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;
2)两点间的距离公式:
AB
(x2
x1)2
(y2
y1)2
(z2z1)2
3)方向角:
非零向量与三个坐标轴的正向的夹角
4)方向余弦:
cos
x,cos
y,cos
r
cos2cos2cos21
5)投影:
Prjuaacos,其中为向量a与u的夹角。
(二)数量积,向量积
1、数量积:
ababcos
1)
aaa
2
2)
abab0
第1页共20页
abaxbxaybyazbz
2、向量积:
cab
大小:
absin,方向:
a,b,c符合右手规则
1)aa0
2)a//bab0
ijk
abaxayaz
bxbybz
运算律:
反交换律baab
(三)曲面及其方程
1、曲面方程的概念:
S:
f(x,y,z)0
2、旋转曲面:
yoz面上曲线C:
f(y,z)
0,
绕y轴旋转一周:
f(y,
x2
z2)
绕z轴旋转一周:
f(
y2,z)
3、柱面:
F(x,y)0
F(x,y)0表示母线平行于z轴,准线为的柱面
z0
4、二次曲面
第2页共20页
y2
1)椭圆锥面:
a2
b2
z2
1
2)椭球面:
c2
旋转椭球面:
a2
3)单叶双曲面:
4)双叶双曲面:
5)椭圆抛物面:
6)双曲抛物面(马鞍面):
7)椭圆柱面:
8)双曲柱面:
9)抛物柱面:
x2
ay
(四)空间曲线及其方程
1、一般方程:
F(x,y,z)0
G(x,y,z)0
第3页共20页
x(t)
acost
2、参数方程:
y
y(t),如螺旋线:
asint
z(t)
bt
3、空间曲线在坐标面上的投影
F(x,y,z)
H(x,y)0
G(x,y,z)
,消去z,得到曲线在面
xoy上的投影
(五)平面及其方程
1、点法式方程:
A(x
x0)B(y
y0)C(zz0)0
法向量:
n(A,B,C),过点(x0,y0,z0)
、一般式方程:
Ax
ByCzD
截距式方程:
a
b
c
3、两平面的夹角:
n1
(A1,B1,C1),n2
(A2,B2,C2),
cos
A1A2
B1B2
C1C2
A12
B12
C12
A22
B22
C22
1//
A1
B1
C1
A2
B2
C2
4、点P0(x0,y0,z0)到平面Ax
By
CzD0的距离:
d
Ax0By0Cz0D
A2B2C2
(六)空间直线及其方程
第4页共20页
A1xB1yC1zD1
1、一般式方程:
A2xB2yC2zD2
2、对称式(点向式)方程:
xx0
yy0
zz0
m
n
p
方向向量:
s(m,n,p),过点(x0,y0,z0)
x0
mt
3、参数式方程:
y0
nt
z0
pt
4、两直线的夹角:
s1
(m1,n1,p1),s2
(m2,n2,p2),
m1m2
n1n2
p1p2
m12
n12
p12
m22
n22
p22
L1
L2
n1n2p1p20
//L2
m1
n1
p1
m2
n2
p2
5、直线与平面的夹角:
直线与它在平面上的投影的夹角,
AmBnCp
sin
A2B2C2m2n2p2
L//AmBnCp0
L
ABC
mnp
第九章多元函数微分法及其应用
(一)基本概念
第5页共20页
1、距离,邻域,内点,外点,边界点,聚点,开集,闭集,连通集,区域,闭区
域,有界集,无界集。
2、多元函数:
z
f
(x,y),图形:
3、极限:
lim
f(x,y)
A
(x,y)
(x0,y0)
4、连续:
y)
f(x
y
)
(x
5、偏导数:
fx(x0,y0)
f(x0
x,y0)
f(x0,y0)
x0
fy(x0,y0)
f(x0,y0y)
y0
6、方向导数:
fcos
其中,
为l
的方向角。
l
7、梯度:
f(x,y),则gradf(x
(x,y
)i
)j。
00
8、全微分:
设z
f(x,y),则dz
dx
dy
(二)性质
1、函数可微,偏导连续,偏导存在,函数连续等概念之间的关系:
偏导数连续
函数可微
偏导数存在
充分条件
必要条件
4
定义
3
函数连续
第6页共20页
2、闭区域上连续函数的性质(有界性定理,最大最小值定理,介值定理)
3、微分法
1)定义:
ux
2)复合函数求导:
链式法则z
若z
f(u,v),u
u(x,y),v
v(x,y),则
zu
v
u
zv
ux
vx,y
vy
3)隐函数求导:
两边求偏导,然后解方程(组)
(三)应用
1、极值
1)无条件极值:
求函数zf(x,y)的极值
fx
解方程组
fy
求出所有驻点,对于每一个驻点(x0,y0),令
Afxx(x0,y0),B
fxy(x0,y0),Cfyy(x0,y0),
①若AC
B2
,A
0,函数有极小值,
若AC
0,A
,函数有极大值;
②若AC
,函数没有极值;
③若AC
,不定。
2)条件极