知识学习高考数学理科一轮复习数学归纳法学案带答案Word文档下载推荐.docx
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D．1＋a＋a2＋a3
2．如果命题P对于n＝k时成立，则它对n＝k＋2也成立，又若P对于n＝2时成立，则下列结论正确的是
A．P对所有正整数n成立
B．P对所有正偶数n成立
c．P对所有正奇数n成立
D．P对所有大于1的正整数n成立
3．证明n＋22&
lt;
1＋12＋13＋14＋…＋12n&
n＋1，当n＝2时，中间式子等于
B．1＋12
c．1＋12＋13
D．1＋12＋13＋14
4．用数学归纳法证明“2n&
gt;
n2＋1对于n&
n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取
A．2
B．3
c．5
D．6
5．用数学归纳法证明“n3＋3＋3能被9整除”，要利用归纳假设证n＝k＋1时的情况，只需展开
A．3
c．3
D．3＋3
探究点一 用数学归纳法证明等式
例1 对于n∈N*，用数学归纳法证明：
&
#8226;
n＋2&
＋3&
＋…＋&
2＋n&
1＝16n．
变式迁移1 用数学归纳法证明：
对任意的n∈N*,1－12＋13－14＋…＋12n－1－12n＝1n＋1＋1n＋2＋…＋12n.
探究点二 用数学归纳法证明不等式
例2 用数学归纳法证明：
对一切大于1的自然数，不等式1＋131＋15…1＋12n－1&
2n＋12均成立．
变式迁移2 已知m为正整数，用数学归纳法证明：
当x&
－1时，m≥1＋mx.
探究点三 用数学归纳法证明整除问题
例3 用数学归纳法证明：
当n∈N*时，an＋1＋2n－1能被a2＋a＋1整除．
变式迁移3 用数学归纳法证明：
当n为正整数时，f＝32n＋2－8n－9能被64整除．
从特殊到一般的思想
例 已知等差数列{an}的公差d大于0，且a2、a5是方程x2－12x＋27＝0的两根，数列{bn}的前n项和为Tn，且Tn＝1－12bn.
求数列{an}、{bn}的通项公式；
设数列{an}的前n项和为Sn，试比较1bn与Sn＋1的大小，并说明理由．
【答题模板】
解 由已知得a2＋a5＝12a2a5＝27，又∵{an}的公差大于0，
∴a5&
a2，∴a2＝3，a5＝9.∴d＝a5－a23＝9－33＝2，a1＝1，
∴an＝1＋×
2＝2n－1.[2分]
∵Tn＝1－12bn，∴b1＝23，当n≥2时，Tn－1＝1－12bn－1，
∴bn＝Tn－Tn－1＝1－12bn－1－12bn－1，
化简，得bn＝13bn－1，[4分]
∴{bn}是首项为23，公比为13的等比数列，
即bn＝23&
13n－1＝23n，
∴an＝2n－1，bn＝23n.[6分]
∵Sn＝1＋&
#61480;
2n－1&
#61481;
2n＝n2，∴Sn＋1＝2，1bn＝3n2.
以下比较1bn与Sn＋1的大小：
当n＝1时，1b1＝32，S2＝4，∴1b1&
S2，当n＝2时，1b2＝92，S3＝9，∴1b2&
S3，
当n＝3时，1b3＝272，S4＝16，∴1b3&
S4，当n＝4时，1b4＝812，S5＝25，∴1b4&
S5.
猜想：
n≥4时，1bn&
Sn＋1.[9分]
下面用数学归纳法证明：
①当n＝4时，已证．
②假设当n＝k时，1bk&
Sk＋1，即3k2&
2.[10分]
那么，n＝k＋1时，1bk＋1＝3k＋12＝3&
3k2&
32＝3k2＋6k＋3＝＋2k2＋2k－1&
[＋1]2＝S＋1，∴n＝k＋1时，1bn&
Sn＋1也成立．[12分]
由①②可知n∈N*，n≥4时，1bn&
Sn＋1都成立．
综上所述，当n＝1,2,3时，1bn&
Sn＋1，当n≥4时，1bn&
Sn＋1.[14分]
【突破思维障碍】
．归纳——猜想——证明是高考重点考查的内容之一，此类问题可分为归纳性问题和存在性问题，本例中归纳性问题需要从特殊情况入手，通过观察、分析、归纳、猜想，探索出一般规律．
2．数列是定义在N*上的函数，这与数学归纳法运用的范围是一致的，并且数列的递推公式与归纳原理实质上是一致的，数列中有不少问题常用数学归纳法解决．
【易错点剖析】
．严格按照数学归纳法的三个步骤书写，特别是对初始值的验证不可省略，有时要取两个初始值进行验证；
初始值的验证是归纳假设的基础．
2．在进行n＝k＋1命题证明时，一定要用n＝k时的命题，没有用到该命题而推理证明的方法不是数学归纳法．
．数学归纳法：
先证明当n取第一个值n0时命题成立，然后假设当n＝k时命题成立，并证明当n＝k＋1时命题也成立，那么就证明了这个命题成立．这是因为第一步首先证明了n取第一个值n0时，命题成立，这样假设就有了存在的基础，至少k＝n0时命题成立，由假设合理推证出n＝k＋1时命题也成立，这实质上是证明了一种循环，如验证了n0＝1成立，又证明了n＝k＋1也成立，这就一定有n＝2成立，n＝2成立，则n＝3成立，n＝3成立，则n＝4也成立，如此反复以至无穷，对所有n≥n0的整数就都成立了．
2．第①步验证n＝n0使命题成立时n0不一定是1，是使命题成立的最小正整数．
第②步证明n＝k＋1时命题也成立的过程中一定要用到归纳递推，否则就不是数学归纳法．
一、选择题
．用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，在第二步时，正确的证法是
A．假设n＝k时命题成立，证明n＝k＋1命题成立
B．假设n＝k时命题成立，证明n＝k＋1命题成立
c．假设n＝2k＋1时命题成立，证明n＝k＋1命题成立
D．假设n＝k时命题成立，证明n＝k＋2命题成立
2．已知f＝1n＋1n＋1＋1n＋2＋…＋1n2，则
A．f中共有n项，当n＝2时，f＝12＋13
B．f中共有n＋1项，当n＝2时，f＝12＋13＋14
c．f中共有n2－n项，当n＝2时，f＝12＋13
D．f中共有n2－n＋1项，当n＝2时，f＝12＋13＋14
3．如果命题P对n＝k成立，则它对n＝k＋1也成立，现已知P对n＝4不成立，则下列结论正确的是
A．P对n∈N*成立
B．P对n&
4且n∈N*成立
c．P对n&
D．P对n≤4且n∈N*不成立
4．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝n4＋n22，则当n＝k＋1时左端应在n＝k的基础上加上
A．k2＋1
B．2
c.&
k＋1&
4＋&
22
D．＋＋＋…＋2
5．已知f是定义域为正整数集的函数，对于定义域内任意的k，若f≥k2成立，则f≥2成立，下列命题成立的是
A．若f≥9成立，且对于任意的k≥1，均有f≥k2成立
B．若f≥16成立，则对于任意的k≥4，均有f&
k2成立
c．若f≥49成立，则对于任意的k&
7，均有f&
D．若f＝25成立，则对于任意的k≥4，均有f≥k2成立
二、填空题
6．用数学归纳法证明“1＋2＋3＋…＋n＋…＋3＋2＋1＝n2”时，从n＝k到n＝k＋1时，该式左边应添加的代数式是________．
7．用数学归纳法证明不等式1n＋1＋1n＋2＋…＋1n＋n&
1324的过程中，由n＝k推导n＝k＋1时，不等式的左边增加的式子是______________．
8．凸n边形有f条对角线，凸n＋1边形有f条对角线，则f＝f＋________.
三、解答题
9．用数学归纳法证明1＋n2≤1＋12＋13＋…＋12n≤12＋n．
0．数列{an}满足an&
0，Sn＝12，求S1，S2，猜想Sn，并用数学归纳法证明．
11．已知函数f＝1x2e－1|x|．
判断f的奇偶性；
在上求函数f的极值；
用数学归纳法证明：
0时，对任意正整数n都有f&
n！
&
x2－n.
学案39 数学归纳法
．一般结论 完全 不完全 2.P1 P0 Pk Pk＋1
3．n0 n＝k n＝k＋1
．c [当n＝1时左端有n＋2项，∴左端＝1＋a＋a2.]
2．B [由n＝2成立，根据递推关系“P对于n＝k时成立，则它对n＝k＋2也成立”，可以推出n＝4时成立，再推出n＝6时成立，…，依次类推，P对所有正偶数n成立”．]
3．D [当n＝2时，中间的式子
＋12＋13＋122＝1＋12＋13＋14.]
4．c [当n＝1时，21＝12＋1；
当n＝2时，22&
22＋1；
当n＝3时，23&
32＋1；
当n＝4时，24&
42＋1.而当n＝5时，25&
52＋1，∴n0＝5.]
5．A [假设当n＝k时，原式能被9整除，
即k3＋3＋3能被9整除．
当n＝k＋1时，3＋3＋3为了能用上面的归纳假设，只需将3展开，让其出现k3即可．]
课堂活动区
例1 解题导引 用数学归纳法证明与正整数有关的一些等式命题，关键在于弄清等式两边的构成规律：
等式的两边各有多少项，由n＝k到n＝k＋1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项．
证明 设f＝1&
1.
当n＝1时，左边＝1，右边＝1，等式成立；
假设当n＝k时等式成立，
即1&
k＋2&
2＋k&
1
＝16k，
则当n＝k＋1时，
f＝1&
＋2[－1]＋3[－2]＋…＋[－1]&
2＋&
＝f＋1＋2＋3＋…＋k＋
＝16k＋12
＝16．
由可知当n∈N*时等式都成立．
变式迁移1 证明 当n＝1时，
左边＝1－12＝12＝11＋1＝右
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