三、解答题:
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17.(本小题满分12分)设Sn是数列{an}(n∈N*)的前n项和,且Sn=an+1,a1=2.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=(n∈N*),Tn表示数列{bn}(n∈N*)的前n项和,求证:
Tn<1(n∈N*).
18.(本小题满分12分)
为了调查学生数学学习的质量情况,某校从高二年级学生(其中男生与女生的人数之比为9:
11)中,采用分层抽样的方法抽取n名学生依期中考试的数学成绩进行统计.根据数学的分数取得了这n名同学的数据,按照以下区间分为八组:
①[30,45),②[45,60),③[60,75),④[75,90),
⑤[90,105),⑥[105,120),⑦[120,135),⑧[135,150)
得到频率分布直方图如右.已知抽取的学生中数学成绩少于60分的人数为5人.
(1)求n的值及频率分布直方图中第④组矩形条的高度;
(2)如果把“学生数学成绩不低于90分”作为是否达标的标准,对抽取的n名学生,完成下列2⨯2列联表:
.
据此资料,你是否认为“学生性别”与“数学成绩达标与否”有关?
(3)若从该校的高二年级学生中随机抽取3人,记这3人中成绩不低于120分的学生人数为X,求X的分布列、数学期望和方差.
附1:
“2⨯2列联表”的卡方统计量公式:
K2=
附2:
卡方(K2)统计量的概率分布表:
19.(本小题满分12分)
如图七面体ABCDEFG中,面ABCD,ADEF,
ABGF都是正方形.M,N分别是棱FG,DE的中点.
(1)求证:
直线MN∥平面CEG;
(2)在线段GC(包括端点)上是否存在点P,使直线MP与平面CEG所成的角恰好是30︒?
若存在,求GP:
GC的数值;若不存在,请说明理由.
20.(本小题满分12分)
长度为2的线段MN的两个端点分别在直线l1:
y=x和l2:
y=−x上滑动,P是MN的中点.动点P的轨迹是曲线E.
(1)求曲线E的方程;
(2)已知曲线E与x轴的负半轴交于点A,过A作两条直线L1,L2,且L1,L2与曲线E的异于A的交点分别为B,C.设L1,L2的斜率分别是k1,k2,若k1k2=1,求证:
由B、C确定的直线l经过定点.
21.(本小题满分12分)
已知函数f(x)=(x2−ax)lnx−x2+ax(常数a>0).
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)设f′(x)是f(x)的导函数,求证:
f′(x)<4e−alnx.
请考生在22、23两题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目下方的方框涂黑.
22.(本小题满分10分)选修4−4:
坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中,直线l过点P(−1,2)且与直线l′:
x+y−1=0垂直.以O为极点,Ox为极轴建立极坐标系(长度单位与直角坐标的长度单位一致),在极坐标系下,曲线C:
ρ=4sinθ.
(1)求直线l的参数方程,曲线C的直角坐标方程;
(2)设直线l与曲线C交于A,B两点,求+的值.
23.(本小题满分10分)选修4−5:
不等式选讲
设函数f(x)=2|x+1|+|2x−3|.
(1)解不等式f(x)≤7;
(2)若f(x)≥a+|4x−6|对任意x∈R恒成立,求实数a的取值范围.
2016~2017学年度下学期省六校协作体高二年级6月联考
数学理科(参考答案)
一、二题答案:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
A
B
B
A
D
B
C
D
D
C
C
A
−12
4p
(,)∪(,]
三、解答题答案及评分标准:
17.
(1)Sn=an+1……①
Sn+1=an+2……②
②−①Þan+1=an+2−an+1Þan+2=2an+1Þan+1=2an(n≥2)
取①中n=1Þa2=2
故当n≥2时,an=a23n−2=2n−1
从而an=……6分
(2)Sn=an+1=2nÞbn==−
故Tn=b1+b2+…+bn=−+−+…+−=1−<1……12分
18.
(1)“成绩少于60分”的频率=(+)·15Þn=100……2分
④的高度==300=1/125……4分
(2)按照“男生”和“女生”分层抽样
在容量为100的样本中,“男生”人数=´100=45,“女生”人数=´100=55
“达标”即“成绩不低于90分”的频数=(+++)´15´100=75
据此可填表如下:
……6分
据表可得卡方统计量K2=´´´´´==3.030<3.841
故有不足95%的把握认为“学生性别”与“数学成绩达标与否”有关
可以认为它们之间没有关联……8分
(3)“成绩不低于120分”的频率=(+)´15=
因高二年级的学生数远超过样本容量,故从该年级抽取任意1人的概率都可认为是
从而X~B(3,),则P(X=0)=()0()3=,P(X=1)=()1()2=
P(X=2)=()2()1=,P(X=3)=()3()0=
故X的分布列为:
……10分
数学期望E(X)=3´=……11分方差D(X)=3´´(1−)=……12分
19.
(1)取CE中点Q
ÞÞÞÞÌËGQ面CEGMN面CEGÞMN∥面CEG……6分
(2)易知AB,AD,AF两两垂直,如图建系A−xyz
设B(a,0,0),则C(a,a,0),E(0,a,a),G(a,0,a),M(,0,a)
则=(−a,0,a),=(0,−a,a)
设面CEG的法向量为=(x,y,z)
据·=·=0Þ,取=(1,1,1)
设=l
则=+=+l=(,0,0)+l(0,a,−a)=(,la,−la)
据题意,sin30°=××=l=Þl=
故存在点P,且GP:
GC=…………12分
20.
(1)设M(m,m),N(n,−n),P(x,y)
据|MN|=2Þ(m−n)2+2(m+n)2=8……①
因P是MN中点,故Þ……②
把②带入①得曲线E的方程为x2+=1……6分
(2)易知A(−1,0),设B(x1,y1),C(x2,y2),且设直线l的方程为y=kx+p
联立Þ(k2+4)x2+2pkx+p2−4=0Þ……③
又k1k2=×=×=1Þ(k2−1)x1x2+(pk−1)(x1+x2)+p2−1=0……④
把③带入④Þ3p2+2kp−5k2=0Þp=−k或p=k,因直线l不能过A点,故p=k舍,取p=−k
此时直线l的方程为y=k(x−),故直线l经过定点Q(,0)……12分
另证:
设B(x1,y1),C(x2,y2),且设直线L1的方程为y=k(x+1),L2的方程为y=(x+1)
联立Þ(k2+4)x2+2k2x+k2−4=0Þx1(−1)=ÞB(,)
同理得C(,)
从而知直线BC即直线l的斜率kBC=,进而得直线l的方程为y=x+
故直线l经过定点Q(,0)……12分
21.
(1)f′(x)=(x−a)lnx(x>0,a>0)
画出y=x−a(a>0)及y=lnx(x>0)的图象,它们的零点分别为a和1
①当0②当a=1时,f(x)在(0,+∞)↑……4分
③当a>1时,f(x)在(0,1)↑,(1,a)↓,(a,+∞)↑……6分
(2)因f′(x)=(x