复变函数与积分变换试题及答案5.docx

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复变函数与积分变换试题及答案5

复变函数与积分变换试题与答案1．若

u（x,y）与v（x,y）都是调和函数，则f（z）?

u（x,y）?

iv（x,y）是解析函数。

2．因为

|sinz|?

1，所以在复平面上sinz有界。

3．若

f（z）在z0解析，则f（n）（z）也在z0解析。

4．对任意的z，Lnz?

2Lnz

二填空1．2．

ii?

arg?

2i　　，?

2i　　。

ln（?

3i）?

　　，ii?

　　。

2f（z）?

2z?

4z下，曲线C3.在映照在

i处的伸缩率是　　，旋转角

是　　。

0是z1?

e2zRes[4,0]?

z的　　阶极点，　　。

三解答题设

f（z）?

x2?

axy?

by2?

i（cx2?

dxy?

y2）。

问常数a,b,c,d13为何值时

f（z）在复平面上处处解

析？

并求这时的导数。

求

（?

1）C的所有三次方根。

其中C是z?

3．

4．

z2dz?

0到z?

4i的直线段。

|z|?

2ezcoszdz。

（积分曲线指正向）

dz?

|z|?

2z（z?

1）（z?

3）5．。

（积分曲线指正向）

f（z）?

6将

1（z?

1）（z?

2）在1?

|z|?

2上展开成罗朗级数。

|z|?

1保形映照到单位圆内|w|?

1且满足

11πf（）?

0argf?

（）?

222的分式线性映，

7.求将单位圆内

照。

四解答题

1．求

0　　t?

0f（t）kt?

e　　t?

0的傅氏变换。

设

f（t）?

t2?

te?

e2tsin6t?

（t）,求f（t）的拉氏变换。

F（s）?

1s2（s2?

1），求F（s）的逆变换。

设

4.应用拉氏变换求解微分方程

y2y?

3y?

（?

0）1?

y（0）?

复变函数与积分变换试题答案1若

u（x,y）与v（x,y）都是调和函数，则f（z）?

u（x,y）?

iv（x,y）是解析函数。

|sinz|?

1，所以在复平面上sinz有界。

2．因为

3．若

f（z）在z0解析，则f（n）（z）也在z0解析。

4．对任意的z，Lnz?

2Lnz

1．

i2i3πππ?

arg?

ln（?

3i）?

ln3?

ii?

2kπ?

2i4，?

2i4。

2．2,i?

e2。

πf（z）?

2z2?

4z下，曲线C在z?

i处的伸缩率是42，旋转角是4。

3.在映照

0是z设

e2z4Res[4,0]?

z3。

的3阶极点，

为何值时

f（z）?

x2?

axy?

by2?

i（cx2?

dxy?

y2）。

问常数a,b,c,df（z）在复平面上处处解

析？

并求这时的导数。

ax?

2by?

dx?

2y?

2x?

ay?

2cx?

dy?

y解:

因为?

x,,?

x,,（2分）则

y2x?

ay?

dx?

2y?

uvy?

xax?

2by?

2cx?

dy（1分）可得:

（x,y）对任意的有?

即?

2,b?

1（2分）.这时,

（z）?

2（x?

y）?

2i（x?

y）或2z?

2iz?

x（2分）

求

（?

1）13的所有三次方根。

（?

1）?

cos解:

132k+12k+1ππ13π+isinπk?

0,1,2w0?

cos+isin=+i333322（4分）,,

w1?

cosπ+isinπ=?

w2?

cos5π5π13+isin=?

i3322（3分）

3．

Cz2dz其中C是z23?

4i03分?

0到z?

4i的直线段。

解:

原式

zdz]32z33?

4i2分（3?

4i）3?

（2分）33或

原式

|z|?

20434分43x331分4x（1?

i）dx?

（1?

i）0?

9（1?

i）3（2分）3333

。

（积分曲线指正向）

4．

ezcoszdz解:

原式=0.（7分）

dz?

|z|?

2z（z?

1）（z?

3）5．。

（积分曲线指正向）

解:

原式?

2πi?

Res[f,0]?

Res[f,?

1]?

（3分）（2分）11πi　　=2πi[lim?

lim]?

（2分）z?

0（z?

1）（z?

3）z?

1z（z?

3）6

f（z）?

6将

1（z?

1）（z?

2）在1?

|z|?

2上展开成罗朗级数。

11zn1解:

原式?

（1分）=-?

1]（3?

3分）z?

2z?

1zn?

7.求将单位圆内照。

|z|?

1保形映照到单位圆内|w|?

1且满足

11πf（）?

0argf?

（）?

222的分式线性映，

12（4分）解:

设w?

f（z）?

ei?

11?

z2z?

i2z?

1（2分）2?

则

14πf?

（）?

ei（2分）232,故

1．求

0　　t?

0f（t）kt?

e　　t?

0的傅氏变换。

0解:

F（?

）?

kte?

tdt（2分）?

设

11?

[e?

（k?

）t]0?

f（t）?

t2?

te?

e2tsin6t?

（t）,求f（t）的拉氏变换。

1161（1,2,2,1分）s3（s?

1）2（s?

2）2?

解:

F（s）?

设

-11s2（s2?

1），求F（s）的逆变换。

-1（1分）11-1解:

L[F（s）]?

L[2]?

sint　　（,分）ss?

4.应用拉氏变换求解微分方程

y2y?

3y?

（?

0）1?

y（0）?

解:

因为s2Y（s）?

sy（0）?

（0）?

2[sY（s）?

y（0）]?

2Y（s）?

1,（3分）所以s?

（2分）s?

2311Y（s）?

（2分）（s?

1）（s?

3）8（s?

1）4（s?

1）8（s?

3）

311151y（t）?

et?

3t（2分）或y（t）?

cht?

sht?

3t（2分）848888

复变函数与积分变换试题与答案

判断题1、

Ln?

在其定义域内解析。

x,y?

iv?

x,y?

的u?

x,y?

与v?

x,y?

互为共轭调和函数。

（　　）

2、解析函数3、如果4、函数

z0是f?

的奇点，则f?

在z0不可导。

在z0处的转动角与z0所在曲线C的形状及方向无关。

二、填空题1、

i3的指数表达式为　

2、1?

2z?

3z2nzn?

1的和函数的解析域是：

1Res?

2,0?

　　3、z?

0是z的　　级极点，

z4、在映照

z2下，曲线C在z?

i处的伸缩率是

则F[f（t-2）]=

[f?

5、设F

三、计算1、求z2?

2i?

0的全部根

coszdz?

1z32、

dz?

2z?

3、

dz?

|z|?

2z6（z?

1）（z?

3）4、应用留数的相关定理计算：

四、解答题

11v?

x,yx2?

y222为虚部的解析函数f?

，使f?

01、求以

f（z）?

2、将函数

1z?

2在圆环

1内展成罗朗级数

3、求把上半平面Im（z）＞0映照成单位圆五、解答题1、设

|w|＜1的分式线性函数，并使f（i）=0，f（-1）=1。

F（?

）?

（0）?

（0）]，求其像原函数f（t）

2t2、利用拉氏变换的性质求L[cos3t?

3、解微积分方程：

答案

y'（t）?

y（?

）d?

1,　　y（0）?

00t。

1：

×；2：

×；3：

×；4：

√

1：

2e?

i2?

/3。

2：

1e?

2i?

。

3：

1；1。

4：

2。

5：

1/21?

1、解：

原式?

z2?

2i?

z1/2?

2i?

2e?

i/2?

2k?

i（2分）?

1/2?

2e?

1/4?

0,1?

　单根：

2e?

i/4;2e5?

i/4　　（2分）

（5分）i

cosz2?

idz?

cosz?

1z32!

2、解：

3、dz1?

dz?

2z?

1z?

11?

dz?

0z?

2z?

1z?

12?

Res?

3,zk?

z（z?

1）（z?

3）k?

4、解：

原式=

Res?

3,zk?

z（z?

1）（z?

3）?

　　z3?

z1?

z2?

z4?

11Res?

3,3?

33?

2　　?

z（z?

1）（z?

3）111?

Res?

3,Res?

2,0?

111z（z?

1）（z?

3）（?

1）（?

3）z?

zz?

=0　　（2分）

∴原式=

i333?

2=3

解：

ux?

ivx?

vy?

ivx?

ix?

iyiz?

iz2f?

dzizdzc2　　

0　　得

iz2f?

11nn1?

z1?

1n?

02、解：

1z?

n2?

nn1z?

0　　n?

21?

ei?

3、解：

设

iz?

f（?

1）?

ei?

即

eii?

iz?

ii?

e2z?

iz?

i∴

1、f（t）?

F（?

）1?

tF（?

）ed2?

t{?

（）?

（）}ed?

002?

ii?

0te?

0t2sin?

22ts?

Lcos3t?

cos3t?

22（s?

2）?

9　　s?

92、

111111?

　　sY（s）?

Y（s）?

（?

）ss2s?

1s?

13、　　

1te2t?

　　y（t）?

（e?

e）?

22et

中南大学考试试卷（B）

单项选择题

设

z2?

0f?

zz?

0,z?

0f?

，则的连续点集合为。

f（z）?

u（x,y）?

iv（x,y）u（x,y）与v（x,y）单连通区域　　多连通区域开集非区域　　闭集非闭区域　　设

，那么

在点

x0,y0?

可微是

在点

z0?

x0?

iy0可微的。

充分但非必要条件?

充分必要条件

下列命题中，不正确的是。

必要但非充分条件?

既非充分也非必要条件

如果无穷远点?

是f?

的可去奇点,那么Res?

若f?

在区域D内任一点z0的邻域内展开成泰勒级数,则f?

在D内解析.?

幂级数的和函数在收敛圆内是解析函数.

ez?

函数?

z将带形域0?

Im（z）?

映射为单位圆i

设c是

t，t从1到2的线段，则

argzdz

。

　　设

4在

4iz?

，那么

内解析且

limzf?

1Res?

。

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