河北河北衡水中学高考数学高考数学压轴题 立体几何多选题分类精编含答案Word文档格式.docx

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D与CE所成的角，利用余弦定理计算即可判定B;

利用勾股定理检验可以否定C;

先证明底面的外接圆的圆心为N,在利用外接球的球心的性质进行得到四棱锥A'

-BCED的外接球的球心为O,则ON⊥平面BCED,且OA'

=OC,经过计算求解可得半径从而判定D.

【详解】

如图所示，作AM⊥DE，交DE于M,延长AM交BC于N,连接A'

N.

则A'

M⊥DE,MN⊥DE,,

∵∩MN=M,∴CD⊥平面A'

MN,

又∵CD⊂平面ABDC,∴平面A'

MN⊥平面ABDC,

在平面A'

MN中作A'

H⊥MN,则A'

H⊥平面BCED,

∵二面角A'

，∴∠A'

EF=60°

，

∵正三角形ABC中，AB=8,∴AN=,∴A'

M=2,∴A'

H=A'

Msin60°

=3，故A正确；

连接DN,易得DN‖EC,DN=EC=4,

∠A'

D与CE所成的角，

DN=DA'

=4,A'

N=A'

M=2,

cos∠A'

DN=,故B正确；

A'

D=DB=4,A'

B=,

∴,∴A'

D与BD不垂直，故C错误’

易得NB=NC=ND=NG=4，∴N为底面梯形BCED的外接圆的圆心，

设四棱锥A'

=OC,

若O在平面BCED上方，入图①所示：

设ON=x,外接球的半径为R,过O作A'

H的垂线，垂足为P,

则HP=x,易得,解得,舍去；

故O在平面BCED下方，如图②所示：

则HP=x,易得,解得,

∴,,故D正确.

故选:

ABD.

【点睛】

本题考查立体几何中的折叠问题，涉及二面角问题，异面直线所成的角，用到线面、面面垂直的判定与性质及外接球的球心的性质和有关计算，余弦定理等，属综合性较强的题目，关键是利用线面垂直，面面垂直的判定和性质进行空间关系和结构的判定，注意球心在四棱锥的底面上方和下方的讨论与验证.

2．如图，直三棱柱，为等腰直角三角形，，且，，分别是，的中点，D，M分别是，上的两个动点，则（）

A．FM与BD一定是异面直线

B．三棱锥的体积为定值

C．直线与所成角为

D．若D为中点，则四棱锥的外接球体积为

【答案】CD

A当特殊情况与B重合有FM与BD相交且共面；

B根据线面垂直、面面垂直判定可证面面，可知、D到面的距离，可求；

C根据线面垂直的判定及性质即可确定与所成角；

D由面面垂直、勾股、矩形性质等确定外接球半径，进而求体积，即可判断各项的正误.

A：

当与B重合时，FM与BD相交且共面，错误；

B：

由题意知：

，且，则面，又面，面面，所以面面，又，D到面的距离为，所以，错误；

C：

由，，，所以面，又，即面，而面，则，正确；

D：

由B中，面面，即面面，则D到面的距离为，又D为中点，若交点为O，为中点，连接，则，故，由矩形的性质知：

令四棱锥的外接球半径为R，则，所以四棱锥的外接球体积为，正确.

故选：

CD.

关键点点睛：

利用线面、面面关系确定几何体的高，结合棱锥体积公式求体积，根据线面垂直、勾股定理及矩形性质确定外接球半径，结合球体体积公式求体积.

3．在长方体中，，，点在线段上，为的中点，则（）

A．平面

B．当为的中点时，四棱锥外接球半径为

C．三棱锥体积为定值

D．过点作长方体的外接球截面，所得截面圆的面积的最小值为

【答案】ACD

利用线面垂直的判定定理可判断A选项的正误；

判断出四棱锥为正四棱锥，求出该四棱锥的外接球半径，可判断B选项的正误；

利用等体积法可判断C选项的正误；

计算出截面圆半径的最小值，求出截面圆面积的最小值，可判断D选项的正误.

对于A选项，因为，所以，矩形为正方形，所以，，

在长方体中，底面，平面，，

，、平面，所以，平面，A选项正确；

对于B选项，当点为的中点时，，

同理可得，

因为四边形为正方形，所以，四棱锥为正四棱锥，

取的中点，则平面，且四棱锥的外接球球心在直线上，

设该四棱锥的外接球半径为，由几何关系可得，

即，解得，B选项错误；

对于C选项，，

三棱锥的高为，因此，，C选项正确；

对于D选项，设长方体的外接球球心为，则为的中点，

连接、，则，，

、分别为、的中点，则，

平面，平面，

平面，，.

过点作长方体的外接球截面为平面，点到平面的距离为，

直线与平面所成的角为，则，

当且仅当时，等号成立，

长方体的外接球半径为，

所以，截面圆的半径，

因此，截面圆面积的最小值为，D选项正确.

ACD.

方法点睛：

求空间多面体的外接球半径的常用方法：

①补形法：

侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；

②利用球的性质：

几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径；

③定义法：

到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可.

4．在直角梯形ABCD中，，，，E为DC中点，现将沿AE折起，得到一个四棱锥，则下列命题正确的有（）

A．在沿AE折起的过程中，四棱锥体积的最大值为

B．在沿AE折起的过程中，异面直线AD与BC所成的角恒为

C．在沿AE折起的过程中，二面角的大小为

D．在四棱锥中，当D在EC上的射影恰好为EC的中点F时，DB与平面ABCE所成的角的正切为

对于A，四棱锥的底面面积是固定值，要使得体积最大，需要平面平面，此时，可求得可判断A；

对于B，在沿AE折起的过程中，，所以异面直线AD与AE所成的角即为AD与BC所成角，由翻折前可知可判断B；

对于C，利用线面垂直的判定定理，结合翻折前可知平面，又平面，所以平面平面，即二面角的在大小为判断C；

对于D，利用线面垂直的判定定理可知平面，所以为直线DB与平面ABCE所成的角，在直角中，，可判断D正确；

对于A，沿AE折起得到四棱锥，由四棱锥底面面积是固定值，要使得体积最大，需要四棱锥的高最大，即平面平面，此时，由已知得，则，故A正确；

对于B，在沿AE折起的过程中，，所以异面直线AD与AE所成的角即为AD与BC所成角，又，，E为DC中点，可知，即异面直线AD与BC所成的角恒为，故B正确；

对于C，由翻折前知，，且，则平面，又平面，所以平面平面，即二面角的大小为，故C错误；

对于D，如图连接，由C选项知，平面，又平面，则，又由已知得，且，则平面，所以为直线DB与平面ABCE所成的角，在直角中，，所以DB与平面ABCE所成的角的正切为，故D正确；

ABD

关键点睛：

本题考查立体几何综合问题，求体积，求线线角，线面角，面面角，解题的关键要熟悉几种角的定义，通过平移法找到线线角，通过证垂直找到线面角和面面角，再结合三角形求出角，考查了学生的逻辑推理能力，转化能力与运算求解能力，属于难题.

5．（多选题）在四面体中，以上说法正确的有（）

A．若，则可知

B．若为△的重心，则

C．若，，则

D．若四面体各棱长都为2，分别为的中点，则

【答案】ABC

作出四面体直观图，在每个三角形中利用向量的线性运算可得.

对于，，，，，即，故正确；

对于，为△的重心，则，,

即，故正确；

对于，若，，则，

，，故正确；

对于，

，故错误.

ABC

用已知向量表示某一向量的三个关键点

（1）用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．

（2）要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量．

（3）在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立．

6．如图四棱锥，平面平面，侧面是边长为的正三角形，底面为矩形，，点是的中点，则下列结论正确的是（）

B．与平面所成角的余弦值为

C．三棱锥的体积为

D．四棱锥外接球的内接正四面体的表面积为

【答案】BD

取的中点，的中点，连接，则由已知可得平面，而底面为矩形，所以以为坐标原点，分别以所在的直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量依次求解即可.

解：

取的中点，的中点，连接，

因为三角形为等边三角形，所以,

因为平面平面，所以平面，

因为，所以两两垂直，

所以，如下图，以为坐标原点，分别以所在的直线为轴，轴，轴，

建立空间直角坐标系，则，

因为点是的中点，所以，

平面的一个法向量为，

，显然与不共线，

所以与平面不垂直，所以A不正确；

设平面的法向量为，则

令，则，

所以，

设与平面所成角为，

则，

所以，所以B正确；

三棱锥的体积为

所以C不正确；

设四棱锥外接球的球心为，则，

解得，即为矩形对角线的交点，

所以四棱锥外接球的半径为3，

设四棱锥外接球的内接正四面体的棱长为，

将四面体拓展成正方体，其中正四面体棱为正方体面的对角线，

故正方体的棱长为，所以，得，

所以正四面体的表面积为，所以D正确.

BD

此题考查线面垂直，线面角，棱锥的体积，棱锥的外接球等知识，综合性强，考查了计算能力，属于较难题.

7．如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，，且.则下列结论正确的是（）

A．三棱锥的体积为定值

B．当向运动时，二面角逐渐变小

C．在平面内的射影长为

D．当与重合时，异面直线与所成的角为

【答案】AC

对选项分别作图，研究计算可得.

选项A:

连接,由正方体性质知是矩形，

连接交于点

由正方体性质知平面,

所以，是点到平面的距离，即

是定值.

选项B:

连接与交于点，连接，

由正方体性质知,是中点，

又,

的大小即为与所成的角，

在直角三角形中，为定值.

选项C:

如图，作

在直角三角形中，

选项D:

当与重合时，与重合，连接与交于点，连接,

异面直线与所成的角,即为异面直线与所成的角,

在三角形中，,

由余弦定理得

AC

本题考查空间几何体性质问题.

求解思路：

关键是弄清

（1）点的变化，点与点的重合及点的位置变化；

（2）线的变化，应注意其位置关系的变化；

（3）长度、角度等几何度量的变化．　

求空间几何体体积的思路：

若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体，则可直接利用公式进行求解．其中，求三棱锥的体积常用等体积转换法；

若所给定的几何体是不规则几何体，则将不规