高中数学同步练习题合集附答案分析导数的概念及运算文档格式.docx

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∴切线方程为：

y＋1＝2（x＋1），即y＝2x＋1.

（理）（2012·

烟台调研）设曲线y＝在点（3,2）处的切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，则a等于（　　）

A．2B．－2

C．－D.

[解析]　∵f′（x）＝＝－，

∴f′（3）＝－，由条件知，－×

（－a）＝－1，

∴a＝－2.

3．二次函数y＝f（x）的图象过原点，且它的导函数y＝f′（x）的图象是过第一、二、三象限的一条直线，则函数y＝f（x）的图象的顶点在（　　）

A．第一象限B．第二象限

C．第三象限D．第四象限

[解析]　由题意可设f（x）＝ax2＋bx，f′（x）＝2ax＋b，由于f′（x）图象是过第一、二、三象限的一条直线，故2a>

0，b>

0，则f（x）＝a（x＋）2－，顶点（－，－）在第三象限，故选C.

4．（文）若函数f（x）＝ax4＋bx2＋c满足f′

（1）＝2，则f′（－1）＝（　　）

A．－1B．－2

C．2D．0

[解析]　f′（x）＝4ax3＋2bx，f′（－1）＝－4a－2b＝－（4a＋2b），f′

（1）＝4a＋2b，

∴f′（－1）＝－f′

（1）＝－2，故选B.

[点评]　要善于观察，由f′（x）＝4ax3＋2bx知，f′（x）为奇函数，∴f′（－1）＝－f′

（1）＝－2.

（理）已知函数y＝f（x）的图象在点（1，f

（1））处的切线方程是x－2y＋1＝0，则f

（1）＋2f′

（1）的值是（　　）

A.　　　B．1　　　　C.　　　D．2

[答案]　D

[解析]　由条件知，y＝f（x）在点（1，f

（1））处切线的斜率f′

（1）＝，又点（1，f

（1））在切线x－2y＋1＝0上，

∴f

（1）＝1，∴f

（1）＋2f′

（1）＝1＋2×

＝2.

5．（文）若函数f（x）＝exsinx，则此函数图象在点（4，f（4））处的切线的倾斜角为（　　）

A.B．0

C．钝角D．锐角

[解析]　y′|x＝4＝（exsinx＋excosx）|x＝4＝e4（sin4＋cos4）＝e4sin（4＋）<

0，故倾斜角为钝角，选C.

（理）已知f（x）＝logax（a>

1）的导函数是f′（x），记A＝f′（a），B＝f（a＋1）－f（a），C＝f′（a＋1），则（　　）

A．A>

B>

CB．A>

C>

B

C．B>

A>

CD．C>

A

[解析]　记M（a，f（a）），N（a＋1，f（a＋1）），则由于B＝f（a＋1）－f（a）＝，表示直线MN的斜率，A＝f′（a）表示函数f（x）＝logax在点M处的切线斜率；

C＝f′（a＋1）表示函数f（x）＝logax在点N处的切线斜率．所以，A>

C.

6．（文）已知函数f（x）＝kcosx的图象经过点P，则函数图象上过点P的切线斜率等于（　　）

A．1B.

C．－D．－1

[解析]　f＝kcos＝1⇒k＝2，f′（x）＝－ksinx，

∴点P处切线斜率为k′＝f′＝－2sin＝－.

（理）设函数f（x）＝sin－1（ω>

0）的导函数f′（x）的最大值为3，则f（x）图象的一条对称轴方程是（　　）

A．x＝B．x＝

C．x＝D．x＝

[解析]　f′（x）＝ωcos的最大值为3，

即ω＝3，

∴f（x）＝sin－1.

由3x＋＝＋kπ得，x＝＋　（k∈Z）．

故A正确．

7．设曲线y＝ax2在点（1，a）处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a＝________.

[答案]　1

[解析]　由y′|x＝1＝2a＝2得a＝1.

8．（2012·

苏州十校联考）已知函数f（x）＝f′（）sinx＋cosx，则f（）＝________.

[答案]　0

[解析]　由条件知，f′（x）＝f′（）cosx－sinx.

∴f′（）＝－1，∴f（x）＝－sinx＋cosx，

∴f（）＝0.

9．（2011·

宁波市期末）对正整数n，设曲线y＝xn（1－x）在x＝2处的切线与y轴交点的纵坐标为an，则数列的前n项和是________．

[答案]　2n＋1－2

[解析]　∵y＝xn（1－x），∴y′＝（xn）′（1－x）＋（1－x）′·

xn＝n·

xn－1（1－x）－xn.

f′

（2）＝－n·

2n－1－2n＝（－n－2）·

2n－1.

在点x＝2处点的纵坐标为y＝－2n.

∴切线方程为y＋2n＝（－n－2）·

2n－1（x－2）．

令x＝0得，y＝（n＋1）·

2n，

∴an＝（n＋1）·

∴数列的前n项和为＝2n＋1－2.

10．（文）已知曲线y＝x3＋.

（1）求曲线在点P（2,4）处的切线方程；

（2）求曲线过点P（2,4）的切线方程．

[解析]　y＝x3＋，则y′＝x2.

（1）由题意可知点P（2,4）为切点，

y′|x＝2＝22＝4，

所以曲线在点P（2,4）处的切线方程为y－4＝4（x－2），即4x－y－4＝0.

（2）由题意可知点P（2,4）不一定为切点，故设切点为（x0，x＋），

y′|x＝x0＝x，

曲线过点P（2,4）的切线方程为y－（x＋）＝x（x－x0），

所以4－（x＋）＝x（2－x0），

x－3x＋4＝0⇔（x＋1）－3（x－1）＝0⇔（x0＋1）（x－4x0＋4）＝0.

解得x0＝－1或x0＝2，

即切点为（－1,1）或（2,4）．

所以曲线过点P（2,4）的切线方程为x－y＋2＝0或4x－y－4＝0.

（理）设函数f（x）＝ax＋的图象在点M（，f（））处的切线方程为2x－3y＋2＝0.

（1）求f（x）的解析式；

（2）求函数f（x）的单调递减区间；

（3）证明曲线y＝f（x）上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．

[解析]　

（1）因为切点在切线上，

所以将点M坐标代入切线方程解得f（）＝.

∵f（x）＝ax＋，∴f′（x）＝a－，

根据题意，得关于a、b的方程组

解得

所以f（x）的解析式为f（x）＝x＋.

（2）由f′（x）＝1－（x≠0），

令f′（x）<

0，解得－1<

x<

0或0<

1.

所以f（x）的单调递减区间为（－1,0），（0,1）．

（3）证明：

设P（x0，y0）为曲线上任一点，

由y′＝1－知曲线在点P（x0，y0）处的切线方程为

y－y0＝（1－）（x－x0），

即y－（x0＋）＝（1－）（x－x0）．

令x＝0，得y＝，从而得切线与直线x＝0的交点坐标为（0，）．

令y＝x，得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为（2x0,2x0）．

所以点P（x0，y0）处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为|2x0|＝2.

能力拓展提升

11.（文）函数f（x）＝xcosx的导函数f′（x）在区间[－π，π]上的图象大致为（　　）

[解析]　∵f（x）＝xcosx，

∴f′（x）＝cosx－xsinx，

∴f′（－x）＝f′（x），∴f′（x）为偶函数，排除C；

∵f′（0）＝1，排除D；

由f′＝－<

0，f′（2π）＝1>

0，排除B，故选A.

（理）函数f（x）＝e2x的图象上的点到直线2x－y－4＝0的距离的最小值是（　　）

A.B.

C.D.

[解析]　设l为与直线2x－y－4＝0平行的函数f（x）＝e2x的图象的切线，切点为（x0，y0），则kl＝f′（x0）＝2e2x0＝2，∴x0＝0，y0＝1，∴切点（0,1）到直线2x－y－4＝0的距离d＝＝即为所求．

12．（文）已知函数f（x）＝xp＋qx＋r，f

（1）＝6，f′

（1）＝5，f′（0）＝3，an＝，n∈N＋，则数列{an}的前n项和是（　　）

[解析]　∵f′（x）＝pxp－1＋q，由条件知

∴

∴f（x）＝x2＋3x＋2.

∴an＝＝＝

＝－

∴{an}的前n项和为

Sn＝a1＋a2＋…＋an＝＋＋…＋＝－＝.

（理）定义方程f（x）＝f′（x）的实数根x0叫做函数f（x）的“新驻点”，若函数g（x）＝x，h（x）＝ln（x＋1），φ（x）＝x3－1的“新驻点”分别为α、β、γ，则α、β、γ的大小关系为（　　）

A．α>

β>

γB．β>

α>

γ

C．γ>

βD．β>

γ>

α

[解析]　由g（x）＝g′（x）得，x＝1，∴α＝1，由h（x）＝h′（x）得，ln（x＋1）＝，故知1<

x＋1<

2，∴0<

1，即0<

β<

1，

由φ（x）＝φ′（x）得，x3－1＝3x2，∴x2（x－3）＝1，

∴x>

3，故γ>

3，∴γ>

β.

[点评]　对于ln（x＋1）＝，假如0<

1，则ln（x＋1）<

0，>

1矛盾；

假如x＋1≥2，则≤，即ln（x＋1）≤，∴x＋1≤，∴x≤－1与x≥1矛盾．

13．（2013·

武汉市部分学校12月联考）设a为实数，函数f（x）＝x3＋ax2＋（a－3）x的导函数为f′（x），且f′（x）是偶函数，则曲线y＝f（x）在原点处的切线方程为（　　）

A．y＝3x＋1B．y＝－3x

C．y＝－3x＋1D．y＝3x－3

[解析]　∵f′（x）＝3x2＋2ax＋a－3为偶函数，∴a＝0，

∴f（x）＝x3－3x，f′（0）＝－3，

∴所求切线方程为y＝－3x.

14．（文）（2012·

唐山二模）已知二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c的导数为f′（x），f′（0）>

0，对于任意实数x，都有f（x）≥0，则的最小值为________．

[答案]　2

[解析]　f′（x）＝2ax＋b，由条件f′（0）>

0得b>

0，

又对任意x∈R都有f（x）≥0，∴

∴b≤2.

∴＝＝＋1≥＋1≥2等号在

即b＝2a＝2c时成立．

∴的最小值为2.

（理）设函数f（x）＝cos（x＋φ）（0<

φ<

π），若f（x）＋f′（x）为奇函数，则φ＝________.

[答案]　

[解析]　f′（x）＝－sin（x＋φ），

由条件知cos（x＋φ）－sin（x＋φ）

＝2sin＝－2sin为奇函数，且0<

π，∴φ＝.

15．求下列函数的导数：

（1）y＝x5－x3＋3x2＋；

（2）y＝（3x3－4x）（2x＋1）；

（3）y＝3xex－2x＋e；

（4）y＝；

（5）y＝xcosx－sinx；

（6）（理）y＝cos32x＋ex；

（7