届全国100所名校高三高考模拟金典卷十数学理试题解析Word文档格式.docx

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D.点评：

本题考查复数的运算、实部与虚部的概念，考查运算求解能力，属于基础题.3已知向量，若，则（）AB1C4D答案：

C根据向量垂直数量积为0，可得关于的方程，解方程即可得答案；

由题意，得，解得.故选：

C.点评：

本题考查向量垂直的数量积运算，考查运算求解能力，属于基础题.4在中，且，则（）AB3CD答案：

A由正弦定理可得，再利用余弦定理，即可得答案；

由正弦定理知，因为，所以.因为，所以.故选：

A.点评：

本题考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.5比较甲、乙两名学生的数学学科素养的各项能力指标值（满分为5分，分值高者为优），绘制了如图1所示的六维能力雷达图，例如图中甲的数学抽象指标值为4，乙的数学抽象指标值为5，则下面叙述正确的是（）A乙的逻辑推理能力优于甲的逻辑推理能力B甲的数学建模能力指标值优于乙的直观想象能力指标值C乙的六维能力指标值整体水平优于甲的六维能力指标值整体水平D甲的数学运算能力指标值优于甲的直观想象能力指标值答案：

C利用雷达图对每一个选项的命题逐一分析推理得解.解：

对于选项A,甲的逻辑推理能力指标值为4，优于乙的逻辑推理能力指标值为3，所以该命题是假命题；

对于选项B,甲的数学建模能力指标值为4，乙的直观想象能力指标值为5，所以乙的直观想象能力指标值优于甲的数学建模能力指标值，所以该命题是假命题；

对于选项C,甲的六维能力指标值的平均值为，乙的六维能力指标值的平均值为，因为，所以选项C正确；

对于选项D,甲的数学运算能力指标值为4，甲的直观想象能力指标值为5，所以甲的数学运算能力指标值不优于甲的直观想象能力指标值，故该命题是假命题.故选：

C点评：

本题主要考查雷达图的识别和平均数的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.6甲、乙两个几何体的三视图如图所示（单位相同），记甲、乙两个几何体的体积分别为，则（）ABCD答案：

D由甲的三视图可知，该几何体为一个正方体中间挖掉一个长方体，正方体的棱长为8，长方体的长为4，宽为4，高为6，则该几何体的体积为；

由乙的三视图可知，该几何体为一个底面为正方形，边长为9，高为9的四棱锥，则该几何体的体积为.故选D.点睛：

本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.7如图，正方形和的边长分别为，连接和，在两个正方形区域内任取一点，则该点位于阴影部分的概率是（）ABCD答案：

C分析：

先利用三角形相似得出，求出阴影部分的面积，再利用几何概型的概率公式进行求解详解：

设，由，得，即，则，由几何概型的概率公式，得.故选C点睛：

本题考查三角形相似、几何概型的概率公式等知识，意在考查学生的基本运算能力8已知的数，把函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），再把所得到的曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象，则函数的对称中心是（）A，B，C，D，答案：

A根据辅助角公式可得，再利用平移变换和伸缩变换得到的解析式，进而利令，即可得到对称中心.解：

，将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍，可得的图象，将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象，令，得，函数的对称中心为，.故选：

本题考查三角恒等变换中的辅助角公式、平移变换和伸缩变换、图象的对称中心，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.9执行如图所示的程序框图，则输出的值是（）A4B5C6D8答案：

C分析模拟程序运行，可得程序框图的功能是求时的最小整数值，解不等式即可得答案；

分析模拟程序运行，可得程序框图的功能是求时的最小整数值，解得，则输出的值是6.故选：

本题考查程序框图的循环结构，考查逻辑推理能力、运算求解能力.10平面过正方体的顶点，平面平面，平面平面，则直线与直线所成的角为（）ABCD答案：

C如图所示，平面过正方体的顶点，平面平面，平面平面，则直线与直线所成的角即为直线与直线所成的角为.故选C.11已知双曲线的左，右焦点分别为，点在双曲线的左支上，与双曲线的右支交于点，若是以为直角的等腰直角三角形，则该双曲线的离心率是（）AB2CD答案：

D设，利用双曲线的定义可得，再利用余弦定理可得的关系，即可求得离心率.解：

如图，设，则，由双曲线的定义可知，解得，在中，由余弦定理得，即，所以.故选：

本题考查双曲线的定义和离心率求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.12已知定义在上的函数，其中为偶函数，当时，恒成立；

且满足：

对，都有；

当时，.若关于的不等式对恒成立，则的取值范围是（）ABCD答案：

D函数满足：

当时，恒成立，函数为上的偶函数，且在上为单调递增函数，且有，恒成立恒成立，只要使得定义域内，由，得，即函数的周期，时，求导得，该函数过点，如图，且函数在处取得极大值，在处取得极小值，即函数在上的最大值为2，函数的周期是，当时，函数的最大值为2，由，即，则，解得或.故选D点评：

此题考查了利用导函数求得函数在定义域上为单调递增函数，还考查了函数的周期的定义，及利用周期可以求得时，的值域为还考查了函数恒成立二、填空题13若实数满足约束条件，则的最小值为_.答案：

2作出不等式组对应的区域，当直线经过点时，直线的纵截距最小.解：

由题意得，不等式组对应的区域为如图所示的开放区域（阴影部分），当直线经过点时，直线的纵截距最小，所以的最小值为.故答案为：

2.点评：

本题考查简单线性规划的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意直线截距几何意义的运用.14若的展开式中的系数为，则_.答案：

24根据二项式定理可求得的值，再代入定积分中，即可得答案；

展开式的通项为，得，的系数为，则.故答案为：

24.点评：

本题考查二项式定理展开式指定项系数、定积分计算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.15已知，且，则_.答案：

或利用同角三角函数的商数关系可求得的值，再代入两角差的正切公式中，即可得答案；

，或.又，将的值代入上式可得：

或.故答案为：

或.点评：

本题考查同角三角函数的商数关系、两角差的正切，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意两种情况的值.16如图，过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，与抛物线及其准线从上到下依次交于三点，令，则当时，_.答案：

5设，求出两点的坐标，再根据焦半径公式求出的值，即可得答案；

设，则由过抛物线的焦点的直线的性质可得，又，.分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点，则，同理可得，.故答案为：

.点评：

本题考查直线与抛物线的位置关系、焦半径公式的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.三、解答题17公差大于的等差数列的前项和为，成等比数列，等比数列的前项和为.

（1）求数列，的通项公式；

（2）设，求数列的前项和.答案：

（1）；

（2）

（1）根据等比中项可得，从而求得，再利用等差数列和等比数列的通项公式，即可得答案；

（2）对进行讨论，化简数列，再利用错位相减进行求和.解：

（1），成等比数列，即，解得或（舍去），.设等比数列的公比为，.

（2），当时，；

当时，；

当时，可得，.点评：

本题考查等差、等比数列通项公式、错位相减法求和，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意要写成分段的形式.18某市移动公司为了提高服务质量，决定对使用A，B两种套餐的集团用户进行调查，准备从本市个人数超过1000人的大集团和8个人数低于200人的小集团中随机抽取若干个集团进行调查，若一次抽取2个集团，全是小集团的概率为求n的值；

若取出的2个集团是同一类集团，求全为大集团的概率；

若一次抽取4个集团，假设取出小集团的个数为X，求X的分布列和期望答案：

（2）；

（3）详见解析.

（1）由题意根据全是小集团的概率列方程求出的值；

（2）根据古典概型的概率公式计算全为大集团的概率值；

（3）由题意知随机变量的可能取值，计算对应的概率值，写出分布列，求出数学期望值解：

（1）由题意知共有个集团，取出2个集团的方法总数是，其中全是小集团的情况有，故全是小集团的概率是，整理得到即，解得

（2）若2个全是大集团，共有种情况；

若2个全是小集团，共有种情况；

故全为大集团的概率为（3）由题意知，随机变量的可能取值为，计算，；

故的分布列为：

01234数学期望为点评：

本题考查了古典概型的概率计算问题，也考查了离散型随机变量的分布列与数学期望计算问题，是中档题注意在计算离散型随机变量的概率时，注意利用常见的概率分布列来简化计算（如二项分布、超几何分布等）19如图1，在梯形中，过分别作，垂足分别为.，已知，将梯形沿同侧折起，得空间几何体，如图2.

（1）若，证明：

平面.

（2）若，是线段上靠近点的三等分点，求直线与平面所成角的正弦值.答案：

（1）证明见解析

（2）

（1）连接，证明平面内的两条相交直线，即可证明结论；

（2）过作交于点，可知两两垂直，以为坐标原点，以分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，求出即可得答案；

（1）连接，由已知得四边形是正方形，且边长为2，在题图2中，由已知得，平面.平面，.，平面.

（2）在题图2中，即平面，在梯形中，过点作交于点，连接，由题意得，由勾股定理的逆定理可得，则，过作交于点，可知两两垂直，以为坐标原点，以分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，则，.设平面的一个法向量为，由得取得.设与平面所成的角为，则.点评：

本题考查线面垂直判定定理的应用、向量法求线面角的正弦值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查空间想象能力、运算求解能力.20已知长度为的线段的两个端点分别在轴和轴上运动，动点满足，设动点的轨迹为曲线.

（1）求曲线的方程；

（2）过点，且斜率不为零的直线与曲线交于两点，在轴上是否存在定点，使得直线与的斜率之积为常数？

若存在，求出定点的坐标以及此常数；

若不存在，请说明理由.答案：

（1）

（2）存在两个定点，使得直线与的斜率之积为常数，当定点为时，常数为，当定点为时，常数为

（1）设，利用向量关系坐标化，可得曲线的方程；

（2）由题意设直线的方程为，假设存在定点，使得直线与的斜率之积为常数，将表示成关于的函数，利用恒成立问题，可得定点坐标.解：

（1）设，由于，所以，即，所以.又因为，所以，从而，即曲线的方程为.

（2）由题意设直线的方程为，由得，所以，故，.假设存在定点，使得直线与的斜率之积为常数，则.当，且时，为常数，解得.显然当时，常数为；

当时，常数为.