线段角的轴对称性知识讲解Word文档格式.docx
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3.线段垂直平分线的性质定理的逆定理:
到线段两个端距离相等的点在线段的垂直平分线上.
要点诠释:
线段的垂直平分线的性质是证明两线段相等的常用方法之一.同时也给出了引辅助线的方法,那就是遇见线段的垂直平分线,画出到线段两个端点的距离,这样就出现相等线段,直接或间接地为构造全等三角形创造条件.
三角形三边垂直平分线交于一点,该点到三角形三顶点的距离相等,这点是三角形外接圆的圆心——外心.
要点二、角的轴对称性
1.角的轴对称性
(1)角是轴对称图形,角的平分线所在的直线是它的对称轴.
(2)角平分线上的点到角两边的距离相等.
(3)角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
(1)用符号语言表示角平分线上的点到角两边的距离相等.
若CD平分∠ADB,点P是CD上一点,且PE⊥AD于点E,PF⊥BD于点F,则PE=PF.
(2)用符号语言表示角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
若PE⊥AD于点E,PF⊥BD于点F,PE=PF,则PD平分∠ADB
2.角平分线的画法
角平分线的尺规作图
(1)以O为圆心,适当长为半径画弧,交OA于D,交OB于E.
(2)分别以D、E为圆心,大于DE的长为半径画弧,两弧在∠AOB内部交于点C.
(3)画射线OC.
射线OC即为所求.
【典型例题】
类型一、线段的轴对称性
1、(2016•天门)如图,在△ABC中,AC的垂直平分线分别交AC、BC于E,D两点,EC=4,△ABC的周长为23,则△ABD的周长为( )
A.13B.15C.17D.19
【思路点拨】根据线段垂直平分线性质得出AD=DC,AE=CE=4,求出AC=8,AB+BC=15,求出△ABD的周长为AB+BC,代入求出即可.
【答案与解析】解:
∵AC的垂直平分线分别交AC、BC于E,D两点,
∴AD=DC,AE=CE=4,
即AC=8,
∵△ABC的周长为23,
∴AB+BC+AC=23,
∴AB+BC=23﹣8=15,
∴△ABD的周长为AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC=15,
故选B.
【总结升华】本题考查了线段垂直平分线性质的应用,能熟记线段垂直平分线性质定理的内容是解此题的关键,注意:
线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等.
举一反三:
【变式】
(2015•黄岛区校级模拟)某旅游景区内有一块三角形绿地ABC,如图所示,现要在道路AB的边缘上建一个休息点M,使它到A,C两个点的距离相等.在图中确定休息点M的位置.
【答案】解:
作线段AC的垂直平分线交AB于M点,则点M即为所求.
2、如图所示,如果将军从马棚M出发,先赶到河OA上的某一位置P,再马上赶到河OB上的某一位置Q,然后立即返回校场N.请为将军重新设计一条路线(即选择点P和Q),使得总路程MP+PQ+QN最短.
【思路点拨】通过轴对称变换,将MP转化为P,QN转化为Q,要使总路程MP+PQ+QN最短,就是指P+PQ+Q最短,而这三条线段在一条直线上的时候最短.
【答案与解析】见下图
作点M关于OA的对称点,作点N关于OB的对称点,连接交OA于P、交OB于Q,则M→P→Q→N为最短路线.
【总结升华】本题主要是通过作对称点的方法得出结论,并利用了对称线段相等,三角形两边之和大于第三边的性质推得所作的图形符合条件,这是道综合性的应用问题.
【变式】如图所示,将军希望从马棚M出发,先赶到河OA上的某一位置P,再马上赶到河OB上的某一位置Q.请为将军设计一条路线(即选择点P和Q),使得总路程MP+PQ最短.
【答案】作点M关于OA的对称点,过作OB的垂线交OA于P、交OB于Q,侧M→P→Q为最短路线.如图:
类型二、角的轴对称性
3、如图,△ABC中,∠C=90,AC=BC,AD平分∠CAB,交BC于D,DE⊥AB于E,且AB=6,则△DEB的周长为()
A.4B.6C.10D.以上都不对
【答案】B;
【解析】由角平分线的性质,DC=DE,△DEB的周长=BD+DE+BE=BD+DC+BE=AC+BE=AE+BE=AB=6.
【总结升华】将△DEB的周长用相等的线段代换是关键.
【变式】已知:
如图,AD是△ABC的角平分线,且,则△ABD与△ACD的面积之比为( )
A.3:
2B.C.2:
3D.
提示:
∵AD是△ABC的角平分线,∴点D到AB的距离等于点D到AC的距离,又∵,则△ABD与△ACD的面积之比为.
4、如图,OC是∠AOB的角平分线,P是OC上一点,PD⊥OA交于点D,PE⊥OB交于点E,F是OC上除点P、O外一点,连接DF、EF,则DF与EF的关系如何?
证明你的结论.
【思路点拨】利用角平分线的性质证明PD=PE,再根据“HL”定理证明△OPD≌△OPE,从而得到∠OPD=∠OPE,∠DPF=∠EPF.再证明△DPF≌△EPF,得到结论.
【答案与解析】
解:
DF=EF.
理由如下:
∵OC是∠AOB的角平分线,P是OC上一点,PD⊥OA交于点D,PE⊥OB交于点E,
∴PD=PE,
由HL定理易证△OPD≌△OPE,
∴∠OPD=∠OPE,∴∠DPF=∠EPF.
在△DPF与△EPF中,
,
∴△DPF≌△EPF,
∴DF=EF.
【总结升华】此题综合运用了角平分线的性质、全等三角形的判定及性质.由角平分线的性质得到线段相等,是证明三角形全等的关键.
5、(2015春•启东市校级月考)如图,已知BD为∠ABC的平分线,AB=BC,点P在BD上,PM⊥AD于M,PN⊥CD于N,求证:
PM=PN.
【思路点拨】根据角平分线的定义可得∠ABD=∠CBD,然后利用“边角边”证明△ABD和△CBD全等,根据全等三角形对应角相等可得∠ADB=∠CDB,然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等证明即可.
证明:
∵BD为∠ABC的平分线,
∴∠ABD=∠CBD,
在△ABD和△CBD中,
∴△ABD≌△CBD(SAS),
∴∠ADB=∠CDB,
∵点P在BD上,PM⊥AD,PN⊥CD,
∴PM=PN.
【总结升华】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质,全等三角形的判定与性质,确定出全等三角形并得到∠ADB=∠CDB是解题的关键.
【变式】如图,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB,交AB的延长线于点E,DF⊥AC于点F,且DB=DC.求证:
BE=CF.
【答案】
∵DE⊥AE,DF⊥AC,AD是∠BAC的平分线,
∴DE=DF,∠BED=∠DFC=90°
在Rt△BDE与Rt△CDF中,
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)
∴BE=CF