线段角的轴对称性知识讲解Word文档格式.docx

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3.线段垂直平分线的性质定理的逆定理：

到线段两个端距离相等的点在线段的垂直平分线上．

要点诠释：

线段的垂直平分线的性质是证明两线段相等的常用方法之一.同时也给出了引辅助线的方法，那就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件.

三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心.

要点二、角的轴对称性

1.角的轴对称性

（1）角是轴对称图形，角的平分线所在的直线是它的对称轴.

（2）角平分线上的点到角两边的距离相等.

（3）角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.

（1）用符号语言表示角平分线上的点到角两边的距离相等.

若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF.

（2）用符号语言表示角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.

若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB

2.角平分线的画法

角平分线的尺规作图

（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E.

（2）分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C.

　　（3）画射线OC.

射线OC即为所求.

【典型例题】

类型一、线段的轴对称性

1、（2016•天门）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、BC于E，D两点，EC=4，△ABC的周长为23，则△ABD的周长为（　　）

A．13B．15C．17D．19

【思路点拨】根据线段垂直平分线性质得出AD=DC，AE=CE=4，求出AC=8，AB+BC=15，求出△ABD的周长为AB+BC，代入求出即可．

【答案与解析】解：

∵AC的垂直平分线分别交AC、BC于E，D两点，

∴AD=DC，AE=CE=4，

即AC=8，

∵△ABC的周长为23，

∴AB+BC+AC=23，

∴AB+BC=23﹣8=15，

∴△ABD的周长为AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC=15，

故选B．

【总结升华】本题考查了线段垂直平分线性质的应用，能熟记线段垂直平分线性质定理的内容是解此题的关键，注意：

线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．

举一反三：

【变式】

（2015•黄岛区校级模拟）某旅游景区内有一块三角形绿地ABC，如图所示，现要在道路AB的边缘上建一个休息点M，使它到A，C两个点的距离相等．在图中确定休息点M的位置．

【答案】解：

作线段AC的垂直平分线交AB于M点，则点M即为所求．

2、如图所示，如果将军从马棚M出发，先赶到河OA上的某一位置P，再马上赶到河OB上的某一位置Q，然后立即返回校场N．请为将军重新设计一条路线（即选择点P和Q），使得总路程MP＋PQ＋QN最短．

【思路点拨】通过轴对称变换，将MP转化为P，QN转化为Q，要使总路程MP＋PQ＋QN最短，就是指P＋PQ＋Q最短，而这三条线段在一条直线上的时候最短.

【答案与解析】见下图

作点M关于OA的对称点，作点N关于OB的对称点，连接交OA于P、交OB于Q，则M→P→Q→N为最短路线．

【总结升华】本题主要是通过作对称点的方法得出结论，并利用了对称线段相等，三角形两边之和大于第三边的性质推得所作的图形符合条件，这是道综合性的应用问题.

【变式】如图所示，将军希望从马棚M出发，先赶到河OA上的某一位置P，再马上赶到河OB上的某一位置Q．请为将军设计一条路线（即选择点P和Q），使得总路程MP＋PQ最短．

【答案】作点M关于OA的对称点，过作OB的垂线交OA于P、交OB于Q，侧M→P→Q为最短路线．如图：

类型二、角的轴对称性

3、如图,△ABC中,∠C＝90,AC＝BC,AD平分∠CAB,交BC于D,DE⊥AB于E,且AB＝6,则△DEB的周长为（）

A.4B.6C.10D.以上都不对

【答案】B；

【解析】由角平分线的性质，DC＝DE，△DEB的周长＝BD＋DE＋BE＝BD＋DC＋BE＝AC＋BE＝AE＋BE＝AB＝6.

【总结升华】将△DEB的周长用相等的线段代换是关键.

【变式】已知：

如图，AD是△ABC的角平分线，且，则△ABD与△ACD的面积之比为（　）

A．3：

2B．C．2：

3D.

提示：

∵AD是△ABC的角平分线，∴点D到AB的距离等于点D到AC的距离，又∵，则△ABD与△ACD的面积之比为．

4、如图，OC是∠AOB的角平分线，P是OC上一点，PD⊥OA交于点D，PE⊥OB交于点E，F是OC上除点P、O外一点，连接DF、EF，则DF与EF的关系如何？

证明你的结论．

【思路点拨】利用角平分线的性质证明PD＝PE，再根据“HL”定理证明△OPD≌△OPE，从而得到∠OPD＝∠OPE，∠DPF＝∠EPF．再证明△DPF≌△EPF，得到结论.

【答案与解析】

解：

DF＝EF．

理由如下：

∵OC是∠AOB的角平分线，P是OC上一点，PD⊥OA交于点D，PE⊥OB交于点E，

∴PD＝PE，

由HL定理易证△OPD≌△OPE，

∴∠OPD＝∠OPE，∴∠DPF＝∠EPF．

在△DPF与△EPF中，

，

∴△DPF≌△EPF，

∴DF＝EF.

【总结升华】此题综合运用了角平分线的性质、全等三角形的判定及性质．由角平分线的性质得到线段相等，是证明三角形全等的关键.

5、（2015春•启东市校级月考）如图，已知BD为∠ABC的平分线，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD于M，PN⊥CD于N，求证：

PM=PN．

【思路点拨】根据角平分线的定义可得∠ABD=∠CBD，然后利用“边角边”证明△ABD和△CBD全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ADB=∠CDB，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等证明即可．

证明：

∵BD为∠ABC的平分线，

∴∠ABD=∠CBD，

在△ABD和△CBD中，

∴△ABD≌△CBD（SAS），

∴∠ADB=∠CDB，

∵点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，

∴PM=PN．

【总结升华】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，确定出全等三角形并得到∠ADB=∠CDB是解题的关键．

【变式】如图，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，交AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB＝DC.求证：

BE＝CF.

【答案】

∵DE⊥AE，DF⊥AC，AD是∠BAC的平分线，

∴DE＝DF，∠BED＝∠DFC＝90°

在Rt△BDE与Rt△CDF中，

∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）

∴BE＝CF