一元二次方程的有理数根、公共根与整数根整合Word文档格式.doc
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求的值。
8、试确定一切有理数,使得关于的方程有根且只有整数根。
9、试确定一切有理数r,使得关于x的方程rx2+(r+2)x+r-1=0有根且只有整数根.
10、已知为质数,使一元二次方程的两根都是整数,求出的所有可能值。
11、已知,求方程的整数根。
12、设关于的二次方程的两根都是整数。
求满足条件的所有实数的值。
13、已知关于的方程的两个根都是正整数,求的值。
一元二次方程的公共根与整数根
一、公共根问题
二次方程的公共根问题的一般解法:
设公共根,代入原方程(两个或以上),然后通过恒等变形求出参数的值和公共根.
二、整数根问题
对于一元二次方程的实根情况,可以用判别式来判别,但是对于一个含参数的一元二次方程来说,要判断它是否有整数根或有理根,那么就没有统一的方法了,只能具体问题具体分析求解,当然,经常要用到一些整除性的性质.求有整数根的二次方程中,参数问题,要根据方程的结构特点,设法将二次方程转化为两个一次式,再根据整数根确定其解。
其转化途径:
或直接分解因式;
或利用根与系数的关系;
或利用求根公式。
求二次方程的整数根常用的数学思想方法是分类讨论,但在运用时,要具体问题具体分析。
方程有整数根的条件:
如果一元二次方程有整数根,那么必然同时满足以下条件:
⑴为完全平方数;
⑵或,其中为整数.
以上两个条件必须同时满足,缺一不可.
另外,如果只满足判别式为完全平方数,则只能保证方程有有理根(其中、、均为有理数)
三、方程根的取值范围问题
先使用因式分解法或求根公式法求出两根,然后根据题中根的取值范围来确定参数的范围.
例题
一、一元二次方程的公共根
例1求的值,使得一元二次方程,有相同的根,并求两个方程的根.
例2设为的三边,且二次三项式与有一次公因式,证明:
一定是直角三角形.
例3三个二次方程,,有公共根.
⑴求证:
;
⑵求的值.
例4试求满足方程与有公共根的所有的值及所有公共根和所有相异根.
例5二次项系数不相等的两个二次方程和
(其中,为正整数)有一个公共根,求的值.
二、一元二次方程的整数根
例6:
为什么实数时,关于的方程的解都是整数?
例7:
若关于的方程的解都是整数,则符合条件的整数的值有_______个.
例8:
已知是正整数,如果关于的方程的根都是整数,求的值及方程的整数根.
练习1、若为正整数,且关于的方程有两个相异正整数根,求的值.
练/2、关于的二次方程的两根都是整数.求满足条件的所有实数的值.
练/3、当为何整数时,方程有整数解.
练习/4已知关于的方程和,是否存在这样的值,使第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一整数根?
若存在,请求出这样的值;
若不存在,请说明理由.
练习/5求所有有理数,使得方程的所有根是整数.
练习6/已知关于的方程的两根都是整数,求的值.
练习7、已知为常数,关于的一元二次方程的解都是整数,求的值.
练/8、已知为质数,二次方程的两根都是整数,请求出的所有可能的值.
练/9已知,且关于的二次方程有两个整数根,求整数.
练习10、若一直角三角形两直角边的长,、均为整数,且满足.试求这个直角三角形的三边长.
练习11、关于的方程至少有一个整数解,且是整数,求的/1.
练习12、已知方程(是非负整数)至少有一个整数根,那么.
练/13、当是什么整数时,关于的一元二次方程与的根都是整数.
练/14、设为整数,且,方程有两个整数根,求的值及方程的根.
练/15、当为何整数时,方程有整数解.
练/16、已知方程(是非负整数)至少有一个整数根,那么.
练/17、若关于的方程的解都是整数,则符合条件的整数的值有_______个.
/18设方程有整数解,试确定整数的值,并求出这时方程所有的整数解.
19已知是正整数,且使得关于的一元二次方程至少有一个整数根,求的值.
20已知关于的方程(其中是非负整数)至少有一个整数根,求的值.
21已知,为整数,方程的两根都大于且小于,求和的值.
22已知,都是正整数,试问关于的方程是否有两个整数解?
如果有,请求出来;
如果没有,请给出证明.
23已知方程及分别各有两个整数根及,且,.
,,,;
⑵求证:
⑶求所有可能的值.
24设是两个奇整数,试证方程不可能有有理根.
25试证不论是什么整数,方程没有整数解,方程中的是任何正的奇数.
26求方程的所有整数解.
27已知为整数,关于的方程组的所有解均为整数解,求的值.
28求方程的所有正整数解.
29求所有的整数对,使.
30设是不为零的整数,关于的二次方程有有理根,求的值.
31当是什么整数时,关于的一元二次方程与的根都是整数.
32是正整数,关于的方程的根都是整数,求的值及方程的整数根.
33已知是实数,关于的方程组
有整数解,求满足的关系式.
34已知为质数,使二次方程的两根都是整数,求出所有可能的的值.
35设关于的二次方程的两根都是整数,求满足条件的所有实数的值.
36为何值时,方程和有相同的整数根?
并且求出它们的整数根?
37已知关于的方程的根都是整数,那么符合条件的整数有___________个.
38求所有正实数,使得方程仅有整数根.
39方程有两个整数根,求a的值.
40求所有的正整数,,使得关于的方程
的所有的根都是正整数.
41为正整数,方程有一个整数根,则__________.
42求出所有正整数,使方程至少有一个整数根.
43已知方程有两个不等的负整数根,则整数的值是__________.
44不解方程,证明方程无整数根
45已知方程有两个质数根,则常数________.
46已知方程有两个不相等的正整数根,求m的值.
47当是什么整数时,关于x的方程的两根都是整数?
48设方程有整数解,试确定整数的值,并求出这时方程所有的整数解.
49已知是正整数,如果关于的方程的根都是整数,求的值及方程的整数根.
50若为正整数,且关于的方程有两个相异正整数根,求的值.
51设为质数,为正整数,且满足
求的值.
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