将军饮马系列---最值问题Word格式文档下载.doc

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古希腊亚里山大里亚城有一位久负盛名的学者，名叫海伦．

有一天，有位将军不远千里专程前来向海伦求教一个百思不得其解的问题：

如图，将军从出发到河边饮马，然后再到地军营视察，显然有许多走法．问怎样走路线最短呢？

精通数理的海伦稍加思索，便作了完善的回答．这个问题后来被人们称作“将军饮马”问题．

下面我们来看看数学家是怎样解决的．海伦发现这是一个求折线和最短的数学问题．

根据公理：

连接两点的所有线中，线段最短．

若在河流的异侧，直接连接，与的交点即为所求．

若在河流的同侧，根据两点间线段最短，那么显然要把折线变成直线再解．

海伦解决本问题时，是利用作对称点把折线问题转化成直线

现在人们把凡是用对称点来实现解题的思想方法叫对称原理，即轴对称思想

轴对称及其性质：

把一个图形沿某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形．这条直线就是它的对称轴．这时我们就说这个图形关于这条直线（或轴）对称．如等腰是轴对称图形．

把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就是说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．

如下图，与关于直线对称，叫做对称轴．和，和，和是对称点．

轴对称的两个图形有如下性质：

①关于某条直线对称的两个图形是全等形；

②对称轴是任何一对对应点所连线的垂直平分线；

③两个图形关于某条直线对称，如果他们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上．

线段垂直平分线：

垂直平分线上点到线段两个端点的距离相等；

到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上．

当已知条件出现了等腰三角形、角平分线、高，或者求几条折线段的最小值等情况，通常考虑作轴对称变换，以“补齐”图形，集中条件。

所有的轴对称图形（角、线、等腰三角形、等边三角形、菱形、矩形、正方形、等腰梯形、圆、坐标轴），都可以考察“将军饮马”问题。

考察知识点：

“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。

解题总思路：

找点关于线的对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。

构建“对称模型”实现转化

常见模型：

（1）最小

（2）①最小

②最大

【变形】异侧时，也可以问：

在直线上是否存在一点使的直线为的角平分线

（3）周长最短

类型一类型二类型三

（4）“过河”最短距离

类型一类型二

（5）线段和最小

（6）在直角坐标系里的运用

同步练习

【例1】尺规作图，作线段的垂直平分线，作的角平分线．

【变式练习】已知：

如图，及两点、．求作：

点，使得，且点到两边所在的直线的距离相等．

【例2】已知点在直线外，点为直线上的一个动点，探究是否存在一个定点，当点在直线上运动时，点与、两点的距离总相等，如果存在，请作出定点；

若不存在，请说明理由．

【例3】如图，在公路的同旁有两个仓库、，现需要建一货物中转站，要求到、两仓库的距离和最短，这个中转站应建在公路旁的哪个位置比较合理？

【变式练习】如图，、为的边、上的两个定点，在上求一点，使的周长最短．

【例4】如图，，角内有点，在角的两边有两点、（均不同于点），求作、，使得的周长的最小．

【例5】如图，在内部有点和点，同时能使，这时在直线上再取点，使从点到点及点的距离和为最小；

在直线上也取点，使从点到点和点的距离和也最小．证明：

．

【例6】已知如图，点在锐角的内部，在边上求作一点，使点到点的距离与点到的边的距离和最小．

【例7】已知：

、两点在直线的同侧，在上求作一点，使得最小值和最大值．

【变式练习】

（07年三帆中学期中试题）如图，正方形中，，是上的一点，且，是上的一动点．

求

（1）的最小值与最大值．

（2）的最小值与最大值．

【例8】如图，分别是边上的点（均不与点重合），记的周长为，请作出周长最小的．

课后练习

【习题1】如图，在等腰中，，的上一点，满足，在斜边上求作一点使得长度之和最小．

【习题2】如图，菱形的两条对角线分别长和，点、分别是变、的中点，在对角线求作一点使得的值最小．

【习题3】如图，在锐角中，，°

，的平分线交于点，、

分别是和上的动点，则的最小值是____．

【习题4】已知⊙的直径为，的度数为°

，点是的中点，在直径上找一点，使的值最小，并求的最小值．

【习题5】如图所示，正方形的面积为，是等边三角形，点在正方形

内，在对角线上有一点，使的和最小，则这个最小值为（ ）

．．．．

【习题6】如图，在平面直角坐标系中，直线是第一、三象限的角平分线．

实验与探究：

（1）由图观察易知关于直线的对称点的坐标为，请在图中分别标关于直线的对称点的位置，并写出它们的坐标：

_________；

归纳与发现：

（2）结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：

坐标平面内任一点关于第一、三象限的角平分线的对称点的坐标为_____（不必证明）；

运用与拓广：

（3）已知两点，试在直线上找一点，使点到两点的距离之和最小．

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