实际问题与二次函数知识讲解(提高)Word文件下载.doc
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要点诠释:
常见的问题:
求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系,把实际问题转化为函数问题,列出相关的函数关系式.
要点二、建立二次函数模型求解实际问题
一般步骤:
(1)恰当地建立直角坐标系;
(2)将已知条件转化为点的坐标;
(3)合理地设出所求函数关系式;
(4)代入已知条件或点的坐标,求出关系式;
(5)利用关系式求解问题.
(1)利用二次函数解决实际问题,要建立数学模型,即把实际问题转化为二次函数问题,利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系,建立函数关系式,再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.
(2)对于本节的学习,应由低到高处理好如下三个方面的问题:
①首先必须了解二次函数的基本性质;
②学会从实际问题中建立二次函数的模型;
③借助二次函数的性质来解决实际问题.
【典型例题】
类型一、利用二次函数求实际问题中的最大(小)值
1.某水产品养殖企业为指导该企业某种水产品的养殖和销售,对历年市场行情和水产品养殖情况进行了调查.调查发现这种水产品的每千克售价y1(元)与销售月份x(月)满足关系式,而其每千克成本(元)与销售月份x(月)满足的函数关系如图所示.
(1)试确定b,c的值;
(2)求出这种水产品每千克的利润y(元)与销售月份x(月)之间的函数关系式;
(不要求指出x的取值范围)
(3)“五一”之前,几月份出售这种水产品每千克的利润最大?
最大利润是多少?
【答案与解析】
(1)把(3,25),(4,24)代入中,得
解方程组得
(2)根据题意,得
.
所以y与x的函数关系式为.
(3)由
(2)得,,因为,所以当x<6时,y随x的增大而增大,所以“五一”之前,四月份出售这种水产品每千克的利润最大,最大利润为10.5元.
【点评】在用二次函数知识解决实际问题时,有的同学易忽略自变量的取值范围,有的题目结果中的值看上去有意义,但不一定符合题意,有的题目本身就隐含着对自变量的限制,常常考虑不周而造成错解.
举一反三:
【变式】某服装公司试销一种成本为每件50元的T恤衫,规定试销时的销售单价不低于成本价,又不高于每件70元,试销中销售量(件)与销售单价(元)的关系可以近似的看作一次函数(如图).
(1)求与之间的函数关系式;
(2)设公司获得的总利润为元,求与之间的函数关系式,并写出自变量的取值范围;
根据题意判断:
当取何值时,的值最大?
最大值是多少?
(总利润总销售额总成本)
【答案】
(1)设与的函数关系式为:
,
∵函数图象经过点(60,400)和(70,300)
∴解得
∴
(2)
(50≤x≤70)
∵,<0
∴函数图象开口向下,
对称轴是直线x=75
∵50≤x≤70,此时y随x的增大而增大,
∴当x=70时,.
类型二、利用二次函数解决抛物线形建筑问题
2.某工厂大门是抛物线形水泥建筑,大门地面宽为4m,顶部距离地面的高度为4.4m,现有一辆满载货物的汽车欲通大门,其装货宽度为2.4m,该车要想过此门,装货后
的最大高度应是多少m?
【思路点拨】
因为校门是抛物线形,不妨将这一问题转化为二次函数进行研究,建立适当的直角坐标系,将已知数据转化为点的坐标,从而确定函数关系式,再根据关系式求高.
解:
建立如图平面直角坐标系:
设抛物线的解析式为y=ax2,
由题意得:
点A的坐标为(2,﹣4.4),
∴﹣4.4=4a,
解得:
a=﹣1.1,
∴抛物线的解析式为y=﹣1.1x2,
当x=1.2时,
y=﹣1.1×
1.44=﹣1.584,
∴线段OB的长为1.584米,
∴BC=4.4﹣1.584=2.816米,
∴装货后的最大高度为2.816米,
故答案为:
2.816米.
【点评】利用二次函数解决抛物线形建筑问题一般步骤:
类型三、利用二次函数求跳水、投篮等实际问题
3.如图所示,一位运动员在距篮下4米处跳起投篮,球运行的路线是抛物线,当球运行的水平距离为2.5m时,达到最大高度3.5m,然后准确落入篮筐,已知篮筐中心到地面的距离为3.05m,若该运动员身高1.8m,在这次跳投中,球在头顶上方0.25m处出手,问:
球出手时,他跳离地面的高度是多少?
如图所示,在直角坐标系中,点A(1.5,3.05)表示篮筐,点B(0,3.5)表示球运行的最大高度,点C表示球员篮球出手处,其横坐标为-2.5,
设C点的纵坐标为n,过点C、B、A所在的抛物线的解析式为,由于抛物线开口向下,则点B(0,3.5)为顶点坐标,∴.
∵抛物线经过点A(1.5,3.05),
∴3.05=a·
1.52+3.5,
∴.
∴抛物线解析式为.
∴,
∴n=2.25.
∴球出手时,球员跳离地面的高度为2.25-(1.8+0.25)=0.20(米).
【点评】首先要建立适当的平面直角坐标系,构造函数模型,将已知数据转化为点的坐标,然后利用待定系数法求出函数解析式,再利用解析式求出抛物线上已知横坐标的点的纵坐标,结合已知条件,得到实际问题的解.
类型四、利用二次函数求图形的边长、面积等问题
4.一条隧道的截面如图所示,它的上部是一个以AD为直径的半圆O,下部是一个矩形ABCD.
(1)当AD=4米时,求隧道截面上部半圆O的面积;
(2)已知矩形ABCD相邻两边之和为8米,半圆O的半径为r米.
①求隧道截面的面积S(m)2关于半径r(m)的函数关系式(不要求写出r的取值范围);
②若2米≤CD≤3米,利用函数图象求隧道截面的面积S的最大值.(π取3.14,结果精确到0.1米)
①根据几何图形的面积公式可求关于面积的函数解析式;
②利用二次函数的有关性质,在自变量的取值范围内确定面积的最大值.
(1)(米);
(2)①∵AD=2r,AD+CD=8,∴CD=8-AD=8-2r,
∴.
②由①知,CD=8-2r,又∵1.2米≤CD≤3米,
∴2≤8-2r≤3,∴2.5≤r≤3.
由①知,.
∵-2.43<0,∴函数图象为开口向下的抛物线,函数图象对称轴,
又2.5≤r≤3,由函数图象知,在对称轴左侧S随r的增大而增大,故当r=3时,S有最大值.
(米).
【点评】解此类问题,一般先应用几何图形的面积公式,写出图形的面积与边长之间的关系,再用配方法或公式法求顶点坐标,结合二次函数性质与自变量的取值范围确定最大面积.
【变式】如图,矩形纸片ABCD,AD=8,AB=10,点F在AB上,分别以AF、FB为边裁出的两个小正方形纸片面积和S的取值范围是 .
【答案】50≤S≤68.
【解析】解:
设AF=x,则BF=10﹣x,由题意,得
S=x2+(10﹣x)2,
S=2x2﹣20x+100,
S=2(x﹣5)2+50.
∴a=2>0,
∴x=5时,S最小=50.
∵2≤x≤8,
当x=2时,S=68,
当x=8时,S=68.
∴50≤S≤68.
50≤S≤68.