四点共圆Word格式文档下载.docx
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PC
∴（PB+AB）·
PB=（PC+CD）·
∴（BC+2）·
BC=（2BC+1）·
2BC
∴BC=2-2
例2：
如图，正方形ABCD的面积为5，E、F分别为CD、DA的中点，BE、CF相交于P，
求AP的长
连接BF。
∵DF=CE，CD=BC，∠CDF=∠BCE∴△CDF≌△BCE
∴∠CFD=∠BEC∵∠DCF+∠CFD=90°
∴∠DCF+∠BEC=90°
∴∠EPC=90°
又∠BAF=90°
∴∠EPC+∠BAF=180°
∴F、A、B、P四点共圆∴AP·
BF=PF·
AB+AF·
PB
∵△CDF∽△CPE∴CD：
CP=CF：
CE=DF：
PE
∴5：
CP=52：
52=52：
∴CP=1，PE=∴PF=CF-CP=-1=，PB=BE-PE=-=2
∴AP×
=×
5+52×
2，∴AP=5
例3：
如图，四边形ABCD内接于⊙O，CB=CD=4，AC与BD相交于E，AE=6，线段BE和DE的长都是正整数，求BD的长
解:
∵=∴∠BDC=∠DBC
∵∠BAC=∠BDC∴∠BAC=∠DBC
又∠ACB=∠BCE∴△ABC∽△BEC
∴AC:
BC=BC:
EC∴（AE+EC）:
EC
即（6+EC）:
4=4:
EC∴EC=2
∵AE·
EC=EB·
ED即6×
2=EB·
ED
∴EB·
ED=12
∵线段EB和ED的长是正整数，且三角形两边之和大于第三边
∴只能是EB=3，ED=4或EB=4，ED=3
∴BD的长是7
例4：
如图，OQ⊥AB，O为△ABC外接圆的圆心，F为直线OQ与AB的交点，BC与OQ交于P点，A、C、Q三点共线，求证：
OA2=OP·
OQ
证明：
延长OF交⊙O于E，连接AP、OB
∵OF⊥AB，∴AF=BF
∴PA=PB又OA=OB，OP=OP
∴△AOP≌△BOP
∴∠APO=∠BPO
∵OF⊥AB∴==
∴∠AOF=∠AOB，又∠ACB=∠AOB
∴∠AOF=∠ACB
∴A、O、P、C四点共圆，∴∠OAQ=∠CPQ
∵∠CPQ=∠BPO，∴∠OAQ=∠BPO
又∠APO=∠BPO，∴∠OAQ=∠APO
又∠AOQ=∠POA，∴△OAQ∽△OPA
∴OA：
OP=OQ：
OA，∴OA2=OP·
例5：
如图，P是⊙O外一点，PA与⊙O切于点A，PBC是⊙O的割线，AD⊥PO于D，
求证：
PB：
BD=PC：
CD
证明:
过点B作BE∥CD交PO于E,连接OA、OB、OC
∵PA是⊙O的切线，∴PA⊥OA
又AD⊥PO，∴PA2=PD·
PO
∵PA是⊙O的切线，∴PA2=PB·
∵BE∥CD
∴∠BED=∠CDO
∴∠BDE=∠BED
∴BD=BE
∴PB：
BE=PC：
∴PD·
PO=PB·
∴B、C、O、D四点共圆，
∴∠BDE=∠BCO
∵OB=OC，
∴∠BCO=∠CBO，
∴∠BDE=∠CBO
又∵∠CBO=∠CDO，
∴∠BDE=∠CDO
例6：
如图，直线AB、AC与⊙O分别相切于B、C两点，P为圆上一点，P到AB、AC的距离分别为6cm、4cm，求P到BC的距离
连接PB、PC、ME、NE
∵PM⊥AB，PE⊥BC
∴∠PMB+∠PEB=180°
∴P、M、B、E四点共圆
∴∠PME=∠PBE
∴△PME∽△PEN
∴PM：
PE=PE：
PN
∴PE2=PM·
∴PE2=6×
4=24
∴PE=27
同理可证P、N、C、E四点共圆
∴∠NCP=∠NEP
∵AC是圆的切线
∴∠NCP=∠PBE
∴∠PME=∠NEP
同理可证∠PEM=∠PNE
例7：
在半⊙O中，AB为直径，直线CD交半圆于C、D，交AB延长线于M（MB<
MA，AC<
MD），设K是△AOC与△DOB的外接圆除点O外的另一个交点，求证：
∠MKO=90°
连接BC、BK、CK、AD，则
∠BMC=∠ACD-∠BAC
=∠ABD-∠OKC
=∠ODB-∠OKC
=∠OKB-∠OKC
=∠BKC
∴B、M、K、C四点共圆
∴∠MKO=∠MKB+∠OKB
=∠MCB+∠ODB
=∠BAD+∠ODB
=∠ADO+∠ODB
=90°
例8：
如图，在圆内接四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°
，AC=a，求：
四边形ABCD的面积（用a表示）
∵ABCD是圆O的内接四边形
∴AC·
BD=AB·
CD+AD·
BC
∵解：
∵AB=AD，∠BAD=60°
∴△ABD是等边三角形
∴AB=AD=BD
BD=BD·
CD+BD·
∴AC=BC+CD
∵∠ACB=∠ADB=60°
，
∠ACD=∠ABD=60°
∴S△ABC=（1/2）AC·
BC·
sin∠ACB=（1/2）AC·
sin60°
S△ADC=（1/2）AC·
CD·
sin∠ACD=（1/2）AC·
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC=（1/2）AC·
+（1/2）AC·
=（1/2）AC·
·
（BC+CD）
=（1/2）AC·
AC
=3a2/4
【对应练习】
一、选择题
1、设ABCD为圆内接四边形，现给出四个关系式：
（1）sinA=sinC；
（2）sinA+sinC=0；
（3）cosB+cosD=0；
（4）cosB=cosD；
其中总能成立的关系式的个数是（B）
A、一个；
B、两个；
C、三个；
D、四个；
2、下面的四边形有外接圆的一定是（C）
A、平行四边形；
B、梯形；
C、等腰梯形；
D、两个角互补的四边形；
3、四边形ABCD内接于圆，∠A：
∠B：
∠C=7：
6：
3，则∠D等于（B）
A、36º
；
B、72º
C、144º
D、54º
4、如图1，在四边形ABCD中，AB=BC=AC=AD，AH⊥CD于H，CP⊥BC交AH于P，若，AP=1，则BD等于（C）
A、；
B、2；
C、3；
D、；
5、对于命题：
①内角相等的圆内接五边形是正五边形；
②内角相等的圆内接四边形是正四边形。
以下四个结论
中正确的是（B）
A、①，②都对；
B、①对，②错；
C、①错，②对；
D、①，②都错；
二、填空题
6、如图2，△ABC中，∠B=60º
，AC=3cm，则△ABC的外接圆半径为3cm。
7、如图3，△ABC中，∠ACB=65º
，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，则∠AED=65°
∠CED=25°
。
8、如图4，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，延长AD交△ABC的外接圆于E，已知AB=，BD=，BE=，则AE=ac/b，DE＝bc/a。
9、如图5，正方形ABCD的中心为O，面积为1989，P为正方形内一点，且∠OPB=45º
，PA：
PB＝5：
14，则PB=42cm。
10、如图6，四边形ABCD内接于以AD为直径的圆中，若AB和BC的长度各为1，，那么AD=4。
（此题计算过于复杂！
）
三、解答题
11、如图7，在△ABC中，AD为高线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。
B、C、F、E四点共圆。
证法1：
在△ABD中，由射影定理得
AD2=AE·
AB
同理在△ACD中，由射影定理得
AD2=AF·
∴AE·
AB=AE·
∴B、C、F、E四点共圆
证法2：
连接EF
∵DE⊥AB，
∴∠AED=90°
∵DF⊥AC
∴∠AFD=90°
∴∠AED+∠AFD=180°
∴A、E、D、F四点共圆
∴∠ADE=∠AFE
∵∠EAD+∠B=90°
，∠EAD+∠ADE=90°
∴∠B=∠ADE
∴∠B=∠AFE
12、如图8，四边形ABCD内接于圆，AD、BC的延长线交于F，AB，DC的延长线交于E，EG平分∠AED交BC于M，交AD于G，FH平分∠AFB交AB于H，交CD于N。
EG⊥FH。
∵∠AGE=∠ADC+∠AED，
∠AHF=∠ABC+∠AFB
∴∠GKH=360°
-∠A-∠AGE-∠AHF
=360°
-∠A-（∠ADC+∠AED）-（∠ABC+∠AFB）
-∠A-（∠ADC+∠ABC）-（∠AED+∠AFB）
-∠A-180°
-（∠AED+∠AFB）
=180°
-∠A-（180°
-∠A-∠ADC+180°
-∠A-∠ABC）
-∠A-[360°
-2∠A-（∠ADC+∠ABC）]
+∠A+×
180°
=90°
∴EG⊥FH
∵A、B、C、D四点共圆
∴∠ECM=∠BAD
又∠FGM=∠BAD+∠AEG=∠BAD+∠AED
∠FMG=∠ECM+∠DEG=∠ECM+∠AED
∴∠FGM=∠FMG
∴FG=FM
又∠AFH=∠BFH
13、如图9，AB为圆的直径，AD、BC为圆的两条弦，且BD与AC相交于E。
AC·
AE+BD·
BE=AB2。
过点E作EF⊥AB于F，则
∵∠EFB=90°
，∠C=90°
∴∠EFB+∠C=180°
∴B、C、E、F四点共圆
AC=AF·
AB①
∵∠EFA=90°
，∠D=90°
∴∠EFA+∠D=90°
∴A、D、E、F四点共圆
∴BE·
BD=BF·
AB②
①+②得
AC+BE·
BD=AF·
AB+BF·
∵AF+BF=AB
BD=AB2
14、如图10，△ABC内接于圆，P为BC上一点，PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F。
D、E、F三点共线。
连接BP、CP、DE、EF
∵∠BDP=∠BEP=90°
∴B、D、E、F四点共圆
∴∠DEP+∠DBP=180°
∵∠CEP=90°
，∠CFP=90°
∴∠CEP+∠CFP=180°
∴P
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