中考数学一元二次方程应用题经典题型汇总Word文档下载推荐.docx
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因为21×
(1+20%)=25.2,所以a2=31不合题意,舍去.
所以350-10a=350-10×
25=100(件).
答 需要进货100件,每件商品应定价25元.
说明 商品的定价问题是商品交易中的重要问题,也是各种考试的热点.
三、储蓄问题
例3 王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”,到期后将本金和利息取出,并将其中的500元捐给“希望工程”,剩余的又全部按一年定期存入,这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%,这样到期后,可得本金和利息共530元,求第一次存款时的年利率.(假设不计利息税)
解 设第一次存款时的年利率为x.
则根据题意,得[1000(1+x)-500](1+0.9x)=530.整理,得90x2+145x-3=0.
解这个方程,得x1≈0.0204=2.04%,x2≈-1.63.由于存款利率不能为负数,所以将x2≈-1.63舍去.
答 第一次存款的年利率约是2.04%.
说明 这里是按教育储蓄求解的,应注意不计利息税.
四、趣味问题
例4 一个醉汉拿着一根竹竿进城,横着怎么也拿不进去,量竹竿长比城门宽4米,旁边一个醉汉嘲笑他,你没看城门高吗,竖着拿就可以进去啦,结果竖着比城门高2米,二人没办法,只好请教聪明人,聪明人教他们二人沿着门的对角斜着拿,二人一试,不多不少刚好进城,你知道竹竿有多长吗?
解 设渠道的深度为xm,那么渠底宽为(x+0.1)m,上口宽为(x+0.1+1.4)m.
则根据题意,得(x+0.1+x+1.4+0.1)·
x=1.8,整理,得x2+0.8x-1.8=0.
解这个方程,得x1=-1.8(舍去),x2=1.
所以x+1.4+0.1=1+1.4+0.1=2.5.
答 渠道的上口宽2.5m,渠深1m.
说明 求解本题开始时好象无从下笔,但只要能仔细地阅读和口味,就能从中找到等量关系,列出方程求解.
五、古诗问题
例5 读诗词解题:
(通过列方程式,算出周瑜去世时的年龄).
大江东去浪淘尽,千古风流数人物;
而立之年督东吴,早逝英年两位数;
十位恰小个位三,个位平方与寿符;
哪位学子算得快,多少年华属周瑜?
解 设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x,则十位数字为x-3.
则根据题意,得x2=10(x-3)+x,即x2-11x+30=0,解这个方程,得x=5或x=6.
当x=5时,周瑜的年龄25岁,非而立之年,不合题意,舍去;
当x=6时,周瑜年龄为36岁,完全符合题意.
答 周瑜去世的年龄为36岁.
说明 本题虽然是一道古诗问题,但它涉及到数字和年龄问题,通过求解同学们应从中认真口味.
六、象棋比赛
例6 象棋比赛中,每个选手都与其他选手恰好比赛一局,每局赢者记2分,输者记0分.如果平局,两个选手各记1分,领司有四个同学统计了中全部选手的得分总数,分别是1979,1980,1984,1985.经核实,有一位同学统计无误.试计算这次比赛共有多少个选手参加.
解 设共有n个选手参加比赛,每个选手都要与(n-1)个选手比赛一局,共计n(n-1)局,但两个选手的对局从每个选手的角度各自统计了一次,因此实际比赛总局数应为n(n-1)局.由于每局共计2分,所以全部选手得分总共为n(n-1)分.显然(n-1)与n为相邻的自然数,容易验证,相邻两自然数乘积的末位数字只能是0,2,6,故总分不可能是1979,1984,1985,因此总分只能是1980,于是由n(n-1)=1980,得n2-n-1980=0,解得n1=45,n2=-44(舍去).
答 参加比赛的选手共有45人.
说明 类似于本题中的象棋比赛的其它体育比赛或互赠贺年片等问题,都可以仿照些方法求解.
七、情景对话
例7 春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游,推出了如图1对话中收费标准.
某单位组织员工去天水湾风景区旅游,共支付给春秋旅行社旅游费用27000元.请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游?
解 设该单位这次共有x名员工去天水湾风景区旅游.因为1000×
25=25000<27000,所以员工人数一定超过25人.
则根据题意,得[1000-20(x-25)]x=27000.
整理,得x2-75x+1350=0,解这个方程,得x1=45,x2=30.
当x=45时,1000-20(x-25)=600<700,故舍去x1;
当x2=30时,1000-20(x-25)=900>700,符合题意.
答:
该单位这次共有30名员工去天水湾风景区旅游.
说明 求解本题要时刻注意对话框中的数量关系,求得的解还要注意分类讨论,从中找出符合题意的结论.
八、等积变形
例8 将一块长18米,宽15米的矩形荒地修建成一个花园(阴影部分)所占的面积为原来荒地面积的三分之二.(精确到0.1m)
(1)设计方案1(如图2)花园中修两条互相垂直且宽度相等的小路.
(2)设计方案2(如图3)花园中每个角的扇形都相同.
以上两种方案是否都能符合条件?
若能,请计算出图2中的小路的宽和图3中扇形的半径;
若不能符合条件,请说明理由.
解 都能.
(1)设小路宽为x,则18x+16x-x2=×
18×
15,即x2-34x+180=0,
解这个方程,得x=,即x≈6.6.
(2)设扇形半径为r,则3.14r2=×
15,即r2≈57.32,所以r≈7.6.
说明 等积变形一般都是涉及的是常见图形的体积,面积公式;
其原则是形变积不变;
或形变积也变,但重量不变,等等.
九、动态几何问题
例9 如图4所示,在△ABC中,∠C=90°
,AC=6cm,BC=8cm,点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动,点Q从C点出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动.
(1)如果P、Q同时出发,几秒钟后,可使△PCQ的面积为8平方厘米?
(2)点P、Q在移动过程中,是否存在某一时刻,使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半.若存在,求出运动的时间;
若不存在,说明理由.
解 因为∠C=90°
,所以AB===10(cm).
(1)设xs后,可使△PCQ的面积为8cm2,所以AP=xcm,PC=(6-x)cm,CQ=2xcm.
则根据题意,得·
(6-x)·
2x=8.整理,得x2-6x+8=0,解这个方程,得x1=2,x2=4.
所以P、Q同时出发,2s或4s后可使△PCQ的面积为8cm2.
(2)设点P出发x秒后,△PCQ的面积等于△ABC面积的一半.
则根据题意,得(6-x)·
2x=×
×
6×
8.整理,得x2-6x+12=0.
由于此方程没有实数根,所以不存在使△PCQ的面积等于ABC面积一半的时刻.
说明 本题虽然是一道动态型应用题,但它又要运用到行程的知识,求解时必须依据路程=速度×
时间.
十、梯子问题
例10 一个长为10m的梯子斜靠在墙上,梯子的底端距墙角6m.
(1)若梯子的顶端下滑1m,求梯子的底端水平滑动多少米?
(2)若梯子的底端水平向外滑动1m,梯子的顶端滑动多少米?
(3)如果梯子顶端向下滑动的距离等于底端向外滑动的距离,那么滑动的距离是多少米?
解 依题意,梯子的顶端距墙角=8(m).
(1)若梯子顶端下滑1m,则顶端距地面7m.设梯子底端滑动xm.
则根据勾股定理,列方程72+(6+x)2=102,整理,得x2+12x-15=0,
解这个方程,得x1≈1.14,x2≈-13.14(舍去),
所以梯子顶端下滑1m,底端水平滑动约1.14m.
(2)当梯子底端水平向外滑动1m时,设梯子顶端向下滑动xm.
则根据勾股定理,列方程(8-x)2+(6+1)2=100.整理,得x2-16x+13=0.
解这个方程,得x1≈0.86,x2≈15.14(舍去).
所以若梯子底端水平向外滑动1m,则顶端下滑约0.86m.
(3)设梯子顶端向下滑动xm时,底端向外也滑动xm.
则根据勾股定理,列方程(8-x)2+(6+x)2=102,整理,得2x2-4x=0,
解这个方程,得x1=0(舍去),x2=2.
所以梯子顶端向下滑动2m时,底端向外也滑动2m.
说明 求解时应注意无论梯子沿墙如何上下滑动,梯子始终与墙上、地面构成直角三角形.
十一、航海问题
例11 如图5所示,我海军基地位于A处,在其正南方向200海里处有一重要目标B,在B的正东方向200海里处有一重要目标C,小岛D恰好位于AC的中点,岛上有一补给码头;
小岛F位于BC上且恰好处于小岛D的正南方向,一艘军舰从A出发,经B到C匀速巡航.一艘补给船同时从D出发,沿南偏西方向匀速直线航行,欲将一批物品送往军舰.
(1)小岛D和小岛F相距多少海里?
(2)已知军舰的速度是补给船的2倍,军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处,那么相遇时补给船航行了多少海里?
(精确到0.1海里)
解
(1)F位于D的正南方向,则DF⊥BC.因为AB⊥BC,D为AC的中点,所以DF=AB=100海里,所以,小岛D与小岛F相距100海里.
(2)设相遇时补给船航行了x海里,那么DE=x海里,AB+BE=2x海里,EF=AB+BC-(AB+BE)-CF=(300-2x)海里.
在Rt△DEF中,根据勾股定理可得方程x2=1002+(300-2x)2,整理,得3x2-1200x+100000=0.
解这个方程,得x1=200-≈118.4,x2=200+(不合题意,舍去).
所以,相遇时补给船大约航行了118.4海里.
说明 求解本题时,一定要认真地分析题意,及时发现题目中的等量关系,并能从图形中寻找直角三角形,以便正确运用勾股定理布列一元二次方程.
十二、图表信息
例12 如图6所示,正方形ABCD的边长为12,划分成12×
12个小正方形格,将边长为n(n为整数,且2≤n≤11)的黑白两色正方形纸片按图中的方式,黑白相间地摆放,第一张n×
n的纸片正好盖住正方形ABCD左上角的n×
n个小正方形格,第二张纸片盖住第一张纸片的部分恰好