八年级下册数学三角形证明总复习知识点教案学案练习4Word文档下载推荐.doc

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，则其他两个角的度数是

2、等腰三角形的一个角为100°

，则它的底角为（）

A.100°

B.40°

C.100°

或40°

D.不能确定

3、下列推理中，错误的是（　　）

A．∵∠A＝∠B＝∠C，∴△ABC是等边三角形B．∵AB＝AC，且∠B＝∠C，∴△ABC是等边三角形

C．∵∠A＝60°

，∠B＝60°

，∴△ABC是等边三角形D．∵AB＝AC，∠B＝60°

，∴△ABC是等边三角形

4、已知，如图ΔABC中，AB＝AC,D点在BC上，且BD＝AD，DC＝AC.将图中的等腰

三角形全都写出来.并求∠B的度数.

知识要点

知识点一：

与三角形全等相关的公理与推论

（1）与三角形全等相关的公理

①对应相等的两个三角形全等．（SSS）

②对应相等的两个三角形形全等．（SAS）

③对应相等的两个三角形全等．（ASA）

④全等三角形的相等、相等．

（2）与三角形全等相关的推论：

对应相等的两个三角形全等．（AAs）

“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”是判定三角形全等的条件，

特别提示：

判定三角形全等的各组条件描述的都是一个三角形中的三个元素，处在特定

位置时，与另一个三角形对应的三个元素相等时，才能判定这两个三角形全等，并且各

组条件中至少有一个是边相等的条件。

知识点二：

等腰三角形

1、等腰三角形的性质定理

（1）定理：

等腰三角形的两个相等，可简述为“等边对等角”．

（2）推论：

等腰三角形顶角的、底边上的、底边上的互相重合，

可简述为“三线合一”．

（1）“等边对等角”为证明两角相等提供了一条证题途径，注意两角需在同一三角形中。

（2）等腰三角形“三线合一”定理包含三项，只要其中一项成立，其余两项都成立，

例如，若知某线段为等腰三角形顶角的平分线，则该线段一定是这个等腰三角形底边上

的中线与高，“三线合一”常用来证明两个角相等、线段相等或线段垂直。

2、等腰三角形的判定定理

定理：

有相等的三角形是等腰三角形，可以简述为“等角对等边”．

（1）只有在同一个三角形中，才有“等角对等边”。

（2）“等角对等边”既可以判定等腰三角形，又可以为证线段相等的方法之一

知识点三：

等边三角形

性质定理：

等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于度。

判定定理：

有一个角是等边三角形．

特别提示:

（1）等边三角形具有特殊的轴对称性，三边的垂直平分线都是其对称轴，

三边上都有“三线合一”的性质。

（2）判定一个三角形为等边三角形的方法有三个

①三边都相等的三角形是等边三角形；

②三个角都相等的三角形是等边三角形；

③有一个角等于600的等腰三角形是等边三角形。

要根据题目条件、特征、灵活选择判定方法。

知识点四：

反证法

1、定义：

在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、公理、已证定理

或已知条件相矛盾的结论，从而证明命题的结论成立，这种证明方法称为反证法。

2、反证法的一般步骤为：

先假高命题的结论不成立，然后从假设出发，用正确的推论

方法，得出矛盾，从而肯定命题的结论成立。

（1）用反证法证题时，由于假设命题的结论不成立，就必须考虑结论的反

面所有可能出现的情况。

（2）反证法是一种很重要的证明方法，当我们直接证明一个

命题成立有困难时，就可以用反证法证明。

经典例题

类型一：

全等三角形

例1、（09深圳）如图9，四边形ABCD是正方形，BE⊥BF，BE=BF，

图9

A

D

B

C

E

G

F

EF与BC交于点G。

（1）求证：

△ABE≌△CBF；

（2）若∠ABE=50º

，求∠EGC的大小。

变式：

（湖南长沙）在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AC上一点，连接EB、ED．

（1）求证：

△BEC≌△DEC；

（2）延长BE交AD于F，当∠BED=120°

时，求∠EFD的度数．

例2、（10深圳）如图8，△AOB和△COD均为等腰直角三角形，

∠AOB＝∠COD＝90º

，D在AB上．

△AOC≌△BOD；

（2）若AD＝1，BD＝2，求CD的长．

图8

O

类型二：

等腰、等边三角形

例1、下列命题正确的是（）.

（A）等腰三角形是锐角三角形（B）两个等腰直角三角形全等

（C）真命题的逆命题一定是真命题（D）等腰三角形两腰上的高相等

变式1：

设M表示直角三角形，N表示等腰三角形，P表示等边三角形，Q表示等腰直

角三角形，则下列四个图中，能表示他们之间关系的是（）

变式2：

具有下列条件的两个等腰三角形，不能判断它们全等的是（）

A.顶角、一腰对应相等B.底边、一腰对应相等

C.两腰对应相等D.一底角、底边对应相等

例2、如果等腰三角形的一个角是80°

，那么另外两个角是____________度。

等腰三角形底角15°

，则等腰三角形的顶角、腰上的高与底边的夹角分别是____

△ABC中，AB=AC，CD为AB上的高，△ADC为等腰三角形，∠BCD为（）.

（A）67.5°

（B）22.5°

（C）45°

（D）67.5°

或22.5°

变式3：

（深圳2010）9．如图1，△ABC中，AC＝AD＝BD，

∠DAC＝80º

，则∠B的度数是（）

A．40º

B．35º

C．25º

D．20º

例3、如图1-C-6，在△ABC中，AB=AC，点D、E在BC上，且DB=EC，

求证：

∠BAD=∠CAE.

例4、如图，在△ABC中，AD是中线，BF交AD、AC于点E、F，且AF=EF。

BE=AC.

例5、（安徽中考）已知；

点O到△ABC的两边AB、AC所在直线的距离相等，且OB=OC。

（1）如图

（1），若点O在边BC上，求证：

AB=AC；

（2）如图

（2），若点O在△ABC的内部，求证：

（3）若点O在△ABC的外部，AB=AC成立吗？

请画图表示。

例7、如图1，点C为线段AB上一点，△ACM，△CBN是等边三角形，直线AN，MB

交于点F。

（1）求证：

AN=BM；

（2）求证：

△CEF为等边三角形；

（3）将△ACM绕点C按逆时针方向旋转90°

，其他条件不变，在图2中补出符合要求

的图形，并判断第

（1）、

（2）两小题的结论是否仍然成立。

2、直角三角形与线段垂直平分线、角平分线

1、不能确定两个三角形全等的条件是（）

A、三条边对应相等B、两角和一条边对应相等

C、两条边及其夹角对应相等D、两条边和一条边所对的角对应相等

2、某校计划修建一座既是中心对称又是轴对称图形的花坛，从学生中征集到的设计方案

有等腰三角形、等边三角形、等腰梯形、菱形等四种图案，你认为符合条件的是（）

A等腰三角形B等边三角形C等腰梯形D菱形

3、用反证法证明“三角形中至少有一个角不小于60°

时，假设“

”，则与“”矛盾，所以原命题正确．

4、已知直角△ABC中，AC=4，BC=2，则BC=。

5、常见勾股数有。

6、直角△ABC中，∠A=90°

，∠B：

∠C=4：

6，则∠B=，∠C=。

7、如图，在△ABC中，∠ACB=900，AB=5，BC=3，CD⊥AB于点D，求CD的长。

直角三角形

3、勾股定理及其逆定理定理：

直角三角形的的平方和等于的平方。

逆定理：

如果，那么这个三角形是直角三角形。

4、命题包括已知和结论两部分；

逆命题是将命题的已知和结论交换；

正确的逆命题就是逆定理。

5、直角三角形全等的判定定理

定理：

斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）。

（4）定理：

在直角三角形中，如果有一个角等于30°

，那么它所对的直角边等于的一半。

线段垂直平分线

（1）线段垂直平分线的性质及判定

性质：

线段垂直平分线上的点到的距离相等。

判定：

到一条线段距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。

（2）三角形三边的垂直平分线的性质

三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到的距离相等。

（外心）

（3）如何用尺规作图法作线段的垂直平分线分别以线段的两个端点A、B为圆心，以

大于AB的一半长为半径作弧，两弧交于点M、N；

作直线MN，则直线MN就是线段

AB的垂直平分线。

角平分线

（4）角平分线的性质及判定定理

角平分线上的点到的距离相等；