因式分解讲义文档格式.doc

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提公因式法

1、提公因式法分解因式的一般形式，如:

ma+mb+mc=m（a+b+c）.

这里的字母a、b、c、m可以是一个系数不为1的、多字母的、幂指数大于1的整式.

2、提公因式法分解因式，关键在于观察、发现多项式的公因式.

3、找公因式的一般步骤

（1）若各项系数是整系数，取系数的最大公约数；

（2）取相同的字母，字母的指数取较低的；

（3）取相同的多项式，多项式的指数取较低的.

（4）所有这些因式的乘积即为公因式.

4、注意事项：

多项式的公因式应是各项所共有的最高因式，公因式的系数原则上是不定的。

但对整系数的多项式，其公因式的系数一般取所有系数的最大公约数；

对分数系数的多项式，其公因式的系数一般取所有分母的最小公倍数分之一；

公因式的字母取各项共有的字母，各相同字母的指数取其次数最低的。

公因式可以是单项式也可以是多项式，有时要进行适当变形才能出现公因式。

题型展示：

1、将下列各式分解因式：

（1）;

（2）;

（3）;

（4）;

2、下列分解因式结果正确的是（）

A.B.

C.D.

提高练习

1、如果b－a=－6，ab=7，那么的值是（）

A.42 B.－42

C.13 D.－13

2、若4x3－6x2=2x2（2x+k），则k=________.

3、.2（a－b）3－4（b－a）2=2（a－b）2（________）.

4、.36×

29－12×

33=________.

5、分解因式

（1）

（2）

6.计算与求值

29×

20.03+72×

20.03+13×

20.03－14×

20.03.

7、.先化简，再求值

a（8－a）+b（a－8）－c（8－a），其中a=1，b=，c=.

8、已知，，求的值.

方法二·

公式法

【知识精读】

把乘法公式反过来，就可以得到因式分解的公式。

主要有：

平方差公式

完全平方公式

立方和、立方差公式

运用公式法分解因式的关键是要弄清各个公式的形式和特点，熟练地掌握公式。

但有时需要经过适当的组合、变形后，方可使用公式。

用公式法因式分解在求代数式的值，解方程、几何综合题中也有广泛的应用。

因此，正确掌握公式法因式分解，熟练灵活地运用它，对今后的学习很有帮助。

下面我们就来学习用公式法进行因式分解

例1.已知：

，

求的值。

解：

原式

说明：

本题属于条件求值问题，解题时没有把条件直接代入代数式求值，而是把代数式因式分解，变形后再把条件带入，从而简化计算过程。

例2.已知，

求证：

证明：

把代入上式，

可得，即或或

若，则，

若或，同理也有

利用补充公式确定的值，命题得证。

例3.若，求的值。

且

又

两式相减得

所以

说明：

按常规需求出的值，此路行不通。

用因式分解变形已知条件，简化计算过程。

常见题型：

例1：

因式分解：

________。

因式分解时，先看有没有公因式。

此题应先提取公因式，再用平方差公式分解彻底。

例2：

分解因式：

_________。

先提取公因式，再用完全平方公式分解彻底。

1.利用提公因式法简化计算过程

例：

计算

2.分解因式：

（1）

（2）（n为正整数）

（3）

3.计算：

的结果是（）

A. B. C. D.

方法三·

分组分解法

把各项适当分组，先使分解因式能分组进行，再使分解因式在各组之间进行．分组时要用到添括号：

括号前是“+”号，括到括号里的各项都不变符号；

括号前面是“-”号，括到括号里的各项都改变符号

分组分解法的原则是分组后可以直接提公因式，或者可以直接运用公式。

使用这种方法的关键在于分组适当，而在分组时，必须有预见性。

能预见到下一步能继续分解。

而“预见”源于细致的“观察”，分析多项式的特点，恰当的分组是分组分解法的关键。

应用分组分解法因式分解，不仅可以考察提公因式法，公式法，同时它在代数式的化简，求值及一元二次方程，函数等学习中也有重要作用。

例1.分解因式：

观察此题，直接分解比较困难，不妨先去括号，再分组，把4mn分成2mn和2mn，配成完全平方和平方差公式。

例2.已知：

，求ab+cd的值。

ab+cd=

首先要充分利用已知条件中的1（任何数乘以1，其值不变），其次利用分解因式将式子变形成含有ac+bd因式乘积的形式，由ac+bd=0可算出结果。

例3.分解因式：

分析：

此题无法用常规思路分解，需拆添项。

观察多项式发现当x=1时，它的值为0，这就意味着的一个因式，因此变形的目的是凑这个因式。

解一（拆项）：

解二（添项）：

拆添项法也是分解因式的一种常见方法，请同学们试拆一次项和常数项，看看是否可解？

常见题型

例1.分解因式：

_____________。

观察此题是四项式，应采用分组分解法，中间两项虽符合平方差公式，但搭配在一起不能分解到底，应把后三项结合在一起，再应用完全平方公式和平方差公式。

例2．分解因式：

____________

前两项符合平方差公式，把后两项结合，看成整体提取公因式。

分组的目的是能够继续分解。

1.填空题：

2.已知：

方法四·

十字相乘法

对于首项系数是1的二次三项式的十字相乘法，重点是运用公式

进行因式分解。

掌握这种方法的关键是确定适合条件的两个数，即把常数项分解成两个数的积，且其和等于一次项系数。

对于二次三项（a、b、c都是整数，且）来说，如果存在四个整数满足，并且，那么二次三项式即可以分解为。

这里要确定四个常数，分析和尝试都要比首项系数是1的类型复杂，因此一般要借助画十字交叉线的办法来确定。

下面我们一起来学习用十字相乘法因式分解。

题型展示

例1.若能分解为两个一次因式的积，则m的值为（）

A.1 B.-1 C. D.2

-6可分解成或，因此，存在两种情况：

由

（1）可得：

，由

（1）可得：

故选择C。

对二元二次多项式分解因式时，要先观察其二次项能否分解成两个一次式乘积，再通过待定系数法确定其系数，这是一种常用的方法。

a、b、c为互不相等的数，且满足。

求证：

抓住已知条件，应用因式分解使命题得证。

例3.若有一因式。

求a，并将原式因式分解。

有一因式

∴当，即时，

由条件知，时多项式的值为零，代入求得a，再利用原式有一个因式是，分解时尽量出现，从而分解彻底。

例1.把分解因式的结果是________________。

多项式有公因式，提取后又符合十字相乘法和公式法，继续分解彻底。

例2.：

_______________

分解系数时一定要注意符号，否则由于不慎将造成错误。

（1）

（2）

（3）

小结：

本节课主要讲解了因式分解的四种常用方法：

提公因式、公式法、分组分解法、十字相乘法，以及常见题中常出现的因式分解的题型如何使用这四种方法的讲解。

如何运用这四种方法是本节课的重点

课后作业

1、已知：

，求的值。

2、

3、

4、：

5、

6、已知：

7、因式分解

（1）a3－a2－2a

（2）m2－n2－m+n

（3）3a2+bc－3ac-ab（4）9－x2+2xy－y2

（5）2x2－3x+1（6）2x2+5xy+2y2　　

（7）10a（x－y）2－5b（y－x）（8）x3（2x－y）－2x＋y

（9）.2ax－10ay＋5by-bx（10）x5y－9xy5

（11）－4x2-2xy＋2y2（12）4a－a5

（13）x2－4x-5

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