GM11模型Word格式.docx
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的一次累加生成序列
具有准指数规律．
2.建立GM（1,1）模型
定理2.1设
为非负序列，
为
的1-AGO序列
的紧邻均值生成序列：
，k=1,2,…,n．记
为参数列，
，
则灰色微分方程
的最小二乘估计参数列
定理2.2
（1）GM（1,1）白化方程
的解为
（2）GM（1,1）灰色微分方程
，k=1,2,…,n．
（3）取
，则
（4）
，k=1,2,…,n．
3.GM（1,1）模型检验
定义3.1
记
为相对误差序列，
为平均相对误差，称
为相对精度;
若给定
>
0，有
<
且
，称模型为残差合格模型．
定义3.2设
为原始序列，
为相应的模拟序列，
与
的绝对关联度，若对于给定的
，则称模型为关联度合格模型．
定义3.3设序列
长度相同，则称
=
为序列
的绝对关联度，其中|
|=
，|
|
定义3.4设
为残差序列．则称
分别为
的均值、方差；
为残差的均值、方差．
若均方比值
，对于给定的
0，有C<
．则称模型为均方差合格．
若小误差概率
．则称模型为小误差概率合格模型．
说明：
平均相对误差
和模拟误差越小越好，关联度越大越好，均方差比值C越小越好（因为C小说明
小
大，即残差方差小，样本方差大）．小误差概率p越大越好．对于已建立的GM（1,1）模型是否有效，效果如何，一般地参考以下的精度检验表．
表3-1
精度检验等级参照
相对误差
关联度
均方差比值
小误差概率
一级
0.01
0.90
0.35
0.95
二级
0.05
0.80
0.5
三级
0.10
0.70
0.65
四级
0.20
0.60
4.应用实例
例1．某股票最近几天的收盘价如下11.83,12.03,12.38,12.25,12.25,12.65,
12.73,12.36，试用GM（1,1）模型分析预测未来一天的收盘价．
（1）对样本数据作1-AGO
取
=（11.83,12.03,12.38,12.25,12.25），
作1-AGO得
=（11.8300,23.8600,36.2400,48.4900,60.7400）．
（2）对
进行准光滑性检验
由光滑比分式
得
=0.5189，
=0.3380<
0.5，
=0.2526<
0.5．
因此k>
3时光滑条件满足．
（3）对
进行准指数律检验
由序列级比公式
=1.5189，
=1.3380，
=1.2526．
因此，当k>
3时，
=0.5，准指数律成立．故可对
建立GM（1,1）模型．
（4）对
作紧邻均值生成
=（17.8450,30.05,42.3650,54.6150）．
于是B=
，Y=
（5）由定理2.2得
因此序列
的GM（1,1）模型为
．
（1）
时间响应式为
表4-1
GM（1,1）模型误差检验
序号
原始数据
模拟值
残差
相对误差%
2
12.03
12.1485
-0.1185
0.99
3
12.38
12.2010
0.1790
1.45
4
12.25
12.2537
-0.0037
0.03
5
12.3066
-0.0566
0.46
平方和0.0493
平均相对误差0.58
从误差检验表来看，此模型拟合的效果较好．
（6）对模型
（1）的检验
我们从关联度
，均方差比值
，小误差概率
来检验对数列
=（11.83，12.03,12.38,12.25,12.25）建立的GM（1,1）模型
1）
对
的灰色绝对关联度
由原始数据与拟合数据算得
|=42.7850，|
|=42.7565，|
|=0.0285．
因此关联度
=0.9997>
0.90．
2）检验均方比
=0.0379，
=0.1948，
=0.0099，
=0.0993，
=0.5098，
=0.00004，0.6745
=0.1314．
3）小误差概率
=0.8．
从以上指标来看，关联度达到了优级水平，其它指标也达到了良好水平．这说明所建立的模型是较好的模型，因此可用来预测未来股价．例如，用5天的数据预测未来一天的股价是12.3598．这与实际数据的绝对误差分别是0.2902．
例2.
以下用GM（1,1）模型来分析五洲交通的股价趋势．
2001年2月15日至2月26日五洲交通的收盘价如下
表4-2
日期
2月15日
2月16日
2月19日
2月20日
2月21日
2月22日
2月23日
2月26日
收盘价
11.68
11.69
11.81
11.72
11.47
11.50
11.77
11.85
对以上数据建立4维新陈代谢模型族
即
（11.68,11.69,11.81,11.72），
（11.69,11.81,11.72,11.47），
（11.81,11.72,11.47,11.50），
（11.72,11.47,11.50,11.77）．
对1时区的原始数据建立GM（1,1）模型
由于
AGO
（11.68,23.37,35.18,46.9），
（17.525,29.275,41.04）．
因此
从而
＝（－0.00127388,11.7027）T．
故1时区的GM（1，1）模型为
以上微分方程的解为
还原后的模型值按
计算，可得模型值、实际值、绝对误差、相对误差如下
表4-3
模型值
实际值
绝对误差
11.725
0.035
0.3
11.74
0.07
0.6
11.755
此模型的误差较为理想，不需要修正模型．
这模型的预测值为
11.7699，
11.7849，
11.8．
事实上，下一天的收盘价为11.47，预测的绝对误差为0.3．
再考察2时区的原始数据
（11.69,11.81,11.72,11.47），其GM（1，1）模型为
以上微分方程的解为
计算得
11.69，
11.8365，
11.6656，
11.4973
11.3313，
11.1678，
11.0066．
事实上，下一天的收盘价为11.50，预测的绝对误差为0.17．
继续考察3时区的原始数据
（11.81,11.72,11.47,11.50），其GM（1，1）模型为
11.81，
11.6739，
11.5629，
11.453，
11.3441，
11.2363，
11.1295．
事实上，下一天的收盘价为11.72，预测的绝对误差为0.38．
继续考察4时区的原始数据
（11.72,11.47,11.50,11.77），其GM（1，1）模型为
11.72，
11.4296，
11.5792，
11.7307，
11.8841，
12.0396，
12.1971．
事实上，下一天的收盘价为11.85，预测的绝对误差为0.03．
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