概率习题答案3Word文档下载推荐.doc
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X≤b,Y≤c}=F（b,c）-F（a,c）.
习题2
（2）
（2）P{0<
Y≤b};
P{0<
Y≤b}=F（+∞,b）-F（+∞,0）.
习题2（3）
（3）P{X>
a,Y≤b}.
P{X>
a,Y≤b}=F（+∞,b）-F（a,b）.
习题3
（1）
3.设二维离散型随机变量的联合分布如下表：
试求：
（1）P{12<
X<
32,0<
Y<
4;
P{12<
23,0<
4
P{X=1,Y=1}+P{X=1,Y=2}+P{X=1,Y=3}
=P{X=1,Y=1}+P{X=1,Y=2}+P{X=1,Y=3}
=14+0+0=14.
习题3
（2）
（2）P{1≤X≤2,3≤Y≤4};
P{1≤X≤2,3≤Y≤4}
=P{X=1,Y=3}+P{X=1,Y=4}+P{X=2,Y=3}+P{X=2,Y=4}
=0+116+0+14=516.
习题3（3）
（3）F（2,3）.
F（2,3）=P（1,1）+P（1,2）+P（1,3）+P（2,1）+P（2,2）+P（2,3）
=14+0+0+116+14+0=916.
习题4
设X,Y为随机变量，且
P{X≥0,Y≥0}=37,
P{X≥0}=P{Y≥0}=47,
求P{max{X,Y}≥0}.
P{max{X,Y}≥0}=P{X,Y至少一个大于等于0}
=P{X≥0}+P{Y≥0}-P{X≥0,Y≥0}
=47+47-37=57.
习题5
（X,Y）只取下列数值中的值：
（0,0）,（-1,1）,（-1,13）,（2,0）
且相应概率依次为16,13,112,512,
请列出（X,Y）的概率分布表，并写出关于Y的边缘分布.
（1）因为所给的一组概率实数显然均大于零，且有16+13+112+512=1,
故所给的一组实数必是某二维随机变量（X,Y）的联合概率分布.因（X,Y）只取上述四组可能值，故事件：
{X=-1,Y=0},
{X=0,Y=13,
{X=0,Y=1},{X=2,Y=13,{X=2,Y=1}
均为不可能事件，其概率必为零.因而得到下表：
01/31
-1
01/121/3
1/600
5/1200
（2）P{Y=0}=P{X=-1,Y=0}+P{X=0,Y=0}+P{X=2,Y=0}
=0+16+512=712,
同样可求得
P{Y=13=112,P{Y=1}=13,
关于的Y边缘分布见下表：
Y
pk
7/121/121/3
习题6
设随机向量（X,Y）服从二维正态分布N（0,0,102,102,0）,
其概率密度为
f（x,y）=1200πex2+y2200,
求P{X≤Y}.
由于P{X≤Y}+P{X>
Y}=1，且由正态分布图形的对称性，知
P{X≤Y}=P{X>
Y},
故
P{X≤Y}=12.
习题7
设随机变量（X,Y）的概率密度为
f（x,y）={k（6-x-y）,0<
x<
2,2<
y<
40,其它,
（1）确定常数k;
（2）求P{X<
1,Y<
3};
（3）求P{X<
1.5};
（4）求P{X+Y≤4}.
如图所示
（1）由∫-∞+∞∫-∞+∞f（x,y）dxdy=1,
确定常数k.
∫02∫24k（6-x-y）dydx=k∫02（6-2x）dx=8k=1,
所以k=18.
（2）P{X<
3}=∫01dx∫2318（6-x-y）dy=38.
（3）P{X<
1.5}=∫01.5dx∫2418（6-x-y）dy=2732.
（4）P{X+Y≤4}=∫02dx∫24-x18（6-x-y）dy=23.
习题8
已知X和Y的联合密度为
f（x,y）={cxy,0≤x≤1,0≤y≤10,其它,
（1）常数c;
（2）X和Y的联合分布函数F（x,y）.
（1）由于1=∫-∞+∞∫-∞+∞f（x,y）dxdy=c∫01∫01xydxdy=c4,c=4.
（2）当x≤0或y≤0时，显然F（x,y）=0;
当x≥1,y≥1时，显然F（x,y）=1;
设0≤x≤1,0≤y≤1,
有
F（x,y）=∫-∞x∫-∞yf（u,v）dudv=4∫0xudu∫0yvdv=x2y2.
设0≤x≤1,y>
1,
F（x,y）=P{X≤1,Y≤y}=4∫0xudu∫01ydy=x2.
最后，设x>
1,0≤y≤1,
F（x,y）=P{X≤1,Y≤y}=4∫01xdx∫0yvdv=y2.
函数F（x,y）在平面各区域的表达式
F（x,y）={0,x≤0或y≤0x2,0≤x≤1,y>
1x2y2,0≤x≤1,0≤y≤1.y2,x>
习题9
设二维随机变量（X,Y）的概率密度为
f（x,y）={4.8y（2-x）,0≤x≤1,x≤y≤10,其它,
求边缘概率密度fY（y）.
fX（x）=∫-∞+∞f（x,y）dy
={∫0x4.8y（2-x）dy,0≤x≤10,其它={2.4x2（2-x）,0≤x≤10,其它.
fY（y）=∫-∞+∞f（x,y）dx
={∫0y4.8y（2-x）dx,0≤y≤10,其它={2.4y（4y-y2）,0≤y≤10,其它.
习题10
设（X,Y）在曲线y=x2,y=x所围成的区域G里服从均匀分布，求联合分布密度和边缘分布密度.
区域G的面积A=∫01（x-x2）dx=16,
由题设知（X,Y）的联合分布密度为
f（x,y）={6,0≤x≤1,x2≤y≤x0,其它,
从而fX（x）=∫-∞+∞f（x,y）dy=6∫x2xdy=6（x-x2）,0≤x≤1,
即
fX（x）={6（x-x2）,0≤x≤10,其它,
fY（y）=∫-∞+∞f（x,y）dx=6∫yydx=6（y-y）,0≤y≤1,
即fY（y）={6（y-y）,0≤y≤10,其它.
3.2条件分布与随机变量的独立性
二维随机变量（X,Y）的分布律为
X\Y
01
01
7/157/307/301/15
（1）求Y的边缘分布律；
（2）求P{Y=0∣X=0},P{Y=1∣X=0};
（3）判定X与Y是否独立？
（1）由（x,y）的分布律知，y只取0及1两个值.
P{y=0}=P{x=0,y=0}+P{x=1,y=0}=715+730=0.7
P{y=1}=∑i=01P{x=i,y=1}=130+115=0.3.
（2）P{y=0∣x=0}=P{x=0,y=0}P{x=0}=23,
P{y=1∣x=0}=13.
（3）已知P{x=0,y=0}=715,
由
（1）知P{y=0}=0.7,
类似可得
P{x=0}=0.7.
因为P{x=0,y=0}≠P{x=0}⋅P{y=0},
所以x与y不独立.
习题2
将某一医药公司9月份和8份的青霉素针剂的订货单分别记为X与Y.据以往积累的资料知X和Y的联合分布律为
5152535455
5152535455
0.060.050.050.010.010.070.050.010.010.010.050.100.100.050.050.050.020.010.010.030.050.060.050.010.03
（1）求边缘分布律;
（2）求8月份的订单数为51时，9月份订单数的条件分布律.
（1）边缘分布律为
X
pk
0.180.150.350.120.20
对应X的值,将每行的概率相加,可得P{X=i}.
对应Y的值（最上边的一行）,
将每列的概率相加，可得P{Y=j}.
Y
0.280.280.220.090.13
（2）当Y=51时,X的条件分布律为
P{X=k∣Y=51}=P{X=k,y=51}P{Y=51}=pk,510.28,
k=51,52,53,54,55.
列表如下:
k
P{X=k∣Y=51}
6/287/285/285/285/28
习题3
已知（X,Y）的分布律如下表所示，试求：
（1）在Y=1的条件下,X的条件分布律;
（2）在X=2的条件下,Y的条件分布律.
012
012
1/41/8001/301/601/8
由联合分布律得关于X,Y的两个边缘分布律为
3/81/37/24
5/1211/241/8
故
（1）在Y=1条件下，X的条件分布律为
X∣（Y=1）
3/118/110
（2）在X=2的条件下，Y的条件分布律为
Y∣（X=2）
4/703/7
已知（X,Y）的概率密度函数为f（x,y）={3x,0<
1,0<
x0,其它,
求：
（1）边缘概率密度函数；
（2）条件概率密度函数.
（1）fX（x）=∫-∞+∞f（x,y）dy={3x2,0<
10,其它,
fY（y）=∫-∞+∞f（x,y）dx={32（1-y2）,0<
10,其它.
（2）对∀y∈（0,1）,
fX∣Y（x∣y）=f（x,y）fY（y）={2x1-y2,y<
1,0,其它,
对∀x∈（0,1）,
fY∣X（y∣x）=f（x,y）fX（x）={1x,0<
x0,其它.
X与Y相互独立，其概率分布如表（a）及表（b）所示，求（X,Y）的联合概率分布，P{X+Y=1},
P{X+Y≠0}.
X
-2-101/2
pi
1/41/31/121/3
表（a）
-1/213
1/21/41/4
表（b）
由X与Y相互独立知
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