版高考数学一轮复习一光速解题学会12种快速解题技法增分册作业本理.docx

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版高考数学一轮复习一光速解题学会12种快速解题技法增分册作业本理

一、光速解题——学会12种快速解题技法

技法1　特例法

　　在解决选择题和填空题时,可以取一个（或一些）特殊数值、特殊位置、特殊函数、特殊点、特殊方程、特殊数列、特殊图形等来确定其结果,这种方法称为特例法.特例法只需对特殊数值、特殊情形进行检验,省去了推理论证的演算过程,提高了解题的速度.特例法是考试中解答选择题和填空题时经常用到的一种方法,应用得当可以起到“四两拨千斤”的功效.

典例1　（特殊数值）

（1）设f（x）=若f（x0）>3,则x0的取值范围为（　　）

A.（-∞,0）∪（2,+∞）B.（0,2）

C.（-∞,-1）∪（3,+∞）D.（-1,3）

（2）已知数列{an}的前n项和为Sn,Sn=2an-n,则an=（　　）

A.2n-1-1B.2n-1

C.2n-1D.2n+1

答案　

（1）C　

（2）B

解析　

（1）取x0=1,则f

（1）=+1=<3,故x0≠1,排除B、D;取x0=3,则f（3）=log28=3,故x0≠3,排除A.故选C.

（2）取n=1,则S1=2a1-1,得a1=1,排除A、D;

取n=2,则S2=a1+a2=2a2-2,得a2=3;

取n=3,则S3=a1+a2+a3=2a3-3,得a3=7,排除C,故选B.

典例2　（特殊点）

（1）函数f（x）=的图象是（　　）

（2）如图,点P为椭圆+=1上第一象限内的任意一点,过椭圆的右顶点A、上顶点B分别作y轴、x轴的平行线,它们相交于点C,过点P引BC、AC的平行线交AC于点N,交BC于点M,交AB于D、E两点,记矩形PMCN的面积为S1,三角形PDE的面积为S2,则S1∶S2=（　　）

A.1B.2C.D.

答案　

（1）C　

（2）A

解析　

（1）因为x≠±1,所以排除A;因为f（0）=1,所以函数f（x）的图象过点（0,1）,排除D;因为f==,所以排除B,故选C.

（2）不妨取点P,则S1=×（5-4）=,PD=2,PE=,所以S2=×2×=,所以S1∶S2=1.

典例3　（特殊函数）若函数y=f（x）对定义域D中的每一个x1,都存在唯一的x2∈D,使f（x1）·f（x2）=1成立,则称f（x）为“影子函数”,有下列三个命题:

①“影子函数”f（x）的值域可以是R;

②“影子函数”f（x）可以是奇函数;

③若y=f（x）,y=g（x）都是“影子函数”,且定义域相同,则y=f（x）·g（x）是“影子函数”.

上述正确命题的序号是（　　）

A.①B.②C.③D.②③

答案　B

解析　对于①:

假设“影子函数”的值域为R,则存在x1,使得f（x1）=0,此时不存在x2,使得f（x1）f（x2）=1,所以①错;

对于②:

函数f（x）=x（x≠0）,对任意的x1∈（-∞,0）∪（0,+∞）,取x2=,则f（x1）f（x2）=1,又因为函数f（x）=x（x≠0）为奇函数,所以“影子函数”f（x）可以是奇函数,②正确;

对于③:

函数f（x）=x（x>0）,g（x）=（x>0）都是“影子函数”,但F（x）=f（x）g（x）=1（x>0）不是“影子函数”（因为对任意的x1∈（0,+∞）,存在无数多个x2∈（0,+∞）,使得F（x1）·F（x2）=1）,所以③错.综上,应选B.

典例4　（特殊位置）

（1）已知E为△ABC的重心,AD为BC边上的中线,令=a,=b,过点E的直线分别交AB,AC于P,Q两点,且=ma,=nb,则+=（　　）

A.3B.4C.5D.

（2）如图,在三棱柱的侧棱A1A和B1B上各有一动点P,Q,且A1P=BQ,过P,Q,C三点的截面把棱柱分成上、下两部分,则上、下两部分的体积之比为（　　）

A.3∶1B.2∶1C.4∶1D.∶1

答案　

（1）A　

（2）B

解析　

（1）由于直线PQ是过点E的一条“动”直线,所以结果必然是一个定值.故可利用特殊直线确定所求值.

解法一:

如图①,令PQ∥BC,则=,=,此时,m=n=,故+=3.故选A.

解法二:

如图②,直线BE与直线PQ重合,此时,=,=,故m=1,n=,所以+=3.故选A.

（2）将P,Q置于特殊位置:

P→A1,Q→B,此时仍满足条件A1P=BQ（=0）,则有==.

因此过P、Q、C三点的截面把棱柱分成了体积比为2∶1的上、下两部分.

典例5　（特殊图形）在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,如果a,b,c成等差数列,则=（　　）

A.B.C.D.

答案　B

解析　不妨令△ABC为等边三角形,则cosA=cosC=,=.故选B.

典例6　（特殊数列）如果a1,a2,a3,…,an为各项都大于零的等差数列,公差d≠0,则下列关系正确的为（　　）

A.a1a8>a4a5B.a1a8

C.a1+a8>a4+a5D.a1a8=a4a5

答案　B

解析　取特殊数列,不妨设an=n,则a1=1,a4=4,a5=5,a8=8,经检验,只有选项B成立.

技法2　换元法

　　换元法又称变量代换法.通过引进新的变量,可以把分散的条件联系起来,隐含的条件显露出来,或者将题目变为熟悉的形式,简化复杂的计算和推证.换元的实质是转化,关键是构造元和设元,理论依据是等量代换,目的是变换研究对象,将问题移至新对象的知识背景中再研究,从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化.换元法经常用于三角函数的化简求值、复合函数解析式的求解等.

典例1　（三角换元）已知x,y∈R,满足x2+2xy+4y2=6,则z=x2+4y2的取值范围为　　　　. 

答案　[4,12]

解析　已知x2+2xy+4y2=6,

即（x+y）2+（y）2=（）2,

故设x+y=cosα,y=sinα,

即x=cosα-sinα,y=sinα.

则z=x2+4y2=6-2xy=6-2（cosα-sinα）·sinα

=8-4sin.

所以8-4≤z≤8+4,即z的取值范围为[4,12].

典例2　（整体代换）函数y=sinx-cosx+sinxcosx,x∈[0,π]的最小值是　　　　. 

答案　-1

解析　设t=sinx-cosx=sin,

则sinxcosx=,

因为x∈[0,π],

所以x-∈,

所以t∈[-1,],

所以y=t+=-（t-1）2+1,当t=-1时,ymin=-1.

典例3　（局部换元）设对一切实数x,不等式x2log2+2xlog2+log2>0恒成立,求a的取值范围.

解析　设log2=t∈R,则log2=log2=3+log2=3-log2=3-t,log2=

2log2=-2t,原不等式化为（3-t）x2+2tx-2t>0,它对一切实数x恒成立,所以解得∴t<0,即log2<0,所以0<<1,解得0

技法3　数形结合法

　　数形结合法包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面,其应用分为两种情形:

一是代数问题几何化,借助形的直观性来阐明数之间的联系,即以形为手段,以数为目的,比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质;二是几何问题代数化,借助数的精确性阐明形的某些属性,即以数为手段,以形为目的,如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质.

典例1　（平面向量问题）设a,b,c是单位向量,且a·b=0,则（a-c）·（b-c）的最小值为（　　）

A.-2B.-2C.-1D.1-

答案　D

解析　由于（a-c）·（b-c）=-（a+b）·c+1,因此求（a-c）·（b-c）的最小值等价于求（a+b）·c的最大值,这个最大值只有当向量a+b与向量c同向共线时取得.由于a·b=0,故a⊥b,如图所示,|a+b|=

|c|=1,当θ=0时,（a+b）·c取得最大值,故所求的最小值为1-.

典例2　（函数问题）

（1）用min{a,b,c}表示a,b,c三个数中最小的数,设f（x）=min{2x,x+2,10-x}

（x≥0）,则f（x）的最大值为（　　）

A.4B.5C.6D.7

（2）函数y=+的值域为　　　　. 

答案　

（1）C　

（2）[,]

解析　

（1）在同一平面直角坐标系中画出y=2x,y=x+2,y=10-x的图象（如图）,观察图象可知f（x）=

∴f（x）的最大值在x=4时取得,为6.

（2）由题意,得解得0≤x≤2.

设m=,n=,则f（x）=m+n,m2+2n2=4（0≤m≤2,0≤n≤）表示椭圆+=1在第一象限的部分,如图所示.

设t=m+n,由图可知,当直线n=-m+t过点（0,）时,t取得最小值,即tmin=.当直线n=-m+t与椭圆相切于第一象限时,t取得最大值.将n=-m+t代入椭圆方程,得m2+2（t-m）2=4,即3m2-4tm+2t2-4=0.由Δ=16t2-12（2t2-4）=0,解得t=或t=-（舍去）,所以tmax=,所以函数f（x）的值域为[,].

典例3　（方程问题）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数,若f（x）=则关于x的方程f（x）+a=0（0

A.1-B.-1C.1-2aD.2a-1

答案　C

解析　在平面直角坐标系中作出函数f（x）=以及y=-a的图象,由图可知,关于x的方程f（x）+a=0（0

-6,x4+x5=6,由-log2（-x3+1）=-a得x3=1-2a,所以x1+x2+x3+x4+x5=-6+（1-2a）+6=1-2a,故选C.

典例4　（不等式问题）

（1）当0

A.B.C.（1,）D.（,2）

（2）已知当动点P（x,y）满足时,不等式x2+y2+2y≥2a-1恒成立,则实数a的取值范围是　　　　. 

答案　

（1）B　

（2）

解析　

（1）易知0,解得a>,∴

（2）动点P（x,y）满足的约束条件为其可行域如阴影部分所示.x2+y2+2y=x2+（y+1）2-1,其中x2+（y+1）2表示点（x,y）到点（0,-1）的距离的平方,

由图可知,点A（0,-1）到直线y=-x的距离的平方就是x2+（y+1）2的最小值,

由点到直线的距离的平方得x2+（y+1）2的最小值为=,

因此x2+y2+2y=x2+（y+1）2-1的最小值为-1=-,

所以由不等式恒成立的条件知2a-1≤-,解得a≤,故实数a的取值范围是.

典例5　（解析几何问题）若抛物线y2=2px（p>0）上一点M到抛物线的准线和对称轴的距离分别为10和6,则点M的横坐标为（　　）

A.B.9或1C.10D.18或10

答案　B

解析　在图

（1）中,MN=MF=10,MG=6,∴FG=8,故AF=2,则xM=OF+FG=9,∴M的横坐标为9.在图

（2）中,GF=8,∴AF=10+8=18,∴OG=AG-OA=10-9=1,故M的横坐标为1.故选B.

技法4　待定系数法

　　待定系数法就是把具有某种确定形式的数学问题,通过引入一些待定的系数,转化为解方程（组）问题来解决.待定系数法主要用来解决所求解的数学问题涉及某种确定的数学表达式的情况,例如数列求和、求函数解析式、求曲线的方程等问题.

典例1　（求函数解析式）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示,其中|PQ|=2.则f（x）的解析式为　　　　　　. 

答案　f（x）=2sin

解析　由题图可知A=2,P（x1,-2）,Q（x2,2）,所以|