届九年级数学中考总复习直角三角形知识讲解提高Word文档格式.doc
《届九年级数学中考总复习直角三角形知识讲解提高Word文档格式.doc》由会员分享,可在线阅读,更多相关《届九年级数学中考总复习直角三角形知识讲解提高Word文档格式.doc(9页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
7、24、25;
9、40、41……
②如果是勾股数,当为正整数时,以为三角形的三边长,此三角形必为直角三角形.
③(是自然数)是直角三角形的三条边长;
④(是自然数)是直角三角形的三条边长;
⑤(是自然数)是直角三角形的三条边长.
要点二、勾股定理的证明
方法一:
将四个全等的直角三角形拼成如图
(1)所示的正方形.
图
(1)中,所以.
方法二:
将四个全等的直角三角形拼成如图
(2)所示的正方形.
图
(2)中,所以.
方法三:
如图(3)所示,将两个直角三角形拼成直角梯形.
,所以.
要点三、勾股定理的逆定理
如果三角形的三条边长,满足,那么这个三角形是直角三角形.
(1)勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.
(2)勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”,是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.
要点四、如何判定一个三角形是否是直角三角形
(1)首先确定最大边(如).
(2)验证与是否具有相等关系.若,则△ABC是∠C=90°
的直角三角形;
若,则△ABC不是直角三角形.
当时,此三角形为钝角三角形;
当时,此三角形为锐角三角形,其中为三角形的最大边.
要点五、互逆命题与互逆定理
如果两个命题的题设与结论正好相反,则称它们为互逆命题.如果把其中一个叫原命题,则另一个叫做它的逆命题.
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它也是一个定理,这两个定理称为互逆定理,其中一个定理称为另一个定理的逆定理.
原命题正确,逆命题未必正确;
原命题不正确,其逆命题也不一定错误;
正确的命题我们称为真命题,错误的命题我们称它为假命题.一个定理是真命题,每一个定理不一定有逆定理,如果这个定理存在着逆定理,则一定是真命题.
要点六、直角三角形全等的判定(HL)
在两个直角三角形中,有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可以简
称“斜边、直角边”或“HL”).这个判定方法是直角三角形所独有的,一般三角形不具备.
(1)“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等,由于其中含有直角这个特殊条件,所以三角形的形状和大小就确定了.
(2)判定两个直角三角形全等的方法共有5种:
SAS、ASA、AAS、SSS、HL.证明两个直角三角形全等,首先考虑用斜边、直角边定理,再考虑用一般三角形全等的证明方法.
(3)应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件,书写时必须在两个三角形前加上“Rt”.
【典型例题】
类型一、勾股定理
1、已知直角三角形斜边长为2,周长为,求此三角形的面积.
【思路点拨】欲求直角三角形的面积,只需求两直角边之积,而由已知得两直角边之和为,结合勾股定理又得其平方和为4,于是可转化为用方程求解.
【答案与解析】
解:
设这个直角三角形的两直角边长分别为,则
即
将①两边平方,得③
③-②,得,所以
因此这个直角三角形的面积为.
【总结升华】此题通过设间接未知数,通过变形直接得出的值,而不需要分别求出的值.本题运用了方程思想解决问题.
2、(2015春•黔南州期末)长方形纸片ABCD中,AD=4cm,AB=10cm,按如图方式折叠,使点B与点D重合,折痕为EF,求DE的长.
【思路点拨】在折叠的过程中,BE=DE.从而设BE即可表示AE.在直角三角形ADE中,根据勾股定理列方程即可求解.
设DE=xcm,则BE=DE=x,AE=AB﹣BE=10﹣x,
△ADE中,DE2=AE2+AD2,即x2=(10﹣x)2+16.
∴x=(cm).
答:
DE的长为cm.
【总结升华】注意此类题中,要能够发现折叠的对应线段相等.
类型二、勾股定理的逆定理
3、如图所示,四边形ABCD中,AB⊥AD,AB=2,AD=,CD=3,BC=5,求∠ADC的度数.
∵AB⊥AD,∴∠A=90°
,
在Rt△ABD中,.
∴BD=4,
∴,可知∠ADB=30°
在△BDC中,,,
∴,∴∠BDC=90°
∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=30°
+90°
=120°
.
【总结升华】利用勾股定理的逆定理时,条件是三角形的三边长,结论是直角三角形,即由边的条件得到角的结论,所以在几何题中需要进行边角的转换时要联想勾股定理的逆定理.
举一反三:
【高清课堂勾股定理逆定理例4】
【变式1】△ABC三边满足,则△ABC是()
A.锐角三角形B.钝角三角形C.等腰三角形D.直角三角形
【答案】D;
提示:
由题意,,
因为,所以△ABC为直角三角形.
【变式2】
(2015春•厦门校级期末)在四边形ABCD中,AB=AD=2,∠A=60°
,BC=2,CD=4.求∠ADC的度数.
【答案】
连接BD,
∵AB=AD=2,∠A=60°
∴△ABD是等边三角形,
∴BD=2,∠ADB=60°
∵BC=2,CD=4,
则BD2+CD2=22+42=20,BC2=
(2)2=20,
∴BD2+CD2=BC2,
∴∠BDC=90°
∴∠ADC=150°
类型三、勾股定理、逆定理的实际应用
4、如图所示,在一棵树的10高的B处有两只猴子,一只爬下树走到离树20处的池塘A处,另外一只爬到树顶D后直接跃到A处,距离的直线计算,如果两只猴子所经过的距离相等,试问这棵树有多高?
【思路点拨】其中一只猴子从B→C→A共走了(10+20)=30,另一只猴子从B→D→A也共走了30,并且树垂直于地面,于是这个问题可化归到直角三角形中利用勾股定理解决.
设树高CD为,则BD=-10,AD=30-(-10)=40-,
在Rt△ACD中,,
解得:
=15.
这棵树高15.
【总结升华】本题利用距离相等用未知数来表示出DC和DA,然后利用勾股定理作等量关系列方程求解.
【变式】如图①,有一个圆柱,它的高等于12,底面半径等于3,在圆柱的底面A点有一只蚂蚁,它想吃到上底面上与A点相对的B点的食物,需要爬行的最短路程是多少?
(π取3)
如图②所示,由题意可得:
,
在Rt△AA′B中,根据勾股定理得:
则AB=15.
所以需要爬行的最短路程是15.
5、(2015春•武昌区期中)某港口位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口,各自沿一固定方向航行,“远航”号每小时航行16海里,“海天”号每小时航行12海里.它们离开港口1小时后相距20海里.如果知道“远航”号沿东北方向航行,能知道“海天”号沿哪个方向航行吗?
1小时“远航”号的航行距离:
OB=16×
1=16海里;
1小时“海天”号的航行距离:
OA=12×
1=12海里,
因为AB=20海里,
所以AB2=OB2+OA2,即202=162+122,
所以△OAB是直角三角形,
又因为∠1=45°
所以∠2=45°
故“海天”号沿西北方向航行或东南方向航行.
【总结升华】本题考查了勾股定理的逆定理,在应用勾股定理的逆定理时,应先认真分析所给边的大小关系,确定最大边后,再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系,进而作出判断.
类型四、原命题与逆命题
6、下列命题中,逆命题错误的是( )
A.平行四边形的对角线互相平分
B.有两对邻角互补的四边形是平行四边形
C.平行四边形的一组对边平行,另一组对边相等
D.两组对边分别相等的四边形是平行四边形
【答案】C;
【解析】
A的逆命题是:
对角线互相平分的四边形是平行四边形.由平行四边形的判定可知这是真命题;
B的逆命题是:
平行四边形的两对邻角互补,由平行四边形的性质可知这是真命题;
C的逆命题是:
一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形,也可能是等腰梯形,故是错误的;
D的逆命题是:
平行四边形的两组对边分别相等地,由平行四边形的性质可知这是真命题;
故选C.
【总结升华】分别写出每个命题的逆命题,再判断其真假即可.此题主要考查学生对逆命题的定义的理解,要求学生对基础知识牢固掌握.
【变式】下列命题中,逆命题是真命题的是( )
A.对顶角相等
B.如果两个实数相等,那么它们的平方数相等
C.等腰三角形两底角相等
D.两个全等三角形的对应角相等
相等的角是对顶角是假命题,故本选项错误,
如果两实数的平方相等,那么两实数相等是假命题,故本选项错误,
两底角相等的三角形是等腰三角形是真命题,故本选项正确,
对角线相等的两个三角形是全都三角形是假命题,故本选项错误,
类型五、直角三角形全等的判定——“HL”
7、已知:
如图,AB=AC,点D是BC的中点,AB平分∠DAE,AE⊥BE,垂足为E.
求证:
AD=AE.
【思路点拨】证明线段相等,可证线段所在的三角形全等,结合本题,证△ADB≌△AEB即可.
证明:
∵AB=AC,点D是BC的中点,
∴∠ADB=90°
∵AE⊥EB,
∴∠E=∠ADB=90°
∵AB平分∠DAE,
∴∠EAB=∠DAB;
在△ADB与△AEB中,
∴△ADB≌△AEB(AAS),
∴AD=AE.
【总结升华】此题考查线段相等,可以通过全等三角形来证明,要判定两个三角形全等,先根据已知条件或求证的结论确定三角形,然后再根据三角形全等的判定方法,看缺什么条件,再去证什么条件.
8、如图,已知在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°
,分别过B、C向过A的直线作垂线,垂足分别为E、F.
(1)如图①过A的直线与斜边BC不相交时,求证:
EF=BE+CF;
(2)如图②过A的直线与斜边BC相交时,其他条件不变,若BE=10,CF=3,求:
FE长.
(1)证明:
∵BE⊥EA,CF⊥AF,
∴∠BAC=∠BEA=∠CFE=90°
∴∠EAB+∠CAF=90°
,∠EBA+∠EAB=90°
∴∠CAF=∠EBA,
在△ABE和△CAF中,
∠BEA=∠AFC=90°
,∠EBA=∠CAF,AB=AC,
∴△ABE≌△CAF.
∴EA=FC,BE=AF.