届一轮复习人教A版22函数的单调性与最值学案Word文档格式.docx
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A.k>
B.k<
C.k>
-D.k<
-
D
(2)[教材习题改编]当k<
0时,函数f(x)=kx+m在R上是________函数.(填“增”或“减”)
减
解析:
当k<0时,函数f(x)=kx+m在R上是减函数.
单调性易错点:
单调性是区间内的性质.
函数f(x)=x2-1在定义域内________单调性.(填“有”或“没有”)
没有
虽然函数在区间(-∞,0)上是减函数,在(0,+∞)上是增函数,但不能说函数在定义域内为单调函数,函数的单调区间是函数定义域的子集,定义域不一定是函数的单调区间.
[典题1]
(1)[2017·
浙江金华模拟]若函数f(x)=-x2+2ax与g(x)=(a+1)1-x在区间[1,2]上都是减函数,则a的取值范围是( )
A.(-1,0)B.(-1,0)∪(0,1]
C.(0,1)D.(0,1]
[答案] D
[解析] f(x)=-x2+2ax的对称轴为x=a,要使f(x)在[1,2]上为减函数,必须有a≤1,又g(x)=(a+1)1-x在[1,2]上是减函数,所以a+1>
1,即a>
0,故0<
a≤1.
(2)[2017·
广东佛山联考]试讨论函数f(x)=(a≠0)在(-1,1)上的单调性.
[解] 解法一(定义法):
设-1<
x1<
x2<
1,f(x)=a=a,
f(x1)-f(x2)=a-a
=,
由于-1<x1<x2<1,
所以x2-x1>0,x1-1<0,x2-1<0,
故当a>
0时,f(x1)-f(x2)>
0,即f(x1)>
f(x2),
函数f(x)在(-1,1)上单调递减;
当a<
0时,f(x1)-f(x2)<
0,即f(x1)<
f(x2),函数f(x)在(-1,1)上单调递增.
解法二(导数法):
f′(x)=-
==-.
当a>0时,f′(x)<0,函数f(x)在(-1,1)上单调递减;
当a<0时,f′(x)>0,函数f(x)在(-1,1)上单调递增.
[点石成金] 判断函数单调性的方法
(1)定义法:
取值,作差,变形,定号,下结论.
(2)利用复合函数关系:
若两个简单函数的单调性相同,则这两个函数的复合函数为增函数,若两个简单函数的单调性相反,则这两个函数的复合函数为减函数,简称“同增异减”.
(3)图象法:
从左往右看,图象逐渐上升,单调递增;
图象逐渐下降,单调递减.
(4)导数法:
利用导函数的正负判断函数单调性.
考点2 求函数的单调区间
单调区间的定义
如果函数y=f(x)在区间D上是________或________,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,________叫做函数y=f(x)的单调区间.
增函数 减函数 区间D
(1)[教材习题改编]函数f(x)=在[-6,-2]上的最大值和最小值分别是________.
-,-
(2)[教材习题改编]f(x)=x2-2x,x∈[-2,4]的单调递增区间为________,f(x)max=________.
[1,4] 8
1.常见函数的单调性:
一次函数、二次函数、反比例函数.
函数f(x)=-x2+2x的单调递增区间是________;
函数y=的单调递减区间是_____________________________________.
(-∞,1] (-∞,0),(0,+∞)
根据二次函数、反比例函数的单调性可得.
2.复合函数的单调性:
同增异减.
函数f(x)=log(x2-1)的单调递增区间是________.
(-∞,-1)
函数f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞),所求区间即为内层函数在定义域上的单调递减区间,即(-∞,-1).
[典题2]
(1)[2017·
河北衡水月考]函数f(x)=log(x2-x-2)的单调递增区间为( )
A.B.
C.(-∞,-1)D.(2,+∞)
[答案] C
[解析] 由x2-x-2>
0得x<
-1或x>
2,又u=x2-x-2在(-∞,-1)上为减函数,在(2,+∞)上为增函数,y=logu为减函数,故f(x)的单调递增区间为(-∞,-1),故选C.
(2)求函数y=-x2+2|x|+1的单调区间.
[解] 由于y=
即y=
画出函数图象如图所示.
单调递增区间为(-∞,-1]和[0,1],单调递减区间为[-1,0]和[1,+∞).
[题点发散1] 若将本例
(2)中函数变为“f(x)=|-x2+2x+1|”,如何求解?
解:
函数y=|-x2+2x+1|的图象如图所示.
由图象可知,函数y=|-x2+2x+1|的单调递增区间为(1-,1)和(1+,+∞);
单调递减区间为(-∞,1-)和(1,1+).
[题点发散2] 若将本例
(2)中函数变为“f(x)=”,如何求解?
由-x2+2|x|+1≥0,得1-≤|x|≤1+,又|x|≥0,∴0≤|x|≤1+,
即-1-≤x≤1+.
根据函数图象可知,f(x)的单调递增区间为[-1-,-1]和[0,1],单调递减区间为[-1,0]和[1,1+].
[点石成金] 1.确定有解析式的函数单调区间的三种方法
[提醒] 单调区间只能用区间表示,不能用集合或不等式表示;
如有多个单调区间应分别写,不能用并集符号“∪”联结,也不能用“或”联结.
2.求复合函数y=f(g(x))的单调区间的步骤
(1)确定函数的定义域.
(2)将复合函数分解成基本初等函数y=f(u),
u=g(x).
(3)分别确定这两个函数的单调区间.
(4)若这两个函数同增同减,则y=f(g(x))为增函数;
若一增一减,则y=f(g(x))为减函数,即“同增异减”.
[2017·
天津模拟]函数y=f(x)(x∈R)的图象如图所示,则函数g(x)=f(logax)(0<
a<
1)的单调递减区间是( )
A.
B.[,1]
C.(-∞,0)∪
D.[,]
B
由图象知f(x)在(-∞,0]和上单调递减,而在上单调递增.又0<
1时,y=logax为(0,+∞)上的减函数,所以要使g(x)=f(logax)单调递减,需要logax∈,即0≤logax≤,解得x∈[,1],故选B.
考点3 函数单调性的应用
函数的最值
前提
设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足
条件
(1)对于任意的x∈I,都有________;
(2)存在x0∈I,使得f(x0)=M
(3)对于任意的x∈I,都有________;
(4)存在x0∈I,使得f(x0)=M
结论
M为最大值
M为最小值
(1)f(x)≤M (3)f(x)≥M
[考情聚焦] 高考对函数单调性的考查多以选择题、填空题的形式出现,有时也应用于解答题的某一问中.
主要有以下几个命题角度:
角度一
利用函数的单调性求最值
[典题3]
(1)函数f(x)=的最大值为________.
[答案] 2
[解析] 当x≥1时,函数f(x)=为减函数,所以f(x)在x=1处取得最大值,为f
(1)=1;
当x<
1时,易知函数f(x)=-x2+2在x=0处取得最大值,为f(0)=2.故函数f(x)的最大值为2.
(2)已知函数f(x)=2x-的定义域为(0,1](a为实数).
①当a=1时,求函数y=f(x)的值域;
②求函数y=f(x)在区间(0,1]上的最大值及最小值,并求出当函数f(x)取得最值时x的值.
[解] ①当a=1时,f(x)=2x-,任取1≥x1>x2>0,则f(x1)-f(x2)=2(x1-x2)-=(x1-x2).
∵1≥x1>x2>0,∴x1-x2>0,x1x2>0.
∴f(x1)>f(x2),
∴f(x)在(0,1]上单调递增,无最小值,
当x=1时取得最大值1,所以f(x)的值域为(-∞,1].
②当a≥0时,y=f(x)在(0,1]上单调递增,无最小值,
当x=1时取得最大值2-a;
当a<0时,f(x)=2x+,
当≥1,即a∈(-∞,-2]时,y=f(x)在(0,1]上单调递减,无最大值,当x=1时取得最小值2-a,
当<1,即a∈(-2,0)时,y=f(x)在上单调递减,在上单调递增,无最大值,
当x=时取得最小值2.
角度二
比较两个函数值或两个自变量的大小
[典题4] [2017·
黑龙江哈尔滨联考]已知函数f(x)的图象关于直线x=1对称,当x2>
x1>
1时,[f(x2)-f(x1)]·
(x2-x1)<
0恒成立,设a=f,b=f
(2),c=f(e),则a,b,c的大小关系为( )
A.c>
a>
bB.c>
b>
a
C.a>
c>
bD.b>
c
[解析] 因为f(x)的图象关于直线x=1对称.
由此可得f=f.
由x2>
1时,[f(x2)-f(x1)](x2-x1)<
0恒成立,知f(x)在(1,+∞)上单调递减.
∵1<
2<
<
e,∴f
(2)>
f>
f(e),
∴b>
c.
角度三
利用函数的单调性求解不等式
[典题5] f(x)是定义在(0,+∞)上的单调增函数,满足f(xy)=f(x)+f(y),f(3)=1,当f(x)+f(x-8)≤2时,x的取值范围是( )
A.(8,+∞)B.(8,9]
C.[8,9]D.(0,8)
[答案] B
[解析] 2=1+1=f(3)+f(3)=f(9),由f(x)+f(x-8)≤2,可得f(x(x-8))≤f(9),因为f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,所以有解得8<x≤9.
角度四
利用单调性求参数的取值范围或值
[典题6]
(1)[2017·
湖南师大附中月考]已知函数f(x)=是R上的增函数,则a的取值范围是( )
A.[-3,0)B.(-∞,-2]
C.[-3,-2]D.(-∞,0)
[解析] 由题设可得解得-3≤a≤-2,故选C.
(2)已知函数f(x)=满足对任意的实数x1≠x2,都有<
0成立,则实数a的取值范围为( )
A.(-∞,2)B.
C.(-∞,2]D.
[解析] 由题意可知,函数f(x)是R上的减函数,于是有由此解得a≤,即实数a的取值范围是.
[点石成金] 函数单调性应用问题的常见类型及解题策略
(1)比较大小.比较函数值的大小,应将自变量转化到同一个单调区间内,然后利用函数的单调性解决.
(2)解不等式.在求解与抽象函数有关的不等式时,往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉,使其转化为具体的不等式求解.此时应特别注意函数的定义域.
(3)利用单调性求参数.
①视参数为已知数,依据函数的图象或单调性定义,确定函数的单调区间,与已知单调区间比较求参数;
②需注意若函数在