山东省济南外国语学校届高三上学期第一次月考数学理试题Word版含答案Word下载.docx
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D.p是真命题,:
6.已知集合,,则()
7.集合,,若,则的取值范围是()
8.集合,,则是()
9.函数关于直线对称,则函数关于()
A.原点对称B.直线对称C.直线对称D.直线对称
10.设,若函数恰有3个零点,则实数的取值范围为()
11.已知函数是定义在区间上的可导函数,满足且(为函数的导函数),若且,则下列不等式一定成立的是()
12.已知定义在R上的函数满足且在上是增函数,不等式对任意恒成立,则实数的取值范围是()
第II卷(非选择题)
请点击修改第II卷的文字说明
二、填空题
13.已知函数,则__________.
14.记为不超过的最大整数,如,则函数的所有零点之和为________.
15.已知函数为奇函数,若,则的值为________.
16.给出以下四个命题:
(1)命题,使得,则,都有;
(2)已知函数f(x)=|log2x|,若a≠b,且f(a)=f(b),则ab=1;
(3)若平面α内存在不共线的三点到平面β的距离相等,则平面α平行于平面β;
(4)已知定义在上的函数满足条件,且函数为奇函数,则函数的图象关于点对称.
其中真命题的序号为______________.(写出所有真命题的序号)
三、解答题
17.已知三个集合:
,,
.
(I)求;
(II)已知,求实数的取值范围.
18.已知函数.
(Ⅰ)讨论函数的单调性;
(Ⅱ)当时,求证:
19.已知函数.
(Ⅰ)求函数的单调区间与极值;
(Ⅱ)若不等式对任意恒成立,求实数的取值范围;
(Ⅲ)求证:
20.已知函数,
(1)分别求的值:
(2)讨论的解的个数:
(3)若对任意给定的,都存在唯一的,满足,求实数
的取值范围.
21.已知函数,.
(Ⅰ)当x≥0时,f(x)≤h(x)恒成立,求a的取值范围;
(Ⅱ)当x<0时,研究函数F(x)=h(x)﹣g(x)的零点个数;
(参考数据:
ln1.1≈0.0953).
22.已知函数,其导函数为
当时,若函数在R上有且只有一个零点,求实数a的取值范围;
设,点是曲线上的一个定点,是否存在实数使得成立?
并证明你的结论.
参考答案
1.D
【解析】
【分析】
首先确定集合A,B,然后结合Venn图求解阴影部分表示的集合即可.
【详解】
求解分式不等式可得,
求解二次不等式可得,
则,
韦恩图中阴影部分表示的集合为,即.
本题选择D选项.
【点睛】
本题主要考查集合的表示方法,集合的交并补运算,Venn图及其应用等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
2.C
由题意可知命题p,q均为真命题,据此求解实数a的取值范围即可.
由“”是真命题可知命题p,q均为真命题,
若命题p为真命题,则:
,解得:
若命题q为真命题,则:
,即,
综上可得,实数a的取值范围是,表示为区间形式即.
本题选择C选项.
本题主要考查复合命题问题,与二次函数有关的命题,与指数函数有关命题的处理方法等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
3.B
故选.
4.B
先求出集合A和集合B,由此能求出A∩B.
∵集合A={y|y=log2x,0<x≤4}={y|y≤2},
集合B={x|ex>1}={x|x>0},
∴A∩B={x|0<x≤2}=(0,2].
故选:
B.
求集合的交、并、补时,一般先化简集合,再由交、并、补的定义求解;
在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化.一般地,集合元素离散时用Venn图表示;
集合元素连续时用数轴表示,用数轴表示时要注意端点值的取舍.
5.C
利用特称值,判断特称命题的真假,利用命题的否定关系,特称命题的否定是全称命题写出结果。
,当时,
命题:
,,是真命题
,,则
故选
本题主要考查了命题的否定,特称命题与全称命题的否定关系,属于基础题。
6.A
求出集合,,判断,的关系,即可得到答案.
因为,.
所以.
故选A.
本题考查集合与集合的关系,是基础题.
7.B
由题意求出,,要使,则.
根据题意,可得,,要使,则,故选B.
本题考查集合的综合运算,属中档题.
8.C
根据函数的定义域及值域分别求出集合和集合,求出集合的补集,即可求得.
∵集合
∴
∵
故选C.
本题考查函数的定义域与函数的值域的求法,集合的交、并、补的运算,考查计算能力.
9.D
由题意结合函数图象的变换规律确定函数的对称性即可.
将函数的图象向左平移个单位长度即可得到函数的图象,
结合函数关于直线对称,可知函数关于直线对称.
本题主要考查函数的对称性,函数的平移变换等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
10.A
由题意得令,即与恰有3个交点,由,利用导数得到函数的单调性即可得解.
恰有3个零点,则恰有3个根,
令,即与恰有3个交点,
当时,,所以在上是减函数;
当时,,
所以在时增函数,在时减函数,且,
所以
故选A.
对于方程解的个数(或函数零点个数)问题,可利用函数的值域或最值,结合函数的单调性、草图确定其中参数范围.从图象的最高点、最低点,分析函数的最值、极值;
从图象的对称性,分析函数的奇偶性;
从图象的走向趋势,分析函数的单调性、周期性等.
11.C
构造函数,,所以是上的减函数.令,则,由已知,可得,下面证明,即证明,令,则,即在上递减,,即,所以,若,则.故选.
【点睛】本小题主要考查导数知识的综合运用,考查函数的单调性,考查大小比较,关键在于构造函数法.问题的关键点在于利用好,这是一个含有原函数和它的导函数的式子,故考虑用构造函数法构造函数,构造函数后,就可以用上已知条件来判断单调性了.
12.B
根据函数的对称性判断函数的单调性,采取排除法,由四个选项的特征代入特值求解
,则函数关于对称
函数在上是增函数
函数在是减函数,即在上是减函数
当时,不等式变为,
根据函数的图象特征可得出:
解得或,满足不等式对任意恒成立,由此排除两个选项
解得,不满足不等式对任意恒成立,由此排除
综上所述,选项是正确的
本题主要考查了抽象函数的性质探究方法与应用,解答本题直接求解较为复杂,采取排除法来求解,由四个选项中的特征找出切入点,通过验证特殊值来排除错误答案。
13.4
根据分段函数对应性,根据自变量大小对应代入解析式,即得结果.
.
(1)求分段函数的函数值,要先确定要求值的自变量属于哪一段区间,然后代入该段的解析式求值,当出现的形式时,应从内到外依次求值.
(2)求某条件下自变量的值,先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上,然后求出相应自变量的值,切记代入检验,看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.
14.
由,令,求导利用函数单调性可证得在上无零点,只需考虑:
,,,求解即可.
由题意可知:
.
令.
有:
所以在上单调递减,有,
所以在上无零点,
只需考虑:
,,,
可得三个零点分别为,故答案为.
本题主要考查了分段函数的零点问题,属于中档题.
15.3
由函数为奇函数,可得,进而可得解.
因为函数为奇函数,且,,
所以,所以.
所以.
本题主要考查了奇偶性的应用,属于基础题.
16.
(1)
(2)(4)
(1),根据特称命题的否定是全称命题,判断即可;
(2)根据函数与方程的关系,利用对数函数的性质进行运算判断.
(3)利用线面平行的定义进行判断;
(4)利用奇函数图象的对称性,及函数图象的平移变换,可得函数的对称中心.
正确;
(2),∴不妨设,则,则,即,即,正确;
(3)平面内存在不共线的三点到的距离相等,这3个点可能在2个相交平面的交线的两侧,故不正确.
(4)∵函数是奇函数,∴其图象关于原点对称
又∵函数的图象是由向左平移个单位长度得到.
∴函数的图象关于点对称,正确.
即答案为
(1)
(2)(4).
本题考查特称命题的否定,函数与方程的关系,线面平行,考查函数的奇偶性,对称性等,属基础题.
17.
(1)
(2)
(I)解方程求出集合、,计算;
(II)根据,求出集合的元素特征,求出实数的取值范围.
(1),
(2),
设,
则
即
解得
所以实数的取值范围是
本题考查了集合的定义与运算问题,是中档题.
18.
(1)当时,函数的增区间为,减区间为,;
当时,函数无单调区间;
当时,函数的减区间为,增区间为,
(2)见解析.
(1)函数求导,由得函数减区间,由得函数的增区间;
(2)欲证,只需证,设,,即证,分别求导求最值即可.
(1)定义域为,因为,
当时,;
或,
此时函数的增区间为,减区间为,
当时,,函数无单调区间
此时函数的减区间为,增区间为,
(2)欲证,即证,
只需证,设,,即证
因为,令,得
当或时,,
又因为,当时,,当时,
所以,而
所以,即成立.
本题主要考查利用导数研究函数的单调性、求函数的最值以及不等式恒成立问题,属于难题.不等式恒成立问题常见方法:
①分离参数恒成立(即可)或恒成立(即可);
②数形结合(图象在上方即可);
③讨论最值或恒成立;
④讨论参数.
19.(Ⅰ)见解析;
(Ⅱ);
(Ⅲ)见解析.
(Ⅰ)函数的定义域为.且,据此列表讨论可知:
的单调递增区间为,单调递减区间为.的极大值为,无极