全等三角形拓展题---尖子生专用Word格式.docx
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②过点C作CH⊥BE于H
∵∠AEB＋∠AEC＝60°
，∠ABE＋∠BAD＝60°
∴∠BAD＝∠HEC
可证：
△ABD≌△EHC（AAS）
∴HE＝AD
易证：
△CFH≌△CFD（AAS）
∴FH＝DF
∴EF－FH＝AF－DF
即EF－AF＝2DF
（3）作图、证明的过程一样
AF－EF＝2DF
2016武珞路中学．（本题10分）已知等边三角形ABC，M为AB上的一点，以CM为边作等边△CMN，连接BN
（1）求证：
AM＝BN
（2）作MH⊥BC于H，连接AH．若AH∥MN，AM＝1，求CH的长
证明：
（1）△ACM≌△BCN（SAS）
（2）由
（1）知：
△ACM≌△BCN
∴∠CBN＝∠MAC＝60°
∴∠MBN＝60°
＋60°
＝120
过点M作MD∥BC交AC于D
∴△AMD为等边三角形
∴AM＝AD＝BN，∠ADM＝60°
∴BM＝CD，∠MDC＝120°
在△BMN和△DCM中
∴△BMN≌△DCM（SAS）
∴∠BMN＝∠DCM
∵AH∥MN
∴∠BMN＝∠BAH＝∠DCM
在△BAH和△ACM中
∴△BAH≌△ACM（ASA）
∴BH＝AM＝1
∴BM＝HC
∵MH⊥BC，∠MBH＝60°
∴BM＝2BH＝2
∴CH＝2
2016武珞路中学．（本题10分）如图1，已知等腰△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，以AB为边向外作等边△ABE，直线CE与直线AD交于点F
（1）若AF＝10，DF＝3，试求EF的长
（2）若以AB为边向内作等边△ABE，其它条件均不改变，请用尺规作图补全图2（保留作图痕迹），找出EF、AF、DF三者的数量关系，并证明你的结论
．解：
（1）设∠BAD＝∠CAD＝α，∠AEC＝∠ACE＝β
在△ACE中，2α＋60＋2β＝180°
连接BF
∴∠BFD＝∠CFD＝60°
∴BF＝CF＝2DF＝6
在EC上截取EG＝CF，连接AG
∴△AEG≌△ACF（SAS）
∴∠EAG＝∠CAF，AG＝AF
∴∠GAF＝60°
∴△AFG为等边三角形
∴EF＝EG＋GF＝AF＋FC＝10＋6＝16
（2）尺规作图：
先作AB的垂直平分线，再利用半径得到等边
设∠BAD＝∠CAD＝α，∠ACE＝∠AEC＝β
∴∠CAE＝180°
－2β
∴∠BAE＝2α＋180－2β＝60°
，β－α＝60°
∴∠BAD＝∠BEF
在AF上截取AG＝EF，连接BG
可知：
△ABG≌△EBF（SAS）
∴AG＝EF，BG＝BF
∴△BFG为等边三角形
∴AF＝AG＋GF＝BF＋EF＝2DF＋EF
武汉二中广雅中学2016．（本题12分）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α（0＜α＜60°
），以线段BC为边在△ABC内作等边△DBC
（1）如图1，∠ABD＝_______（用含α的式子表示）
（2）如图2，∠BCE＝150°
，∠ABE＝60°
，判断△ABE的形状并加以证明
（3）在
（2）的条件下，连接DE，若∠DEC＝45°
，求α的值
例1、
（1）在⊿ABC中，∠B=∠C，与⊿ABC全等的三角形有一个角是130°
，那么⊿ABC中与这个角对应的角是（）A、∠AB、∠BC、∠CD、∠B或∠C
（2）如图1，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他根据所学知识，
画出了一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（）
A、SSSB、SASC、AASD、ASA
（3）如图2，AD平分∠BAC，BF⊥AD于D，交AC于F，DE∥AC，
∠BAD=30°
，则∠BDE=______
例2、如图3，OM平分AOB，AO=OB，AD与BC相交于M。
求证：
AC=BD
例3、如图4，在⊿ABC中，∠B=∠C，D、E、F分别在AB、BC、AC上，且BD=CE，
∠DEF=∠B。
ED=EF
例4、如图5，△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC上，且BD=CF，BE=CD，G是EF的中点。
DG⊥EF．
例5、如图6，∠ABC=90°
，AB=BC，D为AC上一点，分别过C、A作BD的垂线，垂足分别为E、F．
EF=CE-AF．
例6、如图7，P为∠AOB平分线上一点，PC⊥OA于C，∠OAP+∠OBP=180°
，若OC=4cm。
求OA+OB的值。
例7、如图8，AD∥BC，∠1=∠2，∠3=÷
4，点E在线段DC上。
AD+BC=AB
例8、如图9，∠1=∠2，P为BN上一点，且PD⊥BC于D，AB+BC=2BD。
∠BPA+∠BCP=180°
巩固：
1、如图，点P为⊿AEF外一点，PA平分∠EAF，PD⊥EF于D，DE=DF，PB⊥AE于B。
AF-AB=BE
2、如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CA平分∠BCD，AE⊥BC于E，AF⊥CD交CD延长线于F．
BE=DF．
3、如图，CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=α，AD、BE交于点H，连CH。
⊿ACD≌⊿BCE；
（2）求证：
CH平分∠AHE；
（3）求∠CHE的度数（用含α的式子表示）
4、如图
（1），在⊿ABC中，∠BAC=90°
，AB=AC，AE是过点A的一条直线，且点B、C在AE的异侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E
（1）试说明：
BD=DE+CE．
（2）若直线AE绕A点旋转到图
（2）位置时（BD＜CE），其余条件不变，问BD与DE、CE的关系如何？
请直接写出结果；
（3）若直线AE绕A点旋转到图（3）位置时（BD＞CE），其余条件不变，问BD与DE、CE的关系如何？
请直接写出结果，不需说明理由．
5、如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°
．
（1）当点D在AC上时，如图1，线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系？
直接写出你猜想的结论；
（2）将图1中的△ADE绕点A顺时针旋转α角（0°
＜α＜90°
），如图2，线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系？
请说明理由．
6、如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为（2，2），点A为y轴正半轴上一动点，过B点作
BC⊥AB交x轴的正半轴于点C。
BA=BC；
（2）当点A运动时，OA+OC的值是否发生变化，若不变，
求其值；
若发生变化，求变化范围
7、已知四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=120°
，∠MBN=60°
，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E，F．
（1）当∠MBN绕B点旋转到AE=CF时（如图1），求证AE+CF=EF；
（2）当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？
若成立，请给予证明；
若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？
请写出你的猜想，并证明．
8、已知：
如图，△ABC中，∠ABC=45°
，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连接DH与BE相交于点G．
（1）求证：
BF=AC；
（2）求证：
CE=BF；
（3）若把题目中“BE平分∠ABC”改为“BE平分线段DC”，
其他条件不变，连接HF．求证：
HF=AD．
9、直线CD经过∠BCA的顶点C，CA=CB．E、F分别是直线CD上两点，且∠BEC=∠CFA=∠α．
（1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E、F在射线CD上，请解决下面两个问题：
①如图1，若∠BCA=90°
，∠α=90°
，则EF_____|BE-AF|（填“＞”，“＜”或“=”号）；
②如图2，若0°
＜∠BCA＜180°
，若使①中的结论仍然成立，则∠α与∠BCA应满足的关系是________；
（2）如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠α=∠BCA，请探究EF、与BE、AF三条线段的数量关系，并给予证明．
第十一讲：
全等三角形综合二
1、全等三角形的判定及性质：
3、常用辅助线：
例1、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°
，CD⊥AB于D，AE平分∠BAC，交CD于K，交BC于E，F是BE上一点，且BF=CE，
FK∥AB．
例2、如图1，△ABC中，∠BAC=90°
，BA=AC，
（1）D为AC的中点，连BD，过A点作AE⊥BD于E点，交BC于F点，连DF，求证：
∠ADB=∠CDF．
（2）若D，M为AC上的三等分点，如图2，连BD，过A作AE⊥BD于点E，交BC于点F，连MF，判断
∠ADB与∠CMF的大小关系并证明．
例3、如图，在△ABC中，∠C=90°
，M为AB的中点，DM⊥AB，CD平分∠ACB，
MD=AM．
例4、在△ABC中，∠ACB为锐角，动点D（异于点B）在射线BC上，连接AD，以AD为边在AD的右侧作正方形ADEF，连接CF．
（1）若AB=AC，∠BAC=90°
那么
①如图一，当点D在线段BC上时，线段CF与BD之间的位置、大小关系是_________（直接写出结论）
②如图二，当点D在线段BC的延长上时，①中的结论是否仍然成立？
（2）若AB≠AC，∠BAC≠90°
．点D在线段BC上，那么当∠ACB等于多少度时？
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