简单几何体的面积与体积文档格式.doc
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各侧面积之和
正棱锥
台
棱台
各侧面面积之和
h(S上底+S下底+)
正棱台
表中表示面积,、分别表示上、下底面周长,表斜高,表示斜高,表示侧棱长.
2.旋转体的面积和体积公式
圆柱
圆锥
圆台
球
V
(即)
表中分别表示母线、高,表示圆柱、圆锥与球冠的底半径,分别表示圆台上、下底面半径,表示半径.
例题讲解
题型1:
柱体的体积和表面积
例1.一个长方体全面积是20cm2,所有棱长的和是24cm,求长方体的对角线长.
例2.如图所示,在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中,已知AB=5,AD=4,AA1=3,AB⊥AD,∠A1AB=∠A1AD=.
(1)求证:
顶点A1在底面ABCD上的射影O在∠BAD的平分线上;
(2)求这个平行六面体的体积.
题型2:
锥体的体积和表面积
例3.在四棱锥P-ABCD中,底面是边长为2的菱形,∠DAB=60,对角线AC与BD相交于点O,PO⊥平面ABCD,
PB与平面ABCD所成的角为60,求四棱锥P-ABCD的体积.
例4.在三棱锥S—ABC中,∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°
,且AC=BC=5,SB=5.
(1)证明:
SC⊥BC;
(2)求侧面SBC与底面ABC所成二面角的大小;
(3)求三棱锥的体积VS-ABC.
例5.ABCD是边长为4的正方形,E、F分别是AB、AD的中点,GB垂直于正方形ABCD所在的平面,
且GC=2,求点B到平面EFC的距离?
例6.如图,在四面体ABCD中,截面AEF经过四面体的内切球(与四个面都相切的球)球心O,且与BC,DC分别截
于E、F,如果截面将四面体分成体积相等的两部分,设四棱锥A-BEFD与三棱锥A-EFC的表面积分别是S1,S2,则必有()
A.S1<
S2B.S1>
S2C.S1=S2D.S1,S2的大小关系不能确定
题型3:
棱台的体积、面积及其综合问题
例7.在多面体ABCD—A1B1C1D1中,上、下底面平行且均为矩形,相对的侧面与同一底面所成的二面角大小相等,
侧棱延长后相交于E,F两点,上、下底面矩形的长、宽分别为c,d与a,b,且a>c,b>d,两底面间的距离为h.
(1)求侧面ABB1A1与底面ABCD所成二面角的大小;
(2)证明:
EF∥面ABCD;
(3)在估测该多面体的体积时,经常运用近似公式V估=S中截面·
h来计算.已知它的体积公式是
V=(S上底面+4S中截面+S下底面),试判断V估与V的大小关系,并加以证明.
题型4:
球的体积、表面积
例8.已知过球面上三点的截面和球心的距离为球半径的一半,且,求球的表面积.
例9.如图,球面上有四个点P、A、B、C,如果PA,PB,PC两两互相垂直,且PA=PB=PC=a,求这个球的表面积.
例10.如图,正四棱锥底面的四个顶点在球的同一个大圆上,在球面上,如果
,
(1)求球的表面积;
(2)半球内有一个内接正方体,正方体的一个面在半球的底面圆内,若正方
体棱长为,求球的表面积和体积.
题型5:
球的经纬度、球面距离问题
例11.我国首都靠近北纬纬线,
(1)求北纬纬线的长度等于多少?
(地球半径大约为)
(2)在半径为的球面上有三点,,求球心到经过这三点的截面的距离.
随堂练习
(一)选择题
1.如果棱台的两底面积分别是S、S′,中截面的面积是S0,那么()
A.B.C.2S0=S+S′D.S02=2S′S
2.已知正六棱台的上、下底面边长分别为2和4,高为2,则其体积为()
A.32 B.28 C.24 D.20
3.一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是,这个长方体对角线的长是()
A.2 B.3 C.6 D.
4.将一个长方体沿从同一个顶点出发的三条棱截去一个棱锥,棱锥的体积与剩下的几何体的体积之比为()
A.1:
2B.1:
3C.1:
4 D.1:
5
5.如图,在多面体ABCDEF中,已知四边形ABCD是边长为1的正方形,且△ADE、△BCF均为正三角形,EF∥AB,EF=2,则该多面体的体积为()
A.B.C.D.
6.已知几何体的三视图如图所示,它的表面积是()
A.B.C.D.
(二)填空题
7.如图,三棱柱中,若分别为的中点,平面将三棱柱分成体积为的两部分,那么=.
8.已知三棱柱的体积为V,E是棱CC1上一点,三棱锥E—ABC的体积是V1,则三棱锥
E—A1B1C1的体积是________.
9.已知某个几何体的三视图如,根据图中标出的尺寸(单位:
cm),可得这个几何体的体积是.
(三)解答题
10.如图在中,若AC=3,BC=4,AB=5,以AB所在直线为轴,将此三角形旋转一周,求所得旋转体的表面
积和体积.
11.表面积为的球,其内接正四棱柱的高是,
(1)求这个正四棱柱的表面积.
(2)正四面体ABCD的棱长为
a,球O是内切球,球O1是与正四面体的三个面和球O都相切的一个小球,求球O1的体积.
12.在北纬圈上有两点,设该纬度圈上两点的劣弧长为,求两点间的球面距离.
家庭作业
1.一个圆柱的侧面积展开图是一个正方形,这个圆柱的全面积与侧面积的比是()
A. B.C. D.
2.如图,啤酒瓶的高为h,瓶内酒面高度为a,若将瓶盖盖好倒置,酒面高度为a′(a′+b=h),则酒瓶容积与瓶内酒的
体积之比为()
A.1+且a+b>
hB.1+且a+b<
h
C.1+且a+b>
hD.1+且a+b<
3.设计一个杯子,其三视图如图所示,现在向杯中匀速注水,杯中水面的高度h随时间t变化的图象是()
4.在△ABC中,AB=2,BC=1.5,∠ABC=120°
(如图所示),若将△ABC绕直线BC旋转一周,则所形成的旋转体
的体积是()
A. B. C. D.
5.若一个圆锥的轴截面是等边三角形,其面积为,则这个圆锥的全面积是()
A. B.
C. D.
6.如图,一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适量的水.若放入一个半径为r的实心铁球,水面高度恰好升高r,
则=.
7.如图为一几何体的展开图,其中ABCD是边长为6的正方形,SD=PD=6,CR=SC,AQ=AP,点S,D,A,Q及
点P,D,C,R共线,沿图中虚线将它们折叠起来,使P,Q,R,S四点重合,则需要________个这样的几何体,
可以拼成一个棱长为6的正方体.
8.已知一个凸多面体共有9个面,所有棱长均为1,其平面展开图如图所示,则该凸多面体的体积V=________.
9.在右图所示的几何体中,平面PAC⊥平面ABC,PM∥BC,PA=PC,AC=1,BC=2PM=2,AB=若该几何体的
侧视图的面积为
(1)求证:
PA⊥BC;
(2)画出该几何体的正视图,并求其面积S;
(3)求出多面体A—BMPC的体积V.
10.如图,是圆柱的母线,AB是圆柱底面圆的直径,C是底面圆周上异于A、B的任意一点,A1A=AB=2.
BC⊥平面A1AC;
(2)求三棱锥A1-ABC的体积的最大值.
参考答案
例1.解:
设长方体的长、宽、高、对角线长分别为xcm、ycm、zcm、lcm
依题意得:
由
(2)的平方得:
x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz=36(3)
由(3)-
(1)得x2+y2+z2=16,即l2=16,所以l=4(cm).
点评:
涉及棱柱面积问题的题目多以直棱柱为主,而直棱柱中又以正方体、长方体的表面积多被考察.我们平常的学习中要多建立一些重要的几何要素(对角线、内切)与面积、体积之间的关系.
例2.解析:
(1)如图,连结A1O,则A1O⊥底面ABCD,作OM⊥AB交AB于M,
作ON⊥AD交AD于N,连结A1M,A1N.
由三垂线定得得A1M⊥AB,A1N⊥AD.∵∠A1AM=∠A1AN,
∴Rt△A1NA≌Rt△A1MA,∴A1M=A1N,从而OM=ON.
∴点O在∠BAD的平分线上.
(2)∵AM=AA1cos=3×
=,∴AO==.
又在Rt△AOA1中,A1O2=AA12–AO2=9-=,
∴A1O=,平行六面体的体积为.
例3.解:
(1)在四棱锥P-ABCD中,由PO⊥ABCD,得∠PBO是PB与平面ABCD所成的角,
∠PBO=60°
.在Rt△AOB中BO=ABsin30°
=1,由PO⊥BO,
于是PO=BOtan60°
=,而底面菱形的面积为2.
∴四棱锥P-ABCD的体积V=×
2×
=2.