届人教A版文科数学 第7章 第3节 空间点直线平面之间的位置关系 单元测试Word文档格式.docx
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3.已知m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β.直线l满足l⊥m,l⊥n,l⊄α,l⊄β,则( )
A.α∥β且l∥α
B.α⊥β且l⊥β
C.α与β相交,且交线垂直于l
D.α与β相交,且交线平行于l
由于m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β,则平面α与平面β必相交,但未必垂直,且交线垂直于直线m,n,又直线l满足l⊥m,l⊥n,则交线平行于l,故选D.
4.过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A作直线l,使l与棱AB,AD,AA1所成的角都相等,这样的直线l可以作( )
A.1条B.2条
C.3条D.4条
如图,连接体对角线AC1,显然AC1与棱AB,AD,AA1所成的角都相等,所成角的正切值都为.联想正方体的其他体对角线,如连接BD1,则BD1与棱BC,BA,BB1所成的角都相等,∵BB1∥AA1,BC∥AD,∴体对角线BD1与棱AB,AD,AA1所成的角都相等,同理,体对角线A1C,DB1也与棱AB,AD,AA1所成的角都相等,过A点分别作BD1,A1C,DB1的平行线都满足题意,故这样的直线l可以作4条.
5.若直线a⊥b,且直线a∥平面α,则直线b与平面α的位置关系是( )
A.b⊂α
B.b∥α
C.b⊂α或b∥α
D.b与α相交或b⊂α或b∥α
结合正方体模型可知b与α相交或b⊂α或b∥α都有可能.
6.若l,m是两条不同的直线,m垂直于平面α,则“l⊥m”是“l∥α”的( )
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
由“m⊥α且l⊥m”推出“l⊂α或l∥α”,但由“m⊥α且l∥α”可推出“l⊥m”,所以“l⊥m”是“l∥α”的必要而不充分条件,故选B.
B
7.已知A,B,C,D是空间四点,命题甲:
A,B,C,D四点不共面,命题乙:
直线AC和BD不相交,则甲是乙成立的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
若A,B,C,D四点不共面,则直线AC和BD不共面,所以AC和BD不相交,充分性成立;
若直线AC和BD不相交,若直线AC和BD平行,则A,B,C,D四点共面,必要性不成立,所以甲是乙成立的充分不必要条件.
8.(2018·
绵阳诊断)已知l,m,n是三条不同的直线,α,β是不同的平面,则α⊥β的一个充分条件是( )
A.l⊂α,m⊂β,且l⊥m
B.l⊂α,m⊂β,n⊂β,且l⊥m,l⊥n
C.m⊂α,n⊂β,m∥n,且l⊥m
D.l⊂α,l∥m,且m⊥β
依题意知,A、B、C均不能得出α⊥β.对于D,由l∥m,m⊥β得l⊥β,又l⊂α,因此有α⊥β.综上所述,选D.
9.下列命题中,错误的是( )
A.如果平面α⊥平面β,那么平面α内一定存在直线平行于平面β
B.如果平面α不垂直于平面β,那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
C.如果平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,α∩β=l,那么l⊥平面γ
D.如果平面α⊥平面β,那么平面α内所有直线都垂直于平面β
选项A显然正确.根据面面垂直的判定定理,选项B正确.对于选项C,设α∩γ=m,β∩γ=n,在平面γ内取一点P不在l上,过点P作直线a,b,使a⊥m,b⊥n.∵γ⊥α,a⊥m,∴a⊥α,∴a⊥l,同理有b⊥l.又∵a∩b=P,a⊂γ,b⊂γ,∴l⊥γ.故选项C正确.对于选项D,设α∩β=l,则l⊂α,但l不垂直于β,故在α内存在直线不垂直于平面β,选项D错误.
10.已知l,m,n为不同的直线,α,β,γ为不同的平面,则下列判断正确的是( )
A.若m∥α,n∥α,则m∥n
B.若m⊥α,n∥β,α⊥β,则m⊥n
C.若α∩β=l,m∥α,m∥β,则m∥l
D.若α∩β=m,α∩γ=n,l⊥m,l⊥n,则l⊥α
A:
m,n可能的位置关系为平行,相交,异面,故A错误;
B:
根据面面垂直与线面平行的性质可知B错误;
C:
根据线面平行的性质可知C正确;
D:
若m∥n,根据线面垂直的判定可知D错误,故选C.
C
11.已知α,β,γ是三个不同的平面,命题“α∥β,且α⊥γ⇒β⊥γ”是真命题,如果把α,β,γ中的任意两个换成直线,另一个保持不变,在所得的所有新命题中,真命题有( )
A.0个B.1个
C.2个D.3个
将α,β分别换成直线a,b,则命题变为“a∥b,a⊥γ⇒b⊥γ”是真命题;
将α,γ分别换成直线a,b,则命题变为“α∥β,a⊥b⇒β⊥b”是假命题;
将β,γ分别换成直线a,b,则命题变为“α∥a,α⊥b⇒a⊥b”是真命题,故真命题有2个.
12.设α和β为不重合的两个平面,给出下列命题:
①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线,则α∥β;
②若α外的一条直线l与α内的一条直线平行,则l∥α;
③设α∩β=l,若α内有一条直线垂直于l,则α⊥β;
④直线l⊥α的充要条件是l与α内的两条直线垂直.其中所有的真命题的序号是________.
若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线,则α∥β,所以①正确;
若α外的一条直线l与α内的一条直线平行,则l∥α,所以②正确;
设α∩β=l,若α内有一条直线垂直于l,则α与β不一定垂直,所以③错误;
直线l⊥α的充要条件是l与α内的两条相交直线垂直,所以④错误.所有的真命题的序号是①②.
①②
13.如图所示,在空间四边形ABCD中,点E,H分别是边AB,AD的中点,点F,G分别是边BC,CD上的点,且==,则下列说法正确的是________.(填写所有正确说法的序号)
①EF与GH平行
②EF与GH异面
③EF与GH的交点M可能在直线AC上,也可能不在直线AC上
④EF与GH的交点M一定在直线AC上
连接EH,FG(图略),
依题意,可得EH∥BD,FG∥BD,
故EH∥FG,所以E,F,G,H共面.
因为EH=BD,FG=BD,故EH≠FG,
所以EFGH是梯形,EF与GH必相交,
设交点为M,因为点M在EF上,
故点M在平面ACB上.同理,点M在平面ACD上,
∴点M是平面ACB与平面ACD的交点,
又AC是这两个平面的交线,
所以点M一定在直线AC上.
④
14.如图为正方体表面的一种展开图,则图中的AB,CD,EF,GH在原正方体中互为异面直线的有________对.
平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化,则AB,CD,EF和GH在原正方体中,显然AB与CD,EF与GH,AB与GH都是异面直线,而AB与EF相交,CD与GH相交,CD与EF平行.故互为异面直线的有3对.
3
B组 能力提升练
1.(2018·
天津检测)设l是直线,α,β是两个不同的平面,则下列命题正确的是( )
A.若l∥α,l∥β,则α∥β
B.若l∥α,l⊥β,则α⊥β
C.若α⊥β,l⊥α,则l⊥β
D.若α⊥β,l∥α,则l⊥β
对于A选项,设α∩β=a,若l∥a,且l⊄α,l⊄β,则l∥α,l∥β,此时α与β相交,故A项错误;
对于B选项,l∥α,l⊥β,则存在直线a⊂α,使得l∥a,此时a⊥β,由平面与平面垂直的判定定理得α⊥β,故B选项正确;
对于C选项,若α⊥β,l⊥α,则l∥β或l⊂β,故C选项错误;
对于D选项,若α⊥β,l∥α,则l与β的位置关系不确定,故D选项错误.故选B.
2.(2018·
贵阳监测)设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,下列命题正确的是( )
A.m∥α,n∥β,且α∥β,则m∥n
B.m⊥α,n⊥β,且α⊥β,则m⊥n
C.m⊥α,m⊥n,n⊂β,则α⊥β
D.m⊂α,n⊂α,m∥β,n∥β,则α∥β
m与n的位置关系为平行,异面或相交,∴A错误;
根据面面垂直的性质可知正确;
由题中的条件无法推出α⊥β,∴C错误;
只有当m与n相交时,结论才成立,∴D错误.故选B.
3.设l,m,n为三条不同的直线,α为一个平面,下列命题中正确的个数是( )
①若l⊥α,则l与α相交;
②若m⊂α,n⊂α,l⊥m,l⊥n,则l⊥α;
③若l∥m,m∥n,l⊥α,则n⊥α;
④若l∥m,m⊥α,n⊥α,则l∥n.
A.1B.2
C.3D.4
由于直线与平面垂直是相交的特殊情况,故①正确;
由于不能确定直线m,n相交,不符合线面垂直的判定定理,故②不正确;
根据平行线的传递性,l∥n,故l⊥α时,一定有n⊥α,故③正确;
由垂直于同一平面的两条直线平行得m∥n,再根据平行线的传递性,可得l∥n,故④正确.
4.(2018·
宁波模拟)下列命题中,正确的是( )
A.若a,b是两条直线,α,β是两个平面,且a⊂α,b⊂β,则a,b是异面直线
B.若a,b是两条直线,且a∥b,则直线a平行于经过直线b的所有平面
C.若直线a与平面α不平行,则此直线与平面内的所有直线都不平行
D.若直线a∥平面α,点P∈α,则平面α内经过点P且与直线a平行的直线有且只有一条
对于A,当α∥β,a,b分别为第三个平面γ与α,β的交线时,由面面平行的性质可知a∥b,故A错误.
对于B,设a,b确定的平面为α,显然a⊂α,故B错误.
对于C,当a⊂α时,直线a与平面α内的无数条直线都平行,故C错误.易知D正确.故选D.
5.已知m,n是两条不同直线,α,β是两个不同平面,则下列命题正确的是( )
A.若α,β垂直于同一平面,则α与β平行
B.若m,n平行于同一平面,则m与n平行
C.若α,β不平行,则在α内不存在与β平行的直线
D.若m,n不平行,则m与n不可能垂直于同一平面
A中,垂直于同一个平面的两个平面可能相交也可能平行,故A错误;
B中,平行于同一个平面的两条直线可能平行、相交或异面,故B错误;
C中,若两个平面相交,则一个平面内与交线平行的直线一定和另一个平面平行,故C错误;
D中,若两条直线垂直于同一个平面,则这两条直线平行,所以若两条直线不平行,则它们不可能垂直于同一个平面,故D正确.
6.已知两条不重合的直线m,n和两个不重合的平面α,β,有下列命题:
①若m⊥n,m⊥α,则n∥α;
②若m⊥α,n⊥β,m∥n,则α∥β;
③若m,n是两条异面直线,m⊂α,n⊂β,m∥β,n∥α,则α∥β;
④若α⊥β,α∩β=m,n⊂β,n⊥m,则n⊥α.
其中正确命题的个数是( )
①若m⊥n,m⊥α,则n∥α或n⊂α,故①错误;
②因为m⊥α,m∥n,所以n⊥α,又n⊥β,则α∥β,故②正确;
③过直线m作平面γ交平面β于直线c,因为m,n是两条异面直线,所以设n∩c=O.因为m∥β,m⊂γ,γ∩β=c,所以m∥c.因为m⊂α,c⊄α,所以c∥α.因为n⊂β,c⊂β,n∩c=