二次函数与相似三角形结合问题Word文档格式.doc
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知识结构：
一.二次函数知识点梳理：
下图中
二.特殊的二次函数：
三．二次函数背景下的相似三角形考点分析：
1.先求函数的解析式，然后在函数的图像上探求符合几何条件的点；
2.简单一点的题目，就是用待定系数法直接求函数的解析式；
3.复杂一点的题目，先根据图形给定的数量关系，运用数形结合的思想，求得点的坐标，继而用待定系数法求函数解析式；
4.还有一种常见题型，解析式中由待定字母，这个字母可以根据题意列出方程组求解；
5.当相似时：
一般说来，这类题目都由图像上的点转化到三角形中的边长的问题，再由边的数量关系转化到三角形的相似问题；
6.考查利用几何定理和性质或者代数方法建立方程求解的方法。
例题选讲：
例1.如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，D为OC的中点，直线AD交抛物线于点E（2，6），且△ABE与△ABC的面积之比为3∶2．
（1）求直线AD和抛物线的解析式；
例1题图
（2）抛物线的对称轴与轴相交于点F，点Q为直线AD上一点，且△ABQ与△ADF相似，直接写出点Q点的坐标。
A
B
O
练习1.如图，直线（＞）与分别交于点,，抛物线经过点，顶点在直线上。
（1）求的值；
（2）求抛物线的解析式；
（3）如果抛物线的对称轴与轴交于点，那么在对称轴上找一点，使得
和相似，求点的坐标。
例2.已知：
矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，，，直线与边交于点．
（1）求点的坐标；
（2）若抛物线经过、两点，求此抛物线的表达式；
（3）设
（2）中的抛物线的对称轴与直线交于点，点是对称轴上一动点，以、、为顶点的三角形与△相似，求出符合条件的点．
方法总结：
二次函数背景下相似三角形的解题方法和策略：
1.根据题意，先求解相关点的坐标和相关线段的长度；
2.待定系数法求解相关函数的解析式；
3.相似三角形中，注意寻找不变的量和相等的量（角和线段）；
4.当三角形的三边不能用题目中的未知量表示时，注意利用相似三角形的转化求解；
5.根据题目条件，注意快速、正确画图，用好数形结合思想；
6.注意利用好二次函数的对称性；
7.利用几何定理和性质或者代数方法建立方程求解都是常用方法。
1.已知：
如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像经过点
（－1，1）和点（2，2），该函数图像的对称轴与直线、分别交于点和点．
（1）求这个二次函数的解析式和它的对称轴；
（4分）
（2）求证：
∠=∠；
（3）如果点在直线上，且△与△相似，求点的坐标．（6分）
y
x
1
-1
2.如图，抛物线与轴相交于、，与轴相交于点，过点作∥轴，交抛物线于点。
点是直线上一点，且△与△相似，求符合条件的点坐标。
【参考教法】：
一．你能求出题目中点的坐标吗？
（让学生独立计算求解）
二．点的运动有什么特征吗？
提示：
点的不同位置相似的情况不一样。
三．当△与△相似时：
1.需要讨论吗？
需要，根据点的不同位置讨论
2.怎么讨论？
根据点的位置，分两大类讨论：
（1）当点P在C的左侧，由题意有，则分2类讨论：
①当△∽△时：
，即；
②当△∽△时：
，，即。
（2）点P在C的左侧，由题意有，不存在。
3.情况分好了，那怎么计算呢？
你算一下。
让学生计算。
4题目分析完了吧！
你算一下每一个情况看看！
5以后做题，可以把分类的情况先写下来，之后再计算求解。
6.根据本题的求解你有什么想法没？
①二次函数中当点的坐标已知时，注意计算各线段的长度；
②注意及时画图，体会数形结合的思想。
【满分解答】：
当点P在C的左侧，由题意有，分两类讨论：
若，即时，△PAC∽△BAC，此时CP=3，P（－3,－2）;
------2
若，即时，△PAC∽△ABC;
此时CP=，P（－,－2）.---2
当点P在C的左侧，由题意有,不存在。
3.如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像经过、、
三点，没该二次函数图像的顶点为．（★★★）
（1）求这个二次函数的解析式及其图像的顶点的坐际；
（2）在线段上是否存在点，使△∽△，其中坐标轴的原点对应点，点的对应点为C?
若存在，求出点的坐标；
若不存在，请说明理由。
【解法点拨】：
1.二次函数经过三点，可以根据待定系数法求解函数解析式；
（让学生自己计算）
2.当△∽△时，字母已经对应好，无需分类讨论，则由△∽△得，所以。
又因为点在线段上，且的解析式是：
，则可直接计算出点的坐标。
3.注意及时画图，体会数形结合的思想。
（1）由题意得：
解得：
∴二次函数的解析式为
顶点的坐标是
（2）根据题意，，，
∵△∽△∴解得：
∴的解析式是
设点的坐标是，∴
解得：
∴点的坐标是
例2题图
4.如图，双曲线和在第二象限中的图像，A点在的图像上，点A的横坐标为m（m＜0），AC∥y轴交图像于点C，AB、DC均平行x轴，分别交、的图像于点B、D。
（★★★）
（1）用m表示A、B、C、D的坐标；
（2）若△ABC与△ACD相似，求m的值.
1.题目看完了吧！
我们来一起分析一下，先找找题目中的一些已知道条件吧！
你试试：
①注意题目中有两个反比例函数；
②AB、DC均平行x轴，得出点纵坐标相同，点纵坐标相同；
③点的坐标可根据图像用m表示；
2.点的坐标可以用含的代数式表示吗？
你求解一下。
让学生求解
3.当△ABC与△ACD时：
1.两三角形中是否有相等的角？
2.需要讨论吗？
需要，分2类讨论；
3.怎么讨论？
因为，则分两个情况讨论：
①当时，得△ABC∽△CAD，则，直接计算可的的值；
②当时，得△ABC∽△CDA，则，直接计算可的的值；
4.怎么计算？
你求解看看。
让学生求解。
5.在分析题目的过程中，还要及时画图哦！
（1）由题意知，，，，；
（2）①当时，得△ABC∽△CAD，则,
得=（-3m）
所以：
=16，得m=±
2（正数舍去）
所以：
m=-2
②时，得△ABC∽△CDA，则,
m=0（舍去）
所以若△ABC与△ACD相似，m=-2.
5.Rt△ABC在直角坐标系内的位置如图所示，反比例函数在第一象限内的图像与BC边交于点D（4，m），与AB边交于点E（2，n），△BDE的面积为2。
（14分）
C
D
E
（1）求m与n的数量关系；
（3分）（★★★）
（2）当tan∠A=时，求反比例函数的
解析式和直线AB的表达式；
（6分）
（3）设直线AB与y轴交于点F，点P在
射线FD上，在
（2）的条件下，如果
△AEO与△EFP相似，求点P的坐标。
（5分）
1.注意题目中的不变量以及所得到的相关结论：
①点的反比例函数的图像上，则它们的坐标乘积相等（引导学生发现）；
②第2、3小问中，点的坐标不变；
2.第1小问可根据的反比例函数的图像上可得；
3.第2小问结合三角比和m与n的数量关系可求的点的坐标；
求出点可得FD//x轴，所以∠EFP=∠EAO。
当△AEO与△EFP相似时，则：
或，再根据长度可直接求的得点坐标。
4.注意及时画图，体会数形结合的思想。
（1）∵D（4，m）、E（2，n）在反比例函数的图像上,
∴，.....................................2分
∴...............................................1分
（2）∵∠ACB=90°
，D（4，m），∴设B（4，y）
作EH⊥BC，∵E（2，n），即E（2，2m），
∴EH=2，BH=y-2m............................................1分
∵△BDE的面积为2，且tan∠A=，
∴即............................................1分
∴，∴B（4,3），E（2,2）............................................1分
∵E（2,2）在反比例函数图像上，
∴,即反比例函数为............................................1分
设直线AB的函数解析式为y=kx+b，
则，解得：
，............................................1分
即直线AB的表达式为............................................1分
4.与y轴交于点F（0,1），∵D（4,1），∴FD//x轴，.................................1分
∴∠EFP=∠EAO
∵△AEO与△EFP相似，∴或............................................2分
即或，∴或5，............................................1分
∴P（1,
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