙是体委；

根据“丙的年龄比学委大，体委比乙的年龄小”可得乙的年龄>

丙的年龄>

学习委员的年龄，由此可得，乙不是学习委员，那么乙是班长.

（2）由乙说：

我没去过茶卡天空之境，可知乙可能去过陆心之海青海湖和海北百里油菜花海两个地方，

但甲说：

我去过的地方比乙多，但没去过海北百里油菜花海，则甲去过陆心之海青海湖和茶卡天空之境两个地方，乙只去过陆心之海青海湖和海北百里油菜花海中的一个地方，

再由丙说：

我们三人去过同一地方，

可推知乙去