中考专题圆的证明题70037Word文档格式.docx

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∴OD⊥DE，

∴DE是⊙O的切线；

（2）解：

连接BC，如图，

∵AB为直径，

∴∠ACB=90°

又∵OD∥AE，

∴∠OGB=∠ACB=90°

∴OD⊥BC，

∴G为BC的中点，即BG=CG，

又∵=，

∴设AC=3k，AB=5k，根据勾股定理得：

BC==4k，

∴OB=AB=，BG=BC=2k，

∴OG==，

∴DG=OD﹣OG=﹣=k，

又∵四边形CEDG为矩形，

∴CE=DG=k，

∴AE=AC+CE=3k+k=4k，

而OD∥AE，

∴===．

点评：

考查了切线的判定定理，能够综合运用角平分线的性质、全等三角形的判定和性质以及平行线分线段成比例定理．

2．（2008•武汉模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°

，以AC为直径作⊙O，交AB于D，过点O作OE∥AB，交BC于E．

ED为⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径为3，ED=4，EO的延长线交⊙O于F，连DF、AF，求△ADF的面积．

切线的判定与性质；

三角形的面积；

全等三角形的判定与性质；

勾股定理；

垂径定理；

锐角三角函数的定义．

计算题；

证明题；

（1）连接OD，CD，求出∠BDC=90°

，根据OE∥AB和OA=OC求出BE=CE，推出DE=CE，根据SSS证△ECO≌△EDO，推出∠EDO=∠ACB=90°

即可；

（2）过O作OM⊥AB于M，过F作FN⊥AB于N，求出OM=FN，求出BC、AC、AB的值，根据sin∠BAC===，求出OM，根据cos∠BAC===，求出AM，根据垂径定理求出AD，代入三角形的面积公式求出即可．

连接OD，CD，

∵AC是⊙O的直径，

∴∠CDA=90°

=∠BDC，

∵OE∥AB，CO=AO，

∴BE=CE，

∴DE=CE，

∵在△ECO和△EDO中

∴△ECO≌△EDO，

∴∠EDO=∠ACB=90°

即OD⊥DE，OD过圆心O，

∴ED为⊙O的切线．

过O作OM⊥AB于M，过F作FN⊥AB于N，

则OM∥FN，∠OMN=90°

∵OE∥AB，

∴四边形OMFN是矩形，

∴FN=OM，

∵DE=4，OC=3，由勾股定理得：

OE=5，

∴AC=2OC=6，

∴△OEC∽△ABC，

∴=，

∴AB=10，

在Rt△BCA中，由勾股定理得：

BC==8，

sin∠BAC===，

即=，

OM==FN，

∵cos∠BAC===，

∴AM=

由垂径定理得：

AD=2AM=，

即△ADF的面积是AD×

FN=×

×

=．

答：

△ADF的面积是．

本题考查了切线的性质和判定，勾股定理，三角形的面积，垂径定理，直角三角形的斜边上中线性质，全等三角形的性质和判定等知识点的运用，通过做此题培养了学生的分析问题和解决问题的能力，本题综合性比较强，有一定的难度．

3．（2010•西藏）如图，已知等腰△ABC，AC=BC=10，AB=12，以BC为直径作⊙O交AB点D，交AC于点G，DF⊥AC，垂足为F，交CB的延长线于点E．

直线EF是⊙O的切线；

（2）求sin∠A的值．

切线的判定；

等腰三角形的性质；

解直角三角形．

压轴题．

（1）连接CD，OD，得出CD⊥AB，推出AD=BD，得出OC∥AC，推出EF⊥OD，根据切线的判定推出即可；

（2）求出AD，根据勾股定理求出CD，解直角三角形ACD即可．

连接CD，OD，

∵BC是⊙O直径，

∴∠CDB=90°

，即CD⊥AB，

∵AC=BC，

∴BD=AD，

∵BO=CO，

∴OD∥AC，

∵EF⊥AC，

∴EF⊥OD，

∵OD为半径，

∴EF是⊙O的切线；

∵AB=12，AD=BD=6，AC=10，

在Rt△ACD中，由勾股定理得：

CD==8，

即sinA===．

本题考查了等腰三角形性质，三角形的中位线，平行线的性质和判定，解直角三角形，勾股定理，切线的判定等知识点的应用，主要考查了学生的推理和计算能力．

4．（2008•南充）如图，已知⊙O的直径AB垂直于弦CD于点E，过C点作CG∥AD交AB的延长线于点G，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD．

（1）试问：

CG是⊙O的切线吗？

说明理由；

（2）请证明：

E是OB的中点；

（3）若AB=8，求CD的长．

圆周角定理．

（1）已知点C在圆上，根据平行线的性质可得∠FCG=90°

，即OC⊥CG；

故CG是⊙O的切线．

（2）方法比较多，应通过等边三角形的性质或三角形全等的思路来考虑；

（3）Rt△OCE中，有三角函数的定义，可得CE=OE×

cot30°

，故代入OE=2可得CE的长．

（1）解：

CG是⊙O的切线．理由如下：

∵CG∥AD，

∵CF⊥AD，

∴OC⊥CG．

∴CG是⊙O的切线；

（2）证明：

第一种方法：

连接AC，如图，（2分）

∵CF⊥AD，AE⊥CD且CF，AE过圆心O，

∴，．

∴AC=AD=CD．

∴△ACD是等边三角形．（3分）

∴∠D=60°

．

∴∠FCD=30°

．（4分）

在Rt△COE中，

∴OE=OB．

∴点E为OB的中点．（5分）

第二种方法：

连接BD，如图，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ADB=90°

又∵∠AFO=90°

∴∠ADB=∠AFO，∴CF∥BD．

∴△BDE∽△OCE．（3分）

∵AE⊥CD，且AE过圆心O，

∴CE=DE．（4分）

∴BE=OE．

（3）解：

∵AB=8，

∴OC=AB=4．

又∵BE=OE，

∴OE=2．（6）

∴CE=OE×

=．（7分）

∵AB⊥CD，

∴CD=2CE=．（8分）

本题考查常见的几何题型，包括切线的判定，线段等量关系的证明及线段长度的求法，要求学生掌握常见的解题方法，并能结合图形选择简单的方法解题．

5．（2011•道外区二模）如图，在等腰△ABC中，AC=BC，以BC为直径作⊙O交AB于点D，DF⊥AC，垂足为F，FD的延长线交CB的延长线于点E．求证：

直线EF是⊙O的切线．

证明题．

先连接OD，由于AC=BC，易得∠A=∠ABC，而OD=OB，又能得到∠OBD=∠ODB，等量代换可得∠ODB=∠A，利用同位角相等两直线平行可知OD∥AC，而DF⊥AC，那么∠CFD=90°

，利用平行线性质可得∠ODE=90°

，可证EF是⊙O的切线．

证明：

连接OD，如右图所示，

∴∠A=∠ABC，

∵OD=OB，

∴∠OBD=∠ODB，

∴∠ODB=∠A，

又∵DF⊥AC，

∴∠CFD=90°

∴OD⊥EF，

∴EF是⊙O的切线．

本题考查了切线的判定、等腰三角形的性质、平行线的判定和性质．解题的关键是连接OD，并证明OD∥AC．

6．（2008•济宁）如图，△ABC内接于⊙O，过点A的直线交⊙O于点P，交BC的延长线于点D，AB2=AP•AD．

AB=AC；

（2）如果∠ABC=60°

，⊙O的半径为1，且P为的中点，求AD的长．

圆周角定理；

相似三角形的判定与性质．

综合题．

（1）根据AB2=AP•AD，可以连接BP，构造相似三角形．根据相似三角形的性质得到∠APB=∠ABD，再根据圆周角定理得到∠APB=∠ACB，即∠ABC=∠ACB，再根据等角对等边证明结论；

（2）根据有一个角是60°

的等腰三角形是等边三角形，发现等边三角形ABC，再根据点P为弧的中点，连接BP，发现30°

的直角三角形，且BP是直径，从而求得AP的长，AB的长．再根据已知中的条件求得AD的长．

连接BP，

∵AB2=AP•AD，∴，

又∵∠BAD=∠PAB，

∴△ABD∽△APB，

∵∠ABC=∠APB，∠APB=∠ACB，

∴∠ABC=∠ACB，

∴AB=AC；

由

（1）知AB=AC，

∵∠ABC=60°

∴△ABC为等边三角形，

∴∠BAC=60°

∵P为的中点，

∴∠ABP=∠PAC=∠ABC=30°

∴∠BAP=∠BAC+∠PAC=90°

∴BP为直径，

∴BP过圆心O，

∴BP=2，

∴AP=BP=1，

∴AB2=BP2﹣AP2=3，

∵AB2=AP•AD，

∴AD==3．

掌握相似三角形的性质和判定，能够结合已知条件发现等边三角形和30°

的直角三角形，根据它们的性质分析求解，属中等难度．

7．（2008•义乌市）已知：

如图△ABC内接于⊙O，OH⊥AC于H，过A点的切线与OC的延长线交于点D，∠B=30°

，OH=．请求出：

（1）∠AOC的度数；

（2）劣弧的长（结果保留π）；

（3）线段AD的长（结果保留根号）．

切线的性质；

弧长的计算；

（1）由圆周角定理得，∠AOC=2∠B=60°

；

（2）由等腰三角形的性质：

底边上的高与顶角的平分线重合知，∠AOH=30°

，故可由余弦的概念求得AO的值，进而由弧长公式求得弧AC的长；

（3）在Rt△AOD中，可由正切的概念求得AD的长．

解：

（1）∠AOC=2∠B=60°

（2）在△AOC中，

∵OH⊥AC，OA=OC，

∴OH是等腰三角形AOC的底边AC上的高，

∴∠AOH=∠AOC=30°

∴，

∴的长=，

∴的长是．

（3）∵AD是切线，

∴AD⊥OA，

∵∠AOC=60°

∵tan60°

=，

∴AD=AO•tan60°

=10．

∴线段AD的长是．

本题利用了圆周角定理，切线的概念，直角三角形和等腰三角形的性质，锐角三角函数的概念，弧长公式求解．

8．（2008•肇庆）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°

，D是AC的中点，⊙O经过A、B、D三点，CB的延长线交⊙O于点E．

AE=CE；

（2）EF与⊙O相切于点E，交AC的延长线于点F，若CD=CF=2cm，求⊙O的直径；

（3）若（n＞0），求sin∠CAB．

锐角三角函数的定义；

几何综合题；

（1）连接DE，根据∠ABC=90