离散控制系统Word格式文档下载.docx
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在分析离散控制系统时，假定输入到计算机和从计算机输出的每一个数字量之间的时间间隔为，称为采样时间，为采样频率，单位为Hz。
所以在图8－2中，偏差信号
（8－1）
为离散信号，该信号实际上是由二进制表示的数字信号，通常为8位、10位、12位或者16位数字信号。
若数字信号的位数为，则其最小单位为
（8－2）
称为量化单位。
可以看出量化会带来一定的误差，越小，量化误差越小。
在分析离散系统的特性时，通常忽略量化误差。
图8－3是模拟信号经过采样后变换成离散的数字信号的过程，经过采样后，离散信号只在时刻上有意义，而在其余时刻无意义。
计算机的输出信号通过D/A变换，变成模拟信号。
D/A变换首先将计算机中的数字信号变成模拟电压值，然后在每个采样间隔内保持输出信号的值。
D/A转换通常采用零阶保持器，它将采样时刻时的电压或电流值保持到下一个采样时刻到来之前。
若经零阶保持器保持之后，D/A转换器输出的模拟信号记为，则有
（8－3）
图8－4为零阶保持器的输出特性，可以看出每个采样时刻的离散信号经过零阶保持器都保持到下一个采样时刻到来之前，保持时间为一个采样周期，为阶梯信号。
从零阶保持器的特性可以得出，其单位冲激响应为幅值为1，宽度为的矩形脉冲，表示为
（8－4）
对取拉氏变换，可得零阶保持器的传递函数为
（8－5）
由采样定理可知，若信号的频率分量中最大频率为，则采样频率，才能保证信号不失真的进行A/D和D/A转换。
在控制系统中，通常要求采样频率为系统闭环带宽的20倍或20倍以上。
8．3z变换
8．3．1z变换
在分析线性连续系统时，使用了拉普拉斯变换，对离散信号
进行拉氏变换，得到
（8－6）
令，得到
（8－7）
称为离散时间函数——脉冲序列的z变换，记为
（8－8）
可以看出，z变换是的离散信号进行拉氏变换的一种表示方法。
常用的变换方法有级数求和法和部分分式法。
1.级数求和法
根据变换的定义，将连续信号按周期进行采样，将采样点处的值代入式（8－7），可得
再求出上式的闭合形式，即可求得。
例8-1对连续时间函数
按周期进行采样，可得
试求。
解
按（8-7）变换的定义
若，则无穷级数是收敛的，利用等比级数求和公式，可得闭合形式为
2.部分分式法（查表法）
已知连续信号的拉氏变换，将展开成部分分式之和
且每一个部分分式都是变换表中所对应的标准函数，其变换即可查表得出
例8-2已知连续函数的拉氏变换为
试求相应的变换。
将展成部分分式：
对上式逐项查变换表，可得
常用函数的变换表见附录A表A-2。
由表可见，这些函数的变换都是的有理分式。
8．3．2z变换的基本定理
应用变换的基本定理，可以使变换的应用变得简单方便，下面介绍常用的几种变换定理。
3.线性定理
若,,,为常数，则
（8－9）
上式表明，变换是一种线性变换，其变换过程满足齐次性与均匀性。
4.实数位移定理
实数位移是指整个采样序列在时间轴上左右平移若干采样周期，其中向左平移为超前，向右平移为滞后。
实数位移定理表示如下：
如果函数是可z变换的，其变换为，则有滞后定理
（8－10）
以及超前定理
（8－11）
其中为正整数。
显然可见，算子有明确的物理意义：
代表时域中的延迟算子，它将采样信号滞后个采样周期；
同理，代表超前环节，它把采样信号超前个采样周期。
实数位移定理的作用相当于拉氏变换中的微分或积分定理。
应用实数位移定理，可将描述离散系统的差分方程转换为域的代数方程。
例8-3试用实数位移定理计算滞后函数的变换。
由式（8－10）
5.复数位移定理
如果函数是可变换的，其变换为，则有
（8－12）
例8-4试用复数位移定理计算函数的变换。
令，查表可得
根据复数位移定理（8－12），有
6.终值定理
如果信号e（t）的z变换为E（z），信号序列e（nT）为有限值（n＝o，1，2，…），且极限
存在，则信号序列的终值
（8－13）
例8-5设变换函数为
试利用终值定理确定的终值。
由终值定理（8－13）得
7.卷积定理
设和（），为两个采样信号序列，其离散卷积定义为
（8－14）
则卷积定理可描述为：
在时域中，若
（8－15）
则在z域中必有
（8－16）
在离散系统分析中，卷积定理是沟通时域与域的桥梁。
利用卷积定理可建立离散系统的脉冲传递函数。
应当注意，变换只反映信号在采样点上的信息，而不能描述采样点间信号的状态。
因此变换与采样序列对应，而不对应唯一的连续信号。
不论什么连续信号，只要采样序列一样，其变换就一样。
8．3．3z反变换
已知变换表达式，求相应离散序列的过程,称为反变换，记为
（8－17）
当时，，信号序列是单边的，对单边序列常用的反变换法有部分分式法，幂级数法和反演积分法。
8.部分分式法（查表法）
部分分式法又称查表法，根据已知的，通过查变换表找出相应的，或者。
考虑到变换表中，所有变换函数在其分子上都有因子，所以，通常先将展成部分分式之和，然后将分母中的乘到各分式中，再逐项查表反变换。
例8-6设为
试用部分分式法求。
首先将展开成部分分式，即
把部分分式中的每一项乘上因子后，得
查z变换表得
，
最后可得
9.幂级数法
变换函数的无穷项级数形式具有鲜明的物理意义。
变量的系数代表连续时间函数在时刻上的采样值。
若是一个有理分式，则可以直接通过长除法，得到一个无穷项幂级数的展开式。
根据的系数便可以得出时间序列的值。
例8-7设为
试用长除法求或。
应用长除法，用分母去除分子，即
可写成
所以
长除法以序列的形式给出的数值，但不容易得出的封闭表达形式。
10.反演积分法（留数法）
反演积分法又称留数法。
在实际问题中遇到的变换函数，除了有理分式外，也可能是超越函数，此时无法应用部分分式法及幂级数法来求反变换，只能采用反演积分法。
当然，反演积分法对为有理分式的情形也适用。
的幂级数展开形式为
（8－18）
设函数除有限个极点,,…外，在z域上是解析的，则有反演积分公式
（8－19）
式中表示函数在极点处的留数，留数计算方法如下：
若（）为单极点，则
（8－20）
若为阶重极点，则
例8-8设为
试用反演积分法求。
根据式（8－19），有
例8-9设变换函数
试用留数法求其反变换。
解
因为函数
有是单极点，是2阶重极点，极点处留数
所以
相应的采样函数
8．4脉冲传递函数
8．4．1脉冲传递函数定义
设离散系统如图8－5所示，如果系统的输入信号为，采样信号的变换函数为，系统连续部分的输出为，采样信号的变换函数为，则线性定常离散系统的脉冲传递函数定义为：
在零初始条件下，系统输出采样信号的变换与输入采样信号的变换之比，记作
（8－21）
所谓零初始条件，是指在时，输入脉冲序列各采样值以及输出脉冲序列各采样值均为零。
式（8－31）表明，如果已知和，则在零初始条件下，线性定常离散系统的输出采样信号为
输出是连续信号的情况下，如图8－6所示。
可以在系统输出端虚设一个开关，如图中虚线所示，它与输入采样开关同步工作，具有相同的采样周期。
如果系统的实际输出比较平滑，且采样频率较高，则可用近似描述。
必须指出，虚设的采样开关是不存在的，它只表明了脉冲传递函数所能描述的只是输出连续函数在采样时刻的离散值。
8．4．2串联环节的脉冲传递函数
离散系统中，计算串联环节的脉冲传递函数需要考虑环节之间有无采样开关。
11.串联环节之间有采样开关
如图8－7所示，当串联环节和之间有采样开关时，由脉冲传递函数定义可知
其中，和分别为和的脉冲传递函数。
则
可以得到串联环节的脉冲传递函数为
（8－22）
上式标明，当串联环节之间有采样开关时，脉冲传递函数等于两个环节脉冲传递函数的乘积。
同理可知，n个串联环节间都有采样开关时，脉冲传递函数等于各环节脉冲传递函数的乘积。
12.串联环节之间无采样开关
如图8－8所示，当串联环节和之间没有理想采样开关时，系统的传递函数为
由脉冲传递函数定义可知
（8－23）
上式表明，当串联环节之间没有采样开关时，脉冲传递函数等于两个环节的连续传递函数乘积的z变换。
同理可知，n个串联环节间都没有采样开关时，脉冲传递函数等于各环节的连续传递函数乘积的z变换。
显然，，从上面的分析我们可以得出结论：
在串联环节之间有无采样开关，脉冲传递函数是不相同的。
例8－10设开环离散系统如图8－7、图8－8所示，，输入信号，试求两种系统的脉冲传递函数和输出的变换。
输入的变换为
对如图8－7系统
有
对如图8－8系统
显然，在串联环节之间有无采样开关时，其总的脉冲传递函数和输出z变换是不相同的。
但是，不同之处仅表现在其开环零点不同，极点仍然一样。
13.环节与零阶保持器串联
如图8－9所示，当环节与零阶保持器串联时，串联环节的连续传递函数为
令，则有
的单位冲激响应为
对上式做z变换可得环节与零阶保持器串联时的脉冲传递函数为
即
（8－24）
例8－11设离散系统如图8－10所示，已知
试求系统的脉冲传递函数。
因为
得
所以系统脉冲传递函数为
可以看出，零阶保持器不改变开环脉冲传递函数的阶数也不影响开环脉冲传递函数的极点，只影响开环零点。
8．5线性离散系统的脉冲传递函数
图8－11为一个典型的线性离散系统框图
由脉冲传递函数的定义及开环脉冲传递函数的求法，对图8－11可建立方程组如下：
解上面联立方程，可得该闭环离散系统脉冲传递函数
（8－25）
闭环离散系统的误差脉冲传递函数
（8－26）
令或的分母多项式为零，便可得
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