考研数学二真题及答案Word格式文档下载.docx

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（7）设为阶非零矩阵，为阶单位矩阵.若，则（）

不可逆，不可逆.不可逆，可逆.

可逆，可逆.可逆，不可逆.

（8）设，则在实数域上与合同的矩阵为（）

..

..

二、填空题：

9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.

（9）已知函数连续，且，则.

（10）微分方程的通解是.

（11）曲线在点处的切线方程为.

（12）曲线的拐点坐标为______.

（13）设，则.

（14）设3阶矩阵的特征值为.若行列式，则.

三、解答题：

15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

（15）（本题满分9分）

求极限.

（16）（本题满分10分）

设函数由参数方程确定，其中是初值问题的解.求.

（17）（本题满分9分）求积分.

（18）（本题满分11分）

求二重积分其中

（19）（本题满分11分）

设是区间上具有连续导数的单调增加函数，且.对任意的，直线，曲线以及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周生成一旋转体.若该旋转体的侧面积在数值上等于其体积的2倍，求函数的表达式.

（20）（本题满分11分）

（1）证明积分中值定理：

若函数在闭区间上连续，则至少存在一点，使得

（2）若函数具有二阶导数，且满足，证明至少存在一点

（21）（本题满分11分）

求函数在约束条件和下的最大值与最小值.

（22）（本题满分12分）

设矩阵，现矩阵满足方程，其中，，

（1）求证；

（2）为何值，方程组有唯一解，并求；

（3）为何值，方程组有无穷多解，并求通解.

（23）（本题满分10分）

设为3阶矩阵，为的分别属于特征值特征向量，向量满足，

（1）证明线性无关；

（2）令，求.

参考答案

一、选择题

（1）

【答案】

【详解】因为，由罗尔定理知至少有，使，所以至少有两个零点.又中含有因子，故也是的零点，D正确.

本题的难度值为0.719.

（2）

【详解】

其中是矩形ABOC面积，为曲边梯形ABOD的面积，所以为曲边三角形的面积．

本题的难度值为0.829.

（3）

【答案】

【详解】由微分方程的通解中含有、、知齐次线性方程所对应的特征方程有根，所以特征方程为，即.故以已知函数为通解的微分方程是

本题的难度值为0.832.

（4）【答案】

【详解】时无定义，故是函数的间断点

因为

同理

又

所以是可去间断点，是跳跃间断点.

本题的难度值为0.486.

（5）

【详解】因为在内单调有界，且单调.所以单调且有界.故一定存在极限.

本题的难度值为0.537.

（6）

【详解】用极坐标得

所以

本题的难度值为0.638.

（7）【答案】

【详解】，

故均可逆．

本题的难度值为0.663.

（8）【答案】

【详解】记，

则，又

所以和有相同的特征多项式，所以和有相同的特征值.

又和为同阶实对称矩阵，所以和相似．由于实对称矩阵相似必合同，故正确.

本题的难度值为0.759.

二、填空题

（9）

【答案】2

本题的难度值为0.828.

（10）

【详解】微分方程可变形为

本题的难度值为0.617.

（11）

【详解】设，则，

将代入得，所以切线方程为，即

（12）

时，；

时，不存在

在左右近旁异号，在左右近旁，且

故曲线的拐点为

本题的难度值为0.501.

（13）

【详解】设，则

本题的难度值为0.575.

（14）

【答案】-1

【详解】

本题的难度值为0.839.

三、解答题

（15）

方法一：

方法二：

本题的难度值为0.823.

（16）

由得，积分并由条件得，即

所以

本题的难度值为0.742.

（17）

由于，故是反常积分.

令，有，

故，原式

本题的难度值为0.631.

（18）

【详解】曲线将区域分成两

个区域和，为了便于计算继续对

区域分割，最后为

本题的难度值为0.524.

（19）

【详解】旋转体的体积，侧面积，由题设条件知

上式两端对求导得，即

由分离变量法解得，即

将代入知，故，

于是所求函数为

本题的难度值为0.497.

（20）

（I）设与是连续函数在上的最大值与最小值，即

由定积分性质，有，即

由连续函数介值定理，至少存在一点，使得

即

（II）由（I）的结论可知至少存在一点，使

又由，知

对在上分别应用拉格朗日中值定理，并注意到，得

在上对导函数应用拉格朗日中值定理，有

（21）

作拉格朗日函数

令

解方程组得

故所求的最大值为72，最小值为6.

问题可转化为求在条件下的最值

设

解得，代入，得

（22）

（I）证法一：

证法二：

记，下面用数学归纳法证明．

当时，，结论成立．

假设结论对小于的情况成立．将按第1行展开得

故

证法三：

记，将其按第一列展开得，

（II）因为方程组有唯一解，所以由知，又，故．

由克莱姆法则，将的第1列换成，得行列式为

（III）方程组有无穷多解，由，有，则方程组为

此时方程组系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为，所以方程组有无穷多解，其通解为

为任意常数．

本题的难度值为0.270.

（23）

（I）

证法一：

假设线性相关．因为分别属于不同特征值的特征向量，故线性无关，则可由线性表出，不妨设，其中不全为零（若同时为0，则为0，由可知，而特征向量都是非0向量，矛盾）

，又

，整理得：

则线性相关，矛盾.所以，线性无关.

设存在数，使得

（1）

用左乘

（1）的两边并由得

（2）

（1）—

（2）得（3）

因为是的属于不同特征值的特征向量，所以线性无关，从而，代入

（1）得，又由于，所以，故线性无关.

（II）记，则可逆，

所以.

本题的难度值为0.272.