高考试题理数Word格式.docx

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球的表面积公式其中R表示球的半径

球的体积公式其中R表示球的半径

一、选择题

‍1．a是第四象限角，，则

‍A．‍B．‍C．‍D．

2．设a是实数，且是实数，则a＝

‍A．‍B．1‍C．‍D．2

‍3．已知向量a＝（－5，6），b＝（6，5），则a与b

‍A．垂直‍B．不垂直也不平行

‍C．平行且同向‍D．平行且反向

‍4．已知双曲线的离心率为2，焦点是（－4，0），（4，0），则双曲线方程为

‍A．‍B．

‍C．‍D．

‍5．设，集合

‍A．1‍B．－1‍C．2‍D．－2

‍6．下面给出的四个点中，到直线x－y+1=0的距离为，且位于表示的平面区域内的点是

A．（1，1）‍B．（－1，1）‍C．（－1，－1）D．（1，－1）

‍7．如图，正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1=2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为

‍A．

‍B．

‍C．

‍D．

‍8．设a>

1，函数在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为，则a=

‍A．‍B．2‍C．2‍D．4

‍9．是定义在R上的函数，，则“均为偶函数”是“为偶函数”的

‍A．充要条件‍B．充分而不必要的条件

‍C．必要而不充分的条件‍D．既不充分也不必要的条件

‍10．的展开式中，常数项为15，则n＝

‍A．3‍B．4‍C．5‍D．6

‍11．抛物线的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点，垂足为，且△的面积是

A．4B．3C．4D．8

12．函数的一个单调增区间是

‍A．（）‍B．（）‍C．（）‍D．（－）

第Ⅱ卷（非选择题共95分）

1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码。

2．第Ⅱ卷共2页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效。

3．本卷共10题，共90分。

二、填空题：

本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在横线上。

‍13．从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有种。

（用数字作答）

14．函数的图像与函数>

0）的图像关于直线对称，则=。

15．等比数列{an}的前n项和Sn，已知成等差数列，则{an}的公比为。

16．一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上。

已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为。

三、解答题：

本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

‍17．（本小题满分10分）

设锐角三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=2bsinA。

（Ⅰ）求B的大小；

（Ⅱ）求的取值范围。

18．（本小题满分12分）

某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ζ的分布列为

ζ

1

2

3

4

5

P

0.4

0.2

0.1

商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；

分2期或3期付款，其利润为250元；

分4期或5期付款，其利润为300元。

η表示经销一件该商品的利润。

（Ⅰ）求事件A：

“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P（A）；

（Ⅱ）求η的分布列及期望Eη。

19．（本小题满分12分）

四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD。

已知∠ABC＝45°

，AB＝2，BC=2，SA＝SB＝。

（Ⅰ）证明：

SA⊥BC；

（Ⅱ）求直线SD与平面SAB所成角的大小。

20．（本小题满分12分）

设函数f（x）＝ex－e－x。

f（x）的导数f＇（x）≥2；

（Ⅱ）若对所有x≥0都有f（x）≥ax，求a的取值范围。

21．（本小题满分12分）

已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，过F1的直线交椭圆于B、D两点，过F2的直线交椭圆于A、C两点，且AC⊥BD，垂足为P。

（Ⅰ）设P点的坐标为（x0，y0），证明：

；

（Ⅱ）求四过形ABCD的面积的最小值。

22．（本小题满分12分）

已知数列{an}中a1＝2，an＋1＝（）（an＋2），n＝1，2，3…。

（Ⅰ）求{an}的通项公式；

（Ⅱ）若数列{bn}中b1＝2，bn＋1=，n＝1，2，3，…，证明：

…。

参考答案

一、选择题：

1．D2．B3．A4．A5．C6．C

7．D8．D9．B10．D11．C12．A

13．36

14．

15．

16．

17．解：

（Ⅰ）由a=2bsinA，根据正弦定理得sinA=2sinBsinA，所以，

由为锐角三角形得。

（Ⅱ）

。

由为锐角三角形知，

，。

，

所以。

由此有，

所以，cosA+sinC的取值范围为。

18．解：

（Ⅰ）由A表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”。

知表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”

（Ⅱ）的可能取值为200元，250元，300元。

的分布列为

200

250

300

=240（元）。

19．解法一：

（Ⅰ）作，垂足为O，连结AO，由侧面底面ABCD，得底面ABCD。

因为SA=SB，所以AO=BO，

又，故为等腰直角三角形，，

由三垂线定理，得。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，依题设，

故，由，，，得

SO=1，。

△SAB的面积

连结DB，

得△DAB的面积

设D到平面SAB的距离为h，由于，得

解得。

设SD与平面SAB所成角为，则。

所以，直线SD与平面SBC所成的我为。

解法二：

（Ⅰ）作SO⊥BC，垂足为O，连结SO，由侧面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥平面ABCD。

因为SA=SB，所以AO=BO。

又，△AOB为等腰直角三角形，AO⊥OB。

如图，以O为坐标原点，OA为x轴正向，建立直角坐标系O—xyz，

，，，S（0，0，1），，

，，所以SA⊥BC。

（Ⅱ）取AB中点E，，

连结SE，取SE中点G，连结OG，。

，，。

，，OG与平面SAB内两条相交直线SE，AB垂直。

所以OG⊥平面SAB，与的夹角记为，SD与平面SAB所成的角记为，则与互余。

，，

所以，直线SD与平面SAB所成的角为。

20．解：

（Ⅰ）f（x）的导数。

由于，故。

（当且仅当时，等号成立）。

（Ⅱ）令g（x）=f（x）-ax，则

（ⅰ）若，当x>

0时，，

故g（x）在上为增函数，

所以，时，，即。

（ⅱ）若a>

2，方程g’（x）=0的正根为，

此时，若，则g’（x）<

0，故g（x）在该区间为减函数。

所以，时，g（x）<

g（0）=0，即f（x）<

ax，与题设相矛盾。

综上，满足条件的a的取值范围是。

21．证明：

（Ⅰ）椭圆的半焦距，

由AC⊥BD知点P在以线段F1F2为直径的圆上，故，

所以，。

（Ⅱ）（ⅰ）当BC的斜率k存在且时，BD的方程为y=k（x+1），代入椭圆方程，并化简得。

设B（x1，y1），D（x2，y2），，则

，

因为AC与BC相交于点P，且AC的斜率为，

四边形ABCD的面积

当k2=1时，上式取等号。

（ⅱ）当BD的斜率k=0或斜率不存在时，四边形ABCD的面积S=4。

综上，四边形ABCD的面积的最小值为。

22．解：

（Ⅰ）由题设：

所以，数列是首项为，公比为的等比数列，

即an的通项公式为，n=1，2，3……。

（Ⅱ）用数学归纳法证明。

（ⅰ）当n=1时，因，b1=a1=2，所以

，结论成立。

（ⅱ）假设当n=k时，结论成立，即，

也即。

当n=k+1时，

又，

所以　　

也就是说，当n=k+1时，结论成立。

根据（ⅰ）和（ⅱ）知，。