全等三角形作辅助线经典例题文档格式.doc

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中考应用

1、以的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt和等腰Rt，连接DE，M、N分别是BC、DE的中点．探究：

AM与DE的位置关系及数量关系．

（1）如图①当为直角三角形时，AM与DE的位置关系是，线段AM与DE的数量关系是；

（2）将图①中的等腰Rt绕点A沿逆时针方向旋转（0<

<

90）后，如图②所示，

（1）问中得到的两个结论是否发生改变？

并说明理由．

二、截长补短

1.如图，中，AB=2AC，AD平分，且AD=BD，求证：

CD⊥AC

如图，AD∥BC，EA,EB分别平分∠CAB,∠DBA，CD过点E，求证;

AB＝AD+BC

如图，已知在内，，，P，Q分别在BC，CA上，并且AP，BQ分别是，的角平分线。

求证：

BQ+AQ=AB+BP

4：

如图，在四边形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，BD平分，求证：

5:

如图在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任意一点，求证;

AB-AC＞PB-PC

6．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AB+BD=AC，求∠B∶∠C的值．

中考应用：

三.借助角平分线造全等

如图，已知在△ABC中，∠B=60°

，△ABC的角平分线AD,CE相交

于点O，求证：

OE=OD

如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.

（1）说明BE=CF的理由；

（2）如果AB=，AC=，求AE、BE的长.

中考应用:

1、如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。

请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：

（1）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°

，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F。

请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；

O

P

A

M

N

E

B

C

D

F

图①

图②

图③

（2）如图③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而

（1）中的其它条件不变，请问，你在

（1）中所得结论是否仍然成立？

若成立，请证明；

若不成立，请说明理由。

四、平移变换

1.AD为△ABC的角平分线，直线MN⊥AD于A.E为MN上一点，△ABC周长记为，△EBC周长记为.求证＞.

如图，在△ABC的边上取两点D、E，且BD=CE，求证：

AB+AC>

AD+AE.

五、旋转

正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求∠EAF的度数.

2：

D为等腰斜边AB的中点，DM⊥DN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。

（1）当绕点D转动时，求证DE=DF。

（2）若AB=2，求四边形DECF的面积。

3.如图，是边长为3的等边三角形，是等腰三角形，且，以D为顶点做一个角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则的周长为；

1、已知四边形中，，，，：

，，绕点旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于．

（1）当绕点旋转到时（如图1），易证．

（2）当绕点旋转到时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？

若成立，请给予证明；

若不成立，线段，又有怎样的数量关系？

请写出你的猜想，不需证明．

（图1）

（图2）

（图3）

2、在等边的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为外一点，且,,BD=DC.探究：

当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及的周长Q与等边的周长L的关系．

图1图2图3

（I）如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是；

此时；

（II）如图2，点M、N边AB、AC上，且当DMDN时，猜想（I）问的两个结论还成立吗？

写出你的猜想并加以证明；

（III）如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，若AN=，则Q=（用、L表示）．

六、构造全等

例1：

已知：

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90º

，

AC=BC，D为BC的中点，CE⊥AD于E，交AB于F，连接DF．

∠ADC=∠BDF．

2．如图，△ABC中，AB=AC，过点A作GE∥BC，角平分线BD、CF相交于点H，它们的延长线分别交GE于点E、G．试在图10中找出3对全等三角形，并对其中一对全等三角形给出证明．

3．已知△ABC，AB=AC，E、F分别为AB和AC延长线上的点，且BE=CF，EF交BC于G．求证：

EG=GF．

4．已知：

△ABC中，BD=CD，∠1＝∠2．求证：

AD平分∠BAC．

说明：

遇到有关角平分线的问题时，可引角的两边的垂线，先证明三角形全等，然后根据全等三角形的性质得出垂线段相等，再利用角的平分线性质得出两角相等．

（2）利用角的平分线构造全等三角形：

①过角平分线上一点作两边的垂线段

练习：

如图22，AB∥CD，E为AD上一点，且BE、CE分

别平分∠ABC、∠BCD．求证：

AE=ED．

②以角的平分线为对称轴构造对称图形

例：

如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C=2∠B．求证：

AB=AC+CD．

分析：

由于角平分线所在的直线是这个角的对称轴，因此在AB上截取AE=AC，连接DE，我们就能构造出一对全等三角形，从而将线段AB分成AE和BE两段，只需证明BE=CD就可以了．

③延长角平分线的垂线段，使角平分线成为垂直平分线

如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，CE⊥AD于E．

∠ACE=∠B+∠ECD．

注意到AD平分∠BAC，CE⊥AD，于是可延长CE交AB于点F，即可构造全等三角形．

（3）利用角的平分线构造等腰三角形

如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，过点D作DE∥AB，DE交AC于点E．易证△AED是等腰三角形．因此，我们可以过角平分线上一点作角的一边的平行线，

构造等腰三角形．

例如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，DE⊥BD于D，交BC于点E．

CD=BE．

1．如图，在△ABC中，∠B=90º

AD为∠BAC的平分线，DF⊥AC于F，DE=DC．

BE=CF．

2．已知：

如图，AD是△ABC的中线，

DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且BE=CF．

（1）AD是∠BAC的平分线；

（2）AB=AC．

3．在△ABC中，∠BAC=60º

，∠C=40º

AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC交AC于Q．

AB+BP=BQ+AQ．

4．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AB=AC+CD．

∠C=2∠B．

5．已知，E为△ABC的∠A的平分线

AD上一点，AB＞AC．

AB-AC＞EB-EC．

6．如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，

AD=CD，BD平分∠ABC．求证：

∠A+∠C=180º

．

7．如图所示，已知AD∥BC，∠1=∠2，

∠3=∠4，直线DC过点E作交AD于点D，交

BC于点C．

AD+BC=AB．

8．已知，如图，△ABC中，∠ABC=90º

AB=BC，AE是∠A的平分线，CD⊥AE于D．求证：

CD=AE．

9．△ABC中，AB=AC，∠A=100º

BD是∠B的平分线．求证：

AD+BD=BC．

10．如图36，∠B和∠C的平分线相交于点F，

过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点

E，若BD+CE=9，则线段DE的长为（　）

A．9B．8C．7D．6

11．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，AD交BC于点D，且D是BC的中点．

AB=AC．

12．已知：

如图，△ABC中，AD是∠BAC

的平分线，E是BC的中点，EF∥AD，交AB于M，

交CA的延长线于F．求证：

BM=CF．

1.如图，在Rt△ABC中，AB=AC，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE=450，将△ADC绕点A顺时针旋转900后，得到△AFB，连接ＥＦ，下列结论：

（１）△ＡＥＤ≌△ＡＥＦ；

（２）△ＡＢＥ∽△ＡＣＤ；

（３）ＢＥ＋ＤＣ＝ＤＥ；

（４）ＢＥ２＋ＤＣ２＝ＤＥ２．其中正确的是（　　　）

A．

（2）（4）B．

（1）（4）C．

（2）（3）D．

（1）（3）

2.在△ABC中，AB＝6，AC＝