届一轮复习人教A版22函数的单调性与最值学案Word文档格式.docx

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A．k>

B．k<

C．k>

－D．k<

－

D

（2）[教材习题改编]当k<

0时，函数f（x）＝kx＋m在R上是________函数．（填“增”或“减”）

减

解析：

当k＜0时，函数f（x）＝kx＋m在R上是减函数．

单调性易错点：

单调性是区间内的性质．

函数f（x）＝x2－1在定义域内________单调性．（填“有”或“没有”）

没有

虽然函数在区间（－∞，0）上是减函数，在（0，＋∞）上是增函数，但不能说函数在定义域内为单调函数，函数的单调区间是函数定义域的子集，定义域不一定是函数的单调区间．

[典题1]　

（1）[2017·

浙江金华模拟]若函数f（x）＝－x2＋2ax与g（x）＝（a＋1）1－x在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是（　　）

A．（－1,0）B．（－1,0）∪（0,1]

C．（0,1）D．（0,1]

[答案]　D

[解析]　f（x）＝－x2＋2ax的对称轴为x＝a，要使f（x）在[1,2]上为减函数，必须有a≤1，又g（x）＝（a＋1）1－x在[1,2]上是减函数，所以a＋1>

1，即a>

0，故0<

a≤1.

（2）[2017·

广东佛山联考]试讨论函数f（x）＝（a≠0）在（－1,1）上的单调性．

[解]　解法一（定义法）：

设－1<

x1<

x2<

1，f（x）＝a＝a，

f（x1）－f（x2）＝a－a

＝，

由于－1＜x1＜x2＜1，

所以x2－x1＞0，x1－1＜0，x2－1＜0，

故当a>

0时，f（x1）－f（x2）>

0，即f（x1）>

f（x2），

函数f（x）在（－1,1）上单调递减；

当a<

0时，f（x1）－f（x2）<

0，即f（x1）<

f（x2），函数f（x）在（－1,1）上单调递增．

解法二（导数法）：

f′（x）＝－

＝＝－.

当a＞0时，f′（x）＜0，函数f（x）在（－1,1）上单调递减；

当a＜0时，f′（x）＞0，函数f（x）在（－1,1）上单调递增．

[点石成金]　判断函数单调性的方法

（1）定义法：

取值，作差，变形，定号，下结论．

（2）利用复合函数关系：

若两个简单函数的单调性相同，则这两个函数的复合函数为增函数，若两个简单函数的单调性相反，则这两个函数的复合函数为减函数，简称“同增异减”．

（3）图象法：

从左往右看，图象逐渐上升，单调递增；

图象逐渐下降，单调递减．

（4）导数法：

利用导函数的正负判断函数单调性．

考点2　求函数的单调区间

单调区间的定义

如果函数y＝f（x）在区间D上是________或________，那么就说函数y＝f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，________叫做函数y＝f（x）的单调区间．

增函数　减函数　区间D

（1）[教材习题改编]函数f（x）＝在[－6，－2]上的最大值和最小值分别是________．

－，－

（2）[教材习题改编]f（x）＝x2－2x，x∈[－2,4]的单调递增区间为________，f（x）max＝________.

[1,4]　8

1.常见函数的单调性：

一次函数、二次函数、反比例函数．

函数f（x）＝－x2＋2x的单调递增区间是________；

函数y＝的单调递减区间是_____________________________________．

（－∞，1]　（－∞，0），（0，＋∞）

根据二次函数、反比例函数的单调性可得．

2．复合函数的单调性：

同增异减．

函数f（x）＝log（x2－1）的单调递增区间是________．

（－∞，－1）

函数f（x）的定义域为（－∞，－1）∪（1，＋∞），所求区间即为内层函数在定义域上的单调递减区间，即（－∞，－1）．

[典题2]　

（1）[2017·

河北衡水月考]函数f（x）＝log（x2－x－2）的单调递增区间为（　　）

A.B．

C．（－∞，－1）D．（2，＋∞）

[答案]　C

[解析]　由x2－x－2>

0得x<

－1或x>

2，又u＝x2－x－2在（－∞，－1）上为减函数，在（2，＋∞）上为增函数，y＝logu为减函数，故f（x）的单调递增区间为（－∞，－1），故选C.

（2）求函数y＝－x2＋2|x|＋1的单调区间．

[解]　由于y＝

即y＝

画出函数图象如图所示．

单调递增区间为（－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞）．

[题点发散1]　若将本例

（2）中函数变为“f（x）＝|－x2＋2x＋1|”，如何求解？

解：

函数y＝|－x2＋2x＋1|的图象如图所示．

由图象可知，函数y＝|－x2＋2x＋1|的单调递增区间为（1－，1）和（1＋，＋∞）；

单调递减区间为（－∞，1－）和（1,1＋）．

[题点发散2]　若将本例

（2）中函数变为“f（x）＝”，如何求解？

由－x2＋2|x|＋1≥0，得1－≤|x|≤1＋，又|x|≥0，∴0≤|x|≤1＋，

即－1－≤x≤1＋.

根据函数图象可知，f（x）的单调递增区间为[－1－，－1]和[0,1]，单调递减区间为[－1,0]和[1,1＋]．

[点石成金]　1.确定有解析式的函数单调区间的三种方法

[提醒]　单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；

如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．

2．求复合函数y＝f（g（x））的单调区间的步骤

（1）确定函数的定义域．

（2）将复合函数分解成基本初等函数y＝f（u），

u＝g（x）．

（3）分别确定这两个函数的单调区间．

（4）若这两个函数同增同减，则y＝f（g（x））为增函数；

若一增一减，则y＝f（g（x））为减函数，即“同增异减”.

[2017·

天津模拟]函数y＝f（x）（x∈R）的图象如图所示，则函数g（x）＝f（logax）（0<

a<

1）的单调递减区间是（　　）

A.

B．[，1]

C．（－∞，0）∪

D．[，]

B

由图象知f（x）在（－∞，0]和上单调递减，而在上单调递增．又0<

1时，y＝logax为（0，＋∞）上的减函数，所以要使g（x）＝f（logax）单调递减，需要logax∈，即0≤logax≤，解得x∈[，1]，故选B.

考点3　函数单调性的应用

函数的最值

前提

设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足

条件

（1）对于任意的x∈I，都有________；

（2）存在x0∈I，使得f（x0）＝M

（3）对于任意的x∈I，都有________；

（4）存在x0∈I，使得f（x0）＝M

结论

M为最大值

M为最小值

（1）f（x）≤M　（3）f（x）≥M

[考情聚焦]　高考对函数单调性的考查多以选择题、填空题的形式出现，有时也应用于解答题的某一问中．

主要有以下几个命题角度：

角度一

利用函数的单调性求最值

[典题3]　

（1）函数f（x）＝的最大值为________．

[答案]　2

[解析]　当x≥1时，函数f（x）＝为减函数，所以f（x）在x＝1处取得最大值，为f

（1）＝1；

当x<

1时，易知函数f（x）＝－x2＋2在x＝0处取得最大值，为f（0）＝2.故函数f（x）的最大值为2.

（2）已知函数f（x）＝2x－的定义域为（0,1]（a为实数）．

①当a＝1时，求函数y＝f（x）的值域；

②求函数y＝f（x）在区间（0,1]上的最大值及最小值，并求出当函数f（x）取得最值时x的值．

[解]　①当a＝1时，f（x）＝2x－，任取1≥x1＞x2＞0，则f（x1）－f（x2）＝2（x1－x2）－＝（x1－x2）.

∵1≥x1＞x2＞0，∴x1－x2＞0，x1x2＞0.

∴f（x1）＞f（x2），

∴f（x）在（0,1]上单调递增，无最小值，

当x＝1时取得最大值1，所以f（x）的值域为（－∞，1]．

②当a≥0时，y＝f（x）在（0,1]上单调递增，无最小值，

当x＝1时取得最大值2－a；

当a＜0时，f（x）＝2x＋，

当≥1，即a∈（－∞，－2]时，y＝f（x）在（0,1]上单调递减，无最大值，当x＝1时取得最小值2－a，

当＜1，即a∈（－2,0）时，y＝f（x）在上单调递减，在上单调递增，无最大值，

当x＝时取得最小值2.

角度二

比较两个函数值或两个自变量的大小

[典题4]　[2017·

黑龙江哈尔滨联考]已知函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，当x2>

x1>

1时，[f（x2）－f（x1）]·

（x2－x1）<

0恒成立，设a＝f，b＝f

（2），c＝f（e），则a，b，c的大小关系为（　　）

A．c>

a>

bB．c>

b>

a

C．a>

c>

bD．b>

c

[解析]　因为f（x）的图象关于直线x＝1对称．

由此可得f＝f.

由x2>

1时，[f（x2）－f（x1）]（x2－x1）<

0恒成立，知f（x）在（1，＋∞）上单调递减．

∵1<

2<

<

e，∴f

（2）>

f>

f（e），

∴b>

c.

角度三

利用函数的单调性求解不等式

[典题5]　f（x）是定义在（0，＋∞）上的单调增函数，满足f（xy）＝f（x）＋f（y），f（3）＝1，当f（x）＋f（x－8）≤2时，x的取值范围是（　　）

A．（8，＋∞）B．（8,9]

C．[8,9]D．（0,8）

[答案]　B

[解析]　2＝1＋1＝f（3）＋f（3）＝f（9），由f（x）＋f（x－8）≤2，可得f（x（x－8））≤f（9），因为f（x）是定义在（0，＋∞）上的增函数，所以有解得8＜x≤9.

角度四

利用单调性求参数的取值范围或值

[典题6]　

（1）[2017·

湖南师大附中月考]已知函数f（x）＝是R上的增函数，则a的取值范围是（　　）

A．[－3,0）B．（－∞，－2]

C．[－3，－2]D．（－∞，0）

[解析]　由题设可得解得－3≤a≤－2，故选C.

（2）已知函数f（x）＝满足对任意的实数x1≠x2，都有<

0成立，则实数a的取值范围为（　　）

A．（－∞，2）B．

C．（－∞，2]D．

[解析]　由题意可知，函数f（x）是R上的减函数，于是有由此解得a≤，即实数a的取值范围是.

[点石成金]　函数单调性应用问题的常见类型及解题策略

（1）比较大小．比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．

（2）解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．

（3）利用单调性求参数．

①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；

②需注意若函数在