中考专题圆的证明题70037Word文档格式.docx
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∴OD⊥DE,
∴DE是⊙O的切线;
(2)解:
连接BC,如图,
∵AB为直径,
∴∠ACB=90°
又∵OD∥AE,
∴∠OGB=∠ACB=90°
∴OD⊥BC,
∴G为BC的中点,即BG=CG,
又∵=,
∴设AC=3k,AB=5k,根据勾股定理得:
BC==4k,
∴OB=AB=,BG=BC=2k,
∴OG==,
∴DG=OD﹣OG=﹣=k,
又∵四边形CEDG为矩形,
∴CE=DG=k,
∴AE=AC+CE=3k+k=4k,
而OD∥AE,
∴===.
点评:
考查了切线的判定定理,能够综合运用角平分线的性质、全等三角形的判定和性质以及平行线分线段成比例定理.
2.(2008•武汉模拟)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°
,以AC为直径作⊙O,交AB于D,过点O作OE∥AB,交BC于E.
ED为⊙O的切线;
(2)若⊙O的半径为3,ED=4,EO的延长线交⊙O于F,连DF、AF,求△ADF的面积.
切线的判定与性质;
三角形的面积;
全等三角形的判定与性质;
勾股定理;
垂径定理;
锐角三角函数的定义.
计算题;
证明题;
(1)连接OD,CD,求出∠BDC=90°
,根据OE∥AB和OA=OC求出BE=CE,推出DE=CE,根据SSS证△ECO≌△EDO,推出∠EDO=∠ACB=90°
即可;
(2)过O作OM⊥AB于M,过F作FN⊥AB于N,求出OM=FN,求出BC、AC、AB的值,根据sin∠BAC===,求出OM,根据cos∠BAC===,求出AM,根据垂径定理求出AD,代入三角形的面积公式求出即可.
连接OD,CD,
∵AC是⊙O的直径,
∴∠CDA=90°
=∠BDC,
∵OE∥AB,CO=AO,
∴BE=CE,
∴DE=CE,
∵在△ECO和△EDO中
∴△ECO≌△EDO,
∴∠EDO=∠ACB=90°
即OD⊥DE,OD过圆心O,
∴ED为⊙O的切线.
过O作OM⊥AB于M,过F作FN⊥AB于N,
则OM∥FN,∠OMN=90°
∵OE∥AB,
∴四边形OMFN是矩形,
∴FN=OM,
∵DE=4,OC=3,由勾股定理得:
OE=5,
∴AC=2OC=6,
∴△OEC∽△ABC,
∴=,
∴AB=10,
在Rt△BCA中,由勾股定理得:
BC==8,
sin∠BAC===,
即=,
OM==FN,
∵cos∠BAC===,
∴AM=
由垂径定理得:
AD=2AM=,
即△ADF的面积是AD×
FN=×
×
=.
答:
△ADF的面积是.
本题考查了切线的性质和判定,勾股定理,三角形的面积,垂径定理,直角三角形的斜边上中线性质,全等三角形的性质和判定等知识点的运用,通过做此题培养了学生的分析问题和解决问题的能力,本题综合性比较强,有一定的难度.
3.(2010•西藏)如图,已知等腰△ABC,AC=BC=10,AB=12,以BC为直径作⊙O交AB点D,交AC于点G,DF⊥AC,垂足为F,交CB的延长线于点E.
直线EF是⊙O的切线;
(2)求sin∠A的值.
切线的判定;
等腰三角形的性质;
解直角三角形.
压轴题.
(1)连接CD,OD,得出CD⊥AB,推出AD=BD,得出OC∥AC,推出EF⊥OD,根据切线的判定推出即可;
(2)求出AD,根据勾股定理求出CD,解直角三角形ACD即可.
连接CD,OD,
∵BC是⊙O直径,
∴∠CDB=90°
,即CD⊥AB,
∵AC=BC,
∴BD=AD,
∵BO=CO,
∴OD∥AC,
∵EF⊥AC,
∴EF⊥OD,
∵OD为半径,
∴EF是⊙O的切线;
∵AB=12,AD=BD=6,AC=10,
在Rt△ACD中,由勾股定理得:
CD==8,
即sinA===.
本题考查了等腰三角形性质,三角形的中位线,平行线的性质和判定,解直角三角形,勾股定理,切线的判定等知识点的应用,主要考查了学生的推理和计算能力.
4.(2008•南充)如图,已知⊙O的直径AB垂直于弦CD于点E,过C点作CG∥AD交AB的延长线于点G,连接CO并延长交AD于点F,且CF⊥AD.
(1)试问:
CG是⊙O的切线吗?
说明理由;
(2)请证明:
E是OB的中点;
(3)若AB=8,求CD的长.
圆周角定理.
(1)已知点C在圆上,根据平行线的性质可得∠FCG=90°
,即OC⊥CG;
故CG是⊙O的切线.
(2)方法比较多,应通过等边三角形的性质或三角形全等的思路来考虑;
(3)Rt△OCE中,有三角函数的定义,可得CE=OE×
cot30°
,故代入OE=2可得CE的长.
(1)解:
CG是⊙O的切线.理由如下:
∵CG∥AD,
∵CF⊥AD,
∴OC⊥CG.
∴CG是⊙O的切线;
(2)证明:
第一种方法:
连接AC,如图,(2分)
∵CF⊥AD,AE⊥CD且CF,AE过圆心O,
∴,.
∴AC=AD=CD.
∴△ACD是等边三角形.(3分)
∴∠D=60°
.
∴∠FCD=30°
.(4分)
在Rt△COE中,
∴OE=OB.
∴点E为OB的中点.(5分)
第二种方法:
连接BD,如图,
∵AB为⊙O的直径,
∴∠ADB=90°
又∵∠AFO=90°
∴∠ADB=∠AFO,∴CF∥BD.
∴△BDE∽△OCE.(3分)
∵AE⊥CD,且AE过圆心O,
∴CE=DE.(4分)
∴BE=OE.
(3)解:
∵AB=8,
∴OC=AB=4.
又∵BE=OE,
∴OE=2.(6)
∴CE=OE×
=.(7分)
∵AB⊥CD,
∴CD=2CE=.(8分)
本题考查常见的几何题型,包括切线的判定,线段等量关系的证明及线段长度的求法,要求学生掌握常见的解题方法,并能结合图形选择简单的方法解题.
5.(2011•道外区二模)如图,在等腰△ABC中,AC=BC,以BC为直径作⊙O交AB于点D,DF⊥AC,垂足为F,FD的延长线交CB的延长线于点E.求证:
直线EF是⊙O的切线.
证明题.
先连接OD,由于AC=BC,易得∠A=∠ABC,而OD=OB,又能得到∠OBD=∠ODB,等量代换可得∠ODB=∠A,利用同位角相等两直线平行可知OD∥AC,而DF⊥AC,那么∠CFD=90°
,利用平行线性质可得∠ODE=90°
,可证EF是⊙O的切线.
证明:
连接OD,如右图所示,
∴∠A=∠ABC,
∵OD=OB,
∴∠OBD=∠ODB,
∴∠ODB=∠A,
又∵DF⊥AC,
∴∠CFD=90°
∴OD⊥EF,
∴EF是⊙O的切线.
本题考查了切线的判定、等腰三角形的性质、平行线的判定和性质.解题的关键是连接OD,并证明OD∥AC.
6.(2008•济宁)如图,△ABC内接于⊙O,过点A的直线交⊙O于点P,交BC的延长线于点D,AB2=AP•AD.
AB=AC;
(2)如果∠ABC=60°
,⊙O的半径为1,且P为的中点,求AD的长.
圆周角定理;
相似三角形的判定与性质.
综合题.
(1)根据AB2=AP•AD,可以连接BP,构造相似三角形.根据相似三角形的性质得到∠APB=∠ABD,再根据圆周角定理得到∠APB=∠ACB,即∠ABC=∠ACB,再根据等角对等边证明结论;
(2)根据有一个角是60°
的等腰三角形是等边三角形,发现等边三角形ABC,再根据点P为弧的中点,连接BP,发现30°
的直角三角形,且BP是直径,从而求得AP的长,AB的长.再根据已知中的条件求得AD的长.
连接BP,
∵AB2=AP•AD,∴,
又∵∠BAD=∠PAB,
∴△ABD∽△APB,
∵∠ABC=∠APB,∠APB=∠ACB,
∴∠ABC=∠ACB,
∴AB=AC;
由
(1)知AB=AC,
∵∠ABC=60°
∴△ABC为等边三角形,
∴∠BAC=60°
∵P为的中点,
∴∠ABP=∠PAC=∠ABC=30°
∴∠BAP=∠BAC+∠PAC=90°
∴BP为直径,
∴BP过圆心O,
∴BP=2,
∴AP=BP=1,
∴AB2=BP2﹣AP2=3,
∵AB2=AP•AD,
∴AD==3.
掌握相似三角形的性质和判定,能够结合已知条件发现等边三角形和30°
的直角三角形,根据它们的性质分析求解,属中等难度.
7.(2008•义乌市)已知:
如图△ABC内接于⊙O,OH⊥AC于H,过A点的切线与OC的延长线交于点D,∠B=30°
,OH=.请求出:
(1)∠AOC的度数;
(2)劣弧的长(结果保留π);
(3)线段AD的长(结果保留根号).
切线的性质;
弧长的计算;
(1)由圆周角定理得,∠AOC=2∠B=60°
;
(2)由等腰三角形的性质:
底边上的高与顶角的平分线重合知,∠AOH=30°
,故可由余弦的概念求得AO的值,进而由弧长公式求得弧AC的长;
(3)在Rt△AOD中,可由正切的概念求得AD的长.
解:
(1)∠AOC=2∠B=60°
(2)在△AOC中,
∵OH⊥AC,OA=OC,
∴OH是等腰三角形AOC的底边AC上的高,
∴∠AOH=∠AOC=30°
∴,
∴的长=,
∴的长是.
(3)∵AD是切线,
∴AD⊥OA,
∵∠AOC=60°
∵tan60°
=,
∴AD=AO•tan60°
=10.
∴线段AD的长是.
本题利用了圆周角定理,切线的概念,直角三角形和等腰三角形的性质,锐角三角函数的概念,弧长公式求解.
8.(2008•肇庆)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°
,D是AC的中点,⊙O经过A、B、D三点,CB的延长线交⊙O于点E.
AE=CE;
(2)EF与⊙O相切于点E,交AC的延长线于点F,若CD=CF=2cm,求⊙O的直径;
(3)若(n>0),求sin∠CAB.
锐角三角函数的定义;
几何综合题;
(1)连接DE,根据∠ABC=90