商人安全过河问题aPPT推荐.ppt
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,五、思考问题在上述的约束条件下，若商人有4名时，问商人们是否能实现安全渡河？
更一般地，若商人数是m，小船最多只能坐n（1nm人，m和n有何关系时，商人们才能实现安全渡河？
解题思路,2、状态空间,1、多步决策,一、问题分析与建立模型由于这个问题已经理想化了，所以不必再作假设。
这个问题可以看作一个多步决策的过程。
设第k次渡河前此岸的商人数为XK，随从数为YK，k=1,2,。
XK，YK=0,1,2,3。
将二维向量SK=（XK,YK）定义为状态。
安全渡河条件下的状态集合称为允许状态集合，记为S，则S=（x,y）|x=0或3,y=0,1,2,3;
x=y=1,2
（1）又设第k次渡船上的商人数为UK，随从数为VK，将二维向量DK=（UK,VK）定义为决策,则允许决策集合为:
D=（u,v）|u+v=1,2
（2）,因为k为奇数时船从此岸驶向彼岸，k为偶数时船由彼岸驶回此岸，所以状态SK随着决策DK变化的规律即状态转移规律是：
SK+1=SK+
（1）KDK（3）这样，制定安全渡河方案归结为如下的多步决策问题：
求决策DKD（k=1，2，n），使SKS按照转移律（3），由初始状态S1=（3，3）经有限步（设为n）到达状态Sn+1=（0，0）。
二、计算过程下面通过Mathematica的程序给出这个多步决策问题的一个解，同时满足了渡河次数尽量少的条件。
a1=0,0;
a2=0,1;
a3=0,2;
a4=0,3;
a5=3,0;
a6=3,1;
a7=3,2;
a8=3,3;
a9=1,1;
a10=2,2;
（*以上两行表示给出十个允许的状态.而1,0,1,2,1,3,2,0,2,1,2,3六种状态是不可能出现的。
*）d1=0,2;
d2=2,0;
d3=1,1;
d4=0,1;
d5=1,0;
（*此行表示给出五个允许的状态，而0,0,1,2,2,1,2,2是不可能出现的*）,i=1;
j=1;
k=1;
s0=s1=3,3;
Print“此岸船上对岸”；
DODOsi+1=si+（-1）idj;
t=0;
DOifsi+1=ak;
t=1k,1,10;
ift=0,Continue;
（*以上三行是保证状态属于允许的状态*）l=Modi+1,2;
m=l;
u=0;
ifi+1=3,DOIfsi+1=sm,u=1,Break,m,l,i-1,2;
ifu=0,ci+1=dj;
Break（*以上五行是保证状态不重复以满足渡河的次数尽量少*）,j,1,5;
Ift=0,PrintNoResult;
Break;
bi+1=3,3si+1;
Printsi,”,ci+1,”,bi+1;
Ifsi+1=0,0,Break,i,1,12,j,1,5;
Ifsi+1=0,0,Break,i,1,12,程序运算结果如下：
此岸船上对岸3,30,20,23,10,10,13,20,20,33,00,10,23,12,02,21,11,11,12,22,03,10,20,13,00,30,23,20,10,13,10,20,23,3,三、结果分析1上述程序中五个允许的决策或十个允许的状态顺序进行整时，可以得到不同的结果。
例如把d1=0，2，d3=1，1调整成d1=1，1，d3=0，2就会得到安全渡河的另一个方案。
需要注意的是进行调整时也可能得不到安全渡河的方案。
2该模型求解方法有多种，例如可以利用动态规划的方法来求解，也可以利用图解的方法来求解。
3这种适当设置状态和决策，并确定状态转移规律是有效地解决很广泛的一类问题的建模方法。
4.不易找到所有的解。
可以得出经过11步的渡河就能达到安全渡河的目标及满足渡河次数尽量少的条件。
这11步的渡河方案就是上面程序运行结果中船上下面的那一列。
渡河的整个过程如下所示：
设N和K分别表示商人数目和随从数目，如下图所示，图中L和R表示左岸和右岸，,B=,有船无船,ST.MCM+C2,1、三维向量表示，即（ML，CL，BL），其中0ML，CL3，BL0,1此时问题描述简化为（3，3，1）（0，0，0）状态空间的总状态数为442=32，根据约束条件的要求，可以看出只有20个合法状态。
再进一步分析后，,又发现有4个合法状态是不可能达到的。
因此实际的状态空间仅由16个状态构成。
下表列出分析结果：
（0，0，1）达不到（0，1，1）（0，2，1）（0，3，1）（1，0，1）不合法（1，1，1）（1，2，1）不合法（1，3，1）不合法（2，0，1）不合法（2，1，1）不合法（2，2，1）（2，3，1）不合法（3，0，1）达不到（3，1，1）（3，2，1）（3，3，1）（0，0，0）（0，1，0）（0，2，0）（0，3，0）达不到（1，0，0）不合法（1，1，0）（1，2，0）不合法（1，3，0）不合法（2，0，0）不合法（2，1，0）不合法（2，2，0）（2，3，0）不合法（3，0，0）（3，1，0）（3，2，0）（3，3，0）达不到,2、规则集合：
由摆渡操作组成。
该问题主要有两种操作：
pmc操作（规定为从左岸划向右岸）和qmc操作（从右岸划向左岸）。
每次摆渡操作，船上人数有五种组合，因而组成有10条规则的集合。
if（ML，CL，BL=1）then（ML-1，CL，BL-1）P10操作if（ML，CL，BL=1）then（ML，CL-1，BL-1）P01操作if（ML，CL，BL=1）then（ML-1，CL-1，BL-1）P11操作if（ML，CL，BL=1）then（ML-2，CL，BL-1）P20操作if（ML，CL，BL=1）then（ML，CL-2，BL-1）P02操作if（ML，CL，BL=0）then（ML+1，CL，BL+1）q10操作if（ML，CL，BL=0）then（ML，CL+1，BL+1）q01操作if（ML，CL，BL=0）then（ML+1，CL+1，BL+1）q11操作if（ML，CL，BL=0）then（ML+2，CL，BL+1）q20操作if（ML，CL，BL=0）then（ML，CL+2，BL+1）q02操作,3、状态空间图求解,（3，3，1）,（2，2，0）,（3，1，0）,（3，2，0）,（3，2，1）,（3，0，0）,（3，1，1）,（1，1，0）,（2，2，1）,（0，2，0）,（0，3，1）,（0，1，0）,（3，3，1）,（0，0，0）,（3，3，1）,（0，1，1）,4、结果分析状态空间图是一个有向图，其节点可表示问题的各种状态，节点之间的弧线代表一些操作，它们可把一种状态导向另一种状态。
这样建立起来的状态空间图描述了问题所有可能出现的状态及状态和操作之间的关系，因而可以较直观地看出问题的解路径及其性质。
实际上只有问题空间规模较小的问题才可能作出状态空间图。
从状态空间图看出解序列相当之多，但最短解序列只有4个，均由11次操作构成。
若给定其中任意两个状态分别作为初始状态和目标状态，就可以立即找出对应的解序列来。
在一般情况下，求解过程就是对状态空间搜索出一条解路径的过程!
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