全国市级联考江苏省苏州市学年高一下学期期末考试数学试题Word格式文档下载.docx

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二、解答题

14．已知，.

（1）求的值；

（2）若，，求的值.

15．已知公差不为0的等差数列的前项和为，，.

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和.

16．如图，在平面四边形中，，，.

（1）若，求的面积；

（2）若，，求的长度.

17．如图，长方形材料中，已知，.点为材料内部一点，于，于，且，.现要在长方形材料中裁剪出四边形材料，满足，点、分别在边，上.

（1）设，试将四边形材料的面积表示为的函数，并指明的取值范围；

（2）试确定点在上的位置，使得四边形材料的面积最小，并求出其最小值.

18．已知函数.

（1）当，时，求满足的的值；

（2）若函数是定义在上的奇函数.

①存在，使得不等式有解，求实数的取值范围；

②若函数满足，若对任意且，不等式恒成立，求实数的最大值.

19．设数列的前n项和为，，．

求数列的通项公式；

设数列满足：

对于任意的，都有成立．

设数列，问：

数列中是否存在三项，使得它们构成等差数列？

若存在，求出这三项；

若不存在，请说明理由．

参考答案

1．

【分析】

直接由集合的交集运算，即可得到本题答案.

【详解】

因为集合，，

所以.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查集合的交集运算，属基础题.

2．80

【解析】

试题分析：

时速在区间内的汽车有

考点：

频率分布直方图

3．

分析：

通过枚举法写出摸出2个球的所有情况，再找出摸出1个黑球和1个白球的情况，由此能求出概率.

详解：

设3个黑球用A，B，C表示；

2个白球用甲，乙表示，

摸出2个球的所有情况：

（A，B）、（A，C）、（A，甲）、（A，乙）、（B，C）、（B，甲）、（B，乙）、（C，甲）、（C，乙）、（甲，乙）共10种，其中摸出1个黑球和1个白球的情况有6种，

所以，摸出1个黑球和1个白球的概率为.

故答案为.

点睛：

本题考查利用古典概型的概率公式求事件的概率，解题时要注意枚举法的合理运用.

4．-4

先求向量，再根据平行关系建立方程，即可求解．

∵向量=（1，4），=（–1，x），

∴=（1，4）+（–3，3x）=（–2，4+3x），

∵，∴，解得x=–4．故答案为–4．

本题考查向量坐标运算与向量共线，比较简单，属于基础题．

5．25

由流程图可知，该算法为先判断后计算的当型循环，模拟执行程序，即可得到答案.

程序执行如下

1

5

输出

故不成立时，.

故答案为25.

本题考查了循环结构的程序框图，正确判断循环的类型和终止循环的条件是解题关键

6．

设该女子织布每天增加尺，由等差数列前项和公式求出即可.

设该女子织布每天增加尺，

由题意知，尺，尺

又由等差数列前项和公式得，解得尺

故答案为

本题考查等差数列的实际应用，解题时要认真审题，注意等差数列性质的合理运用.

7．12

设水平向右和竖直向上的单位向量分别为和，用和表示和，再根据公式计算，即可求出答案.

设水平向右和竖直向上的单位向量和，则和

由图可知，，

.

故答案为12.

本题考查向量运算在几何中的应用，向量的数量积以及向量的正交分解，考查计算能力以及转化思想，属于中档题.

8．

由角的终边上的一点的坐标为，求出的值，利用，将的值代入即可得结果.

角的终边上的一点的坐标为，

，

那么，故答案为.

本题主要考查三角函数的定义及二倍角的正弦公式与余弦公式，属于中档题.给值求值问题，求值时要注意：

（1）观察角，分析角与角之间的差异以及角与角之间的和、差、倍的关系，巧用诱导公式或拆分技巧；

（2）观察名，尽可能使三角函数统一名称；

（3）观察结构，以便合理利用公式，整体化简求值.

9．1

由角，，成等差数列，可得，由余弦定理，整理可得：

，再将通分化简，即可就得答案.

角，，成等差数列，，，

由由余弦定理，整理可得：

故答案为1.

本题考查了余弦定理和等差数列的性质，属于基本知识的考查.

10．

将方程问题转换为函数与的图象在上有三个不同交点.根据函数图象可以求出答案.

方程在上有3个相异实根，

函数与的图象在上有三个不同交点，

在坐标系中画出函数的图象，由图象可知，在上，函数与有两个不同的交点，在上，函数与有一个交点

联立，整理得，

，即，解得

实数的取值范围为

本题主要考查方程的根与函数图象交点的关系，考查数形结合的思想以及分析问题解决问题的能力.

11．11

构造基本不等式模型，化简整理，应用基本不等式，即可得出答案.

，，，，

，当且仅当时取等号.

.

的最小值等于11.

故答案为11.

本题考查基本不等式的性质与应用，同时考查了整体思想与转化思想的运用.

12．

根据三角函数图像与性质，建立关于，，的方程组，即可求出的值.

方程（）的所有正数解，也就是函数与在第一象限交点的横坐标，

由函数图象与性质可知，在第一象限内，最小的对称轴为，周期

又，，构成等比数列

，解得

点评：

本题综合考查方程的根与两个函数图象交点的关系，三角函数的图象与性质，等比数列的性质，考查转化思想、数形结合思想和分析解决问题的能力．

13．

应用换元法，令，，不等式恒成立，转化为在恒成立，确定关系式，即可求得答案.

函数对称轴，最小值

令，

则恒成立，即在上.

，

在单调递增，

，解得，即实数的取值范围是

本题考查了函数的单调性、最值问题、不等式恒成立问题以及二次函数的图象和性质等知识，考查了复合函数问题求解的换元法。

14．

（1）;

（2）.

（1）根据同角三角函数可得，再根据正弦的两角和公式，即可求得的值.

（2）根据同角三角函数可得，另，再根据正弦的两角差公式，即可求得，然后求出值.

解：

（1）由，，

得，

所以.

（2）因为，所以，

又，则，

所以，

因为，所以.

本题考查两角和与差的三角函数，同角三角函数的基本关系式的应用，考查角的变化技巧以及特殊角的三角函数值．

15．

（1）;

（1）利用等差数列的通项公式及前n项和公式，求出和公差，即可求出数列的通项公式.

（2）求得，运用裂项相消法求和，化简即可得到所求的和.

（1）设等差数列的公差为，其中，

由，得，即，

所以，

故.

（2）由

（1）得，

则，

所以.

本题考查等差数列的通项和前项和公式，考查裂项相消法求数列的和，考查方程思想和运算能力.

裂项相消法是必须掌握的求和方法之一，找到正确的裂项的方向是解题的关键，常见的裂项技巧有：

（1）；

（2）；

（3）

（4）

此外，需注意裂项相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，注意计算结果中项的对称性，即正与负的项数是相同的.

16．

（1）;

（1）根据数量积的定义求出，再根据三角形面积公式求出.

（2）根据余弦定理和正弦定理求出和，再由诱导公式和余弦定理，即可求出的长度.

（1）因为，所以，

即，

又因为，，所以，则，

（2）在中，由余弦定理得：

解得：

在中，由正弦定理得：

，即，

在中，由余弦定理得：

，即.

本题考查数量积的公式，考查正弦定理、余弦定理和三角形面积公式的应用，考查化简和变形能力.

17．

（1）见解析;

（2）当时，四边形材料的面积最小，最小值为.

（1）通过直角三角形的边角关系，得出和，进而得出四边形材料的面积的表达式，再结合已知尺寸条件，确定角的范围.

（2）根据正切的两角差公式和换元法，化简和整理函数表达式，最后由基本不等式，确定面积最小值及对应的点在上的位置.

（1）在直角中，因为，，

在直角中，因为，，

所以，.

（2）因为，

令，由，得，

所以，

当且仅当时，即时等号成立，

此时，，，

答：

当时，四边形材料的面积最小，最小值为.

本题考查三角函数的实际应用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化，注意换元法和基本不等式的合理运用.

换元法求函数的值域，通过引入新变量（辅助式，辅助函数等），把所有分散的已知条件联系起来，将已知条件和要求的结果结合起来，把隐藏在条件中的性质显现出来，或把繁琐的表达式简化，之后就可以利用各种常见的函数的图象和性质或基本不等式来解决问题.常见的换元方法有代数和三角代换两种.要特别注意原函数的自变量与新函数自变量之间的关系.

18．

（1）;

（2）①;

②.

（1）把，代入，求解即可得答案.

（2）①函数是定义在上的奇函数，得，代入原函数求解得的值，判断函数为单调性，由函数的单调性可得的取值范围.

②由，求得函数，代入，化简后得恒成立，令，，参数分离得在时恒成立，由基本不等即可求得的最大值.

（1）因为，，所以，

化简得，解得（舍）或，

（2）因为是奇函数，所以，所以，

化简变形得：

要使上式对任意的成立，则且，

或，因为的定义域是，所以舍去，

所以，，所以.

①

对任意，，有：

因为