四点共圆Word格式文档下载.docx
《四点共圆Word格式文档下载.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《四点共圆Word格式文档下载.docx(9页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
PC
∴(PB+AB)·
PB=(PC+CD)·
∴(BC+2)·
BC=(2BC+1)·
2BC
∴BC=2-2
例2:
如图,正方形ABCD的面积为5,E、F分别为CD、DA的中点,BE、CF相交于P,
求AP的长
连接BF。
∵DF=CE,CD=BC,∠CDF=∠BCE∴△CDF≌△BCE
∴∠CFD=∠BEC∵∠DCF+∠CFD=90°
∴∠DCF+∠BEC=90°
∴∠EPC=90°
又∠BAF=90°
∴∠EPC+∠BAF=180°
∴F、A、B、P四点共圆∴AP·
BF=PF·
AB+AF·
PB
∵△CDF∽△CPE∴CD:
CP=CF:
CE=DF:
PE
∴5:
CP=52:
52=52:
∴CP=1,PE=∴PF=CF-CP=-1=,PB=BE-PE=-=2
∴AP×
=×
5+52×
2,∴AP=5
例3:
如图,四边形ABCD内接于⊙O,CB=CD=4,AC与BD相交于E,AE=6,线段BE和DE的长都是正整数,求BD的长
解:
∵=∴∠BDC=∠DBC
∵∠BAC=∠BDC∴∠BAC=∠DBC
又∠ACB=∠BCE∴△ABC∽△BEC
∴AC:
BC=BC:
EC∴(AE+EC):
EC
即(6+EC):
4=4:
EC∴EC=2
∵AE·
EC=EB·
ED即6×
2=EB·
ED
∴EB·
ED=12
∵线段EB和ED的长是正整数,且三角形两边之和大于第三边
∴只能是EB=3,ED=4或EB=4,ED=3
∴BD的长是7
例4:
如图,OQ⊥AB,O为△ABC外接圆的圆心,F为直线OQ与AB的交点,BC与OQ交于P点,A、C、Q三点共线,求证:
OA2=OP·
OQ
证明:
延长OF交⊙O于E,连接AP、OB
∵OF⊥AB,∴AF=BF
∴PA=PB又OA=OB,OP=OP
∴△AOP≌△BOP
∴∠APO=∠BPO
∵OF⊥AB∴==
∴∠AOF=∠AOB,又∠ACB=∠AOB
∴∠AOF=∠ACB
∴A、O、P、C四点共圆,∴∠OAQ=∠CPQ
∵∠CPQ=∠BPO,∴∠OAQ=∠BPO
又∠APO=∠BPO,∴∠OAQ=∠APO
又∠AOQ=∠POA,∴△OAQ∽△OPA
∴OA:
OP=OQ:
OA,∴OA2=OP·
例5:
如图,P是⊙O外一点,PA与⊙O切于点A,PBC是⊙O的割线,AD⊥PO于D,
求证:
PB:
BD=PC:
CD
证明:
过点B作BE∥CD交PO于E,连接OA、OB、OC
∵PA是⊙O的切线,∴PA⊥OA
又AD⊥PO,∴PA2=PD·
PO
∵PA是⊙O的切线,∴PA2=PB·
∵BE∥CD
∴∠BED=∠CDO
∴∠BDE=∠BED
∴BD=BE
∴PB:
BE=PC:
∴PD·
PO=PB·
∴B、C、O、D四点共圆,
∴∠BDE=∠BCO
∵OB=OC,
∴∠BCO=∠CBO,
∴∠BDE=∠CBO
又∵∠CBO=∠CDO,
∴∠BDE=∠CDO
例6:
如图,直线AB、AC与⊙O分别相切于B、C两点,P为圆上一点,P到AB、AC的距离分别为6cm、4cm,求P到BC的距离
连接PB、PC、ME、NE
∵PM⊥AB,PE⊥BC
∴∠PMB+∠PEB=180°
∴P、M、B、E四点共圆
∴∠PME=∠PBE
∴△PME∽△PEN
∴PM:
PE=PE:
PN
∴PE2=PM·
∴PE2=6×
4=24
∴PE=27
同理可证P、N、C、E四点共圆
∴∠NCP=∠NEP
∵AC是圆的切线
∴∠NCP=∠PBE
∴∠PME=∠NEP
同理可证∠PEM=∠PNE
例7:
在半⊙O中,AB为直径,直线CD交半圆于C、D,交AB延长线于M(MB<
MA,AC<
MD),设K是△AOC与△DOB的外接圆除点O外的另一个交点,求证:
∠MKO=90°
连接BC、BK、CK、AD,则
∠BMC=∠ACD-∠BAC
=∠ABD-∠OKC
=∠ODB-∠OKC
=∠OKB-∠OKC
=∠BKC
∴B、M、K、C四点共圆
∴∠MKO=∠MKB+∠OKB
=∠MCB+∠ODB
=∠BAD+∠ODB
=∠ADO+∠ODB
=90°
例8:
如图,在圆内接四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=60°
,AC=a,求:
四边形ABCD的面积(用a表示)
∵ABCD是圆O的内接四边形
∴AC·
BD=AB·
CD+AD·
BC
∵解:
∵AB=AD,∠BAD=60°
∴△ABD是等边三角形
∴AB=AD=BD
BD=BD·
CD+BD·
∴AC=BC+CD
∵∠ACB=∠ADB=60°
,
∠ACD=∠ABD=60°
∴S△ABC=(1/2)AC·
BC·
sin∠ACB=(1/2)AC·
sin60°
S△ADC=(1/2)AC·
CD·
sin∠ACD=(1/2)AC·
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC=(1/2)AC·
+(1/2)AC·
=(1/2)AC·
·
(BC+CD)
=(1/2)AC·
AC
=3a2/4
【对应练习】
一、选择题
1、设ABCD为圆内接四边形,现给出四个关系式:
(1)sinA=sinC;
(2)sinA+sinC=0;
(3)cosB+cosD=0;
(4)cosB=cosD;
其中总能成立的关系式的个数是(B)
A、一个;
B、两个;
C、三个;
D、四个;
2、下面的四边形有外接圆的一定是(C)
A、平行四边形;
B、梯形;
C、等腰梯形;
D、两个角互补的四边形;
3、四边形ABCD内接于圆,∠A:
∠B:
∠C=7:
6:
3,则∠D等于(B)
A、36º
;
B、72º
C、144º
D、54º
4、如图1,在四边形ABCD中,AB=BC=AC=AD,AH⊥CD于H,CP⊥BC交AH于P,若,AP=1,则BD等于(C)
A、;
B、2;
C、3;
D、;
5、对于命题:
①内角相等的圆内接五边形是正五边形;
②内角相等的圆内接四边形是正四边形。
以下四个结论
中正确的是(B)
A、①,②都对;
B、①对,②错;
C、①错,②对;
D、①,②都错;
二、填空题
6、如图2,△ABC中,∠B=60º
,AC=3cm,则△ABC的外接圆半径为3cm。
7、如图3,△ABC中,∠ACB=65º
,BD⊥AC于D,CE⊥AB于E,则∠AED=65°
∠CED=25°
。
8、如图4,△ABC中,AD是∠BAC的平分线,延长AD交△ABC的外接圆于E,已知AB=,BD=,BE=,则AE=ac/b,DE=bc/a。
9、如图5,正方形ABCD的中心为O,面积为1989,P为正方形内一点,且∠OPB=45º
,PA:
PB=5:
14,则PB=42cm。
10、如图6,四边形ABCD内接于以AD为直径的圆中,若AB和BC的长度各为1,,那么AD=4。
(此题计算过于复杂!
)
三、解答题
11、如图7,在△ABC中,AD为高线,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F。
B、C、F、E四点共圆。
证法1:
在△ABD中,由射影定理得
AD2=AE·
AB
同理在△ACD中,由射影定理得
AD2=AF·
∴AE·
AB=AE·
∴B、C、F、E四点共圆
证法2:
连接EF
∵DE⊥AB,
∴∠AED=90°
∵DF⊥AC
∴∠AFD=90°
∴∠AED+∠AFD=180°
∴A、E、D、F四点共圆
∴∠ADE=∠AFE
∵∠EAD+∠B=90°
,∠EAD+∠ADE=90°
∴∠B=∠ADE
∴∠B=∠AFE
12、如图8,四边形ABCD内接于圆,AD、BC的延长线交于F,AB,DC的延长线交于E,EG平分∠AED交BC于M,交AD于G,FH平分∠AFB交AB于H,交CD于N。
EG⊥FH。
∵∠AGE=∠ADC+∠AED,
∠AHF=∠ABC+∠AFB
∴∠GKH=360°
-∠A-∠AGE-∠AHF
=360°
-∠A-(∠ADC+∠AED)-(∠ABC+∠AFB)
-∠A-(∠ADC+∠ABC)-(∠AED+∠AFB)
-∠A-180°
-(∠AED+∠AFB)
=180°
-∠A-(180°
-∠A-∠ADC+180°
-∠A-∠ABC)
-∠A-[360°
-2∠A-(∠ADC+∠ABC)]
+∠A+×
180°
=90°
∴EG⊥FH
∵A、B、C、D四点共圆
∴∠ECM=∠BAD
又∠FGM=∠BAD+∠AEG=∠BAD+∠AED
∠FMG=∠ECM+∠DEG=∠ECM+∠AED
∴∠FGM=∠FMG
∴FG=FM
又∠AFH=∠BFH
13、如图9,AB为圆的直径,AD、BC为圆的两条弦,且BD与AC相交于E。
AC·
AE+BD·
BE=AB2。
过点E作EF⊥AB于F,则
∵∠EFB=90°
,∠C=90°
∴∠EFB+∠C=180°
∴B、C、E、F四点共圆
AC=AF·
AB①
∵∠EFA=90°
,∠D=90°
∴∠EFA+∠D=90°
∴A、D、E、F四点共圆
∴BE·
BD=BF·
AB②
①+②得
AC+BE·
BD=AF·
AB+BF·
∵AF+BF=AB
BD=AB2
14、如图10,△ABC内接于圆,P为BC上一点,PD⊥AB于D,PE⊥BC于E,PF⊥AC于F。
D、E、F三点共线。
连接BP、CP、DE、EF
∵∠BDP=∠BEP=90°
∴B、D、E、F四点共圆
∴∠DEP+∠DBP=180°
∵∠CEP=90°
,∠CFP=90°
∴∠CEP+∠CFP=180°
∴P